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四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.(13分)
為比較A、B兩種AI教學系統在提升教師備課效率方面的差異，研究人員在某地區隨機招
募了200名教師，并隨機分配其中100名使用系統A,其余100名使用系統B.經過一個月的試
用后，以“備課時間減少15%以上”作為備課效率顯著提升的標準，經整理得到如下列聯表：
備課效率
顯著提升
沒有顯著提升
合計
使用的教學系統
系統A
75
25
100
系統B
55
45
100
合計
130
70
200
(1)記事件“該地區教師使用系統A后，備課效率顯著提升”的概率為P,求P的估計值：
(2)根據小概率值α=0.005的獨立性檢驗，分析這兩種A1教學系統在顯著提升教師備課
效率方面是否存在差異。
2
0.05
0.005
0.001
附：2=
n(ad -be)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
Xa
3.841
7.879
10.828
高三數學試題第4頁（共8頁）
16.(15分)
已知函數f(x)=x2，設曲線y=f(x)在點(x,f(x,)》(n∈N)處的切線與x軸的交點為
(x1,0),其中x=1
(1)寫出，x,并求數列{x,}的通項公式：
(2)設數列{xn}的前n項和為Sn,證明：S,<4.
高三數學試題第5頁（共8頁）
17.(15分)
矩形A8CD的長為4，寬為2，其四邊的中點拾為橢圓E+)
+京=1(a>b>0)的頂點.
(1)求E的方程及離心率；
(2)若P,Q,R三點在以AC為直徑的圓上，且直線PQ,PR均與E有且只有一個公共點，
證明：△POR是直角三角形
高三數學試題第6頁（共8頁）
18.(17分)
已知正方體ABCD-ABCD的棱長為2.
(1)證明：BD⊥平面ABC:
(2)動點P滿足AP=AB+AC(1∈[0，)，且點P,A,C,D,在同一球面上.設該球面的
球心為O,半徑為r
(i)求r的取值范圍；
(i)當r最大時，求二面角A-BP-O的余弦值.
D
C
B
D火
C
B
高三數學試題第7頁（共8頁）
19.(17分)
已知函數f(x)=(m+1)sinx-xcoSx,x∈[0，.
(1)當m=0時，求f(x)的值域；
(2)若f(x)存在唯一的極值且為極小值，求m的取值范圍：
(3)設n∈R,若存在m∈(-o,0)使得m≤√2(Uf(x)-)對x∈[0，π恒成立，求n的最大值.
高三數學試題第8頁（共8頁）

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