資源簡介

專項突破提升(二)
代數式與整式
類型一　 列代數式
1．(4分)一個兩位數，個位數字是x，十位數字比個位數字大1，則這個兩位數是(　C　)
A．x＋1＋1 B．10x＋x＋1
C．10(x＋1)＋x D．(x＋1)x
2．(4分)某工廠第一季度的產值為m萬元，第二季度比第一季度增加x%，則第二季度的產值為(　C　)
A．m·x%萬元 B．(m＋x%)萬元
C．m(1＋x%)萬元 D．m(1－x%)萬元
3．(4分)如圖是一組有規律的圖案，它們是由邊長相同的小正方形組成的，其中部分小正方形涂有陰影，按照這樣的規律，第4個圖案中有　14　個涂有陰影的小正方形，第n個圖案中有　(3n＋2)　(用含n的代數式表示)個涂有陰影的小正方形．
4．(10分)四人做傳數游戲，小鄭任意報一個數給小丁，小丁把這個數加3后傳給小紅，小紅再把所得的數乘2后傳給小童，小童把所聽到的數減1后報出答案．
(1)如果小鄭所報的數為x，請把小童最后所報的答案用代數式表示出來；
(2)若小鄭報的數為9，則小童的答案是多少？
解：(1)小鄭所報的數為x，則小丁所報的數為(x＋3)，小紅所報的數為2(x＋3)，小童最后所報的數為2(x＋3)－1.
(2)當x＝9時，2(x＋3)－1＝2×(9＋3)－1＝23.
所以若小鄭報的數為9，則小童的答案是23.
5．(10分)用火柴棒按如圖的方式搭圖形．
圖1　　　圖2　　　　　圖3
(1)按圖示規律完成下表：
圖形 1 2 3 4 5 …
火柴棒根數 5 9 13 17 21 …
(2)按照這種方式搭下去，搭第n個圖形需要 　(4n＋1)　根火柴棒．(用含n的代數式表示)
(3)小靜同學說她按這種方式搭出來的一個圖形用了200根火柴棒，你認為可能嗎？如果可能，那么是第幾個圖形？如果不可能，請說明理由．
解：(3)不可能．理由如下：
設第n個圖形用了200根火柴棒，其中n為正整數，
則4n＋1＝200，
解得n＝，不符合題意，舍去．
故小靜同學不可能用200根火柴棒按這種方式搭出來一個圖形．
類型二　求代數式的值
6．(12分)某校為培養學生的勞動品質，在校園開辟了勞動教育基地．已知該勞動教育基地有一塊長方形和一塊正方形的試驗田，長方形試驗田每列種植10株豌豆幼苗，種植了(9a2－b2)列，正方形試驗田種植了＋2ab＋b2＋1)株豌豆幼苗．
(1)該勞動教育基地的這兩塊試驗田一共種植了多少株豌豆幼苗？(用含a，b的代數式表示并化簡)
(2)當a＝2，b＝5時，求該勞動教育基地的這兩塊試驗田一共種植了多少株豌豆幼苗．
解：(1)由題意，得＋2ab＋b2＋1)
＝90a2－10b2－90a2＋20ab＋10b2＋10
＝(20ab＋10)株．
答：該勞動教育基地的這兩塊試驗田一共種植了(20ab＋10)株豌豆幼苗．
(2)當a＝2，b＝5時，原式＝20×2×5＋10＝200＋10＝210(株)．
答：該勞動教育基地的這兩塊試驗田一共種植了210株豌豆幼苗．
7．(12分)閱讀并回答下列問題．
有這樣一個故事：一個國王打算獎賞宰相．國王問他想要什么，他對國王說：“陛下，請您在這張國際象棋棋盤的第1個小格里，賞給我1粒麥子，在第2個小格里給2粒，第3個小格給4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．請您把這樣擺滿棋盤上所有的64格的麥粒，都賞給您的仆人吧！”國王覺得這要求太容易滿足了，就命令給他這些麥粒．當人們把一袋一袋的麥子搬來開始計數時，國王才發現：就是把全國甚至全世界的麥粒全拿來，也滿足不了宰相的要求．那么，宰相要求得到的麥粒到底有多少呢？
即求1＋2＋22＋23＋24＋…＋263的值．如何求它的值呢？
設S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋263，①
則2S＝2(1＋2＋22＋23＋24＋…＋263)＝2＋22＋23＋24＋…＋263＋264.②
②－①，得S＝264－1．
(1)求1＋5＋52＋53＋54＋…＋52 025的值；
(2)如圖，一棵樹的枝干都用線段表示，最下方的一條線段表示初始樹干，第一次生長，原樹干向上長出三根“樹枝”，第二次生長，各樹枝再次長出三根“樹枝”，按此規律繼續生長，第n次生長后，這棵樹的枝干共有多少根？(假設每次生長，新長出來的三根樹枝都不和生長前的枝干共線)
解：(1)令S＝1＋5＋52＋53＋54＋…＋52 025，①
則5S＝5＋52＋53＋54＋55＋…＋52 025＋52 026.②
②－①，得4S＝52 026－1.
所以S＝，即1＋5＋52＋53＋54＋…＋52 025的值為.
(2)根據題意，得第n次生長后，這棵樹的枝干共有(1＋31＋32＋33＋34＋…＋3n)根．
令S＝1＋31＋32＋33＋34＋…＋3n，①
則3S＝31＋32＋33＋34＋35＋…＋3n＋3n+1.②
②－①，得2S＝3n+1－1.
所以S＝，即1＋31＋32＋33＋34＋…＋3n的值為.
所以第n次生長后，這棵樹的枝干共有根．
8．(10分)為了響應國家鄉村振興戰略，李伯伯計劃改造自己家的四間窯洞，圖為改造后的一個新窗戶示意圖，新窗戶由框架和中間的玻璃組成，其上部是直徑為a m的半圓形，下部是邊長為a m的正方形．
(1)列式表示這個窗戶的面積：　　m2；(用含a的代數式表示)
(2)列式表示這個窗戶框架的總長：　　m；(即上部半圓弧長＋下部正方形周長，用含a的代數式表示)
(3)這個窗戶的費用由兩部分組成，一是框架的費用，二是玻璃的費用，已知框架每米20元，玻璃每平方米40元．若a＝1.2，π取3，請你計算這個窗戶的費用．
解：(1)根據題意，得這個窗戶的面積為a2＋π×＝m2.
故答案為：.
(3)根據題意，得這個窗戶的費用為40×＋20×
≈40×(1.22＋×3×1.22)＋20×(4×1.2＋×3×1.2)＝211.2(元)．
答：這個窗戶的費用約為211.2元．
9．(12分)數學中，運用整體思想方法在求代數式的值時非常重要．例如，已知a2＋2a＝2，則代數式2a2＋4a＋3＝2(a2＋2a)＋3＝2×2＋3＝7．
請你根據以上材料解答以下問題：
(1)若x2－3x＝4，求1－x2＋3x的值；
(2)當x＝1時，代數式px3＋qx－1的值是5，求當x＝－1時，代數式px3＋qx－1的值；
(3)當x＝2 025時，代數式ax5＋bx3＋cx＋6的值為m，求當x＝－2 025時，代數式ax5＋bx3＋cx＋6的值．(用含m的代數式表示)
解：(1)因為x2－3x＝4，
所以1－x2＋3x＝1－(x2－3x)＝1－4＝－3.
(2)當x＝1時，代數式px3＋qx－1的值是5，即p＋q－1＝5.
所以p＋q＝6.
所以當x＝－1時，px3＋qx－1＝－p－q－1＝－(p＋q)－1＝－6－1＝－7.
(3)因為當x＝2 025時，代數式ax5＋bx3＋cx＋6的值為m，
即2 0255a＋2 0253b＋2 025c＋6＝m.
所以2 0255a＋2 0253b＋2 025c＝m－6.
所以當x＝－2 025時，ax5＋bx3＋cx＋6
＝(－2 025)5a＋(－2 025)3b＋(－2 025)c＋6
＝－(2 0255a＋2 0253b＋2 025c)＋6
＝－(m－6)＋6＝－m＋12.
類型三　整式的加減
10．(8分)(1)化簡：5(3a2b－ab2)－4(－ab2＋3a2b)；
(2)先化簡，再求值：5x2－2(3y2＋6x)＋(2y2－5x2)，其中x＝，y＝－．
解：(1)原式＝15a2b－5ab2＋4ab2－12a2b＝3a2b－ab2.
(2)原式＝5x2－6y2－12x＋2y2－5x2＝－12x.
當x＝，y＝－時，原式＝－4×－12×＝－1－4＝－5.
11．(8分)已知整式M＝x2＋5ax－3x－1，整式M與整式N之差是3x2＋4ax－x．
(1)求整式N；
(2)若a是常數，且2M＋N的值與x無關，求a的值．
解：(1)N＝(x2＋5ax－3x－1)－(3x2＋4ax－x)
＝x2＋5ax－3x－1－3x2－4ax＋x
＝－2x2＋ax－2x－1.
(2)因為M＝x2＋5ax－3x－1，N＝＋ax－2x－1，
所以2M＋N＝＋ax－2x－1)
＝2x2＋10ax－6x－2－2x2＋ax－2x－1
＝(11a－8)x－3.
因為結果與x無關，所以11a－8＝0，
解得a＝.
12．(10分)小亮準備完成題目：化簡：(□x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)．發現系數“□”印刷不清楚．
(1)他把“□”猜成3，化簡：(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)；
(2)他媽媽說：“你猜錯了，我看到該題正確答案的結果是常數．”通過計算說明原題中“□”是幾．
解：(1)(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)
＝3x2＋6x＋8－6x－5x2－2＝－2x2＋6.
(2)設“□”是a，
則原式＝(ax2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)
＝ax2＋6x＋8－6x－5x2－2
＝(a－5)x2＋6.
因為正確答案的結果是常數，
所以a－5＝0，解得a＝5.
所以原題中“□”是5.
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