資源簡(jiǎn)介

專項(xiàng)突破提升(三)
利用方程思想解決實(shí)際問(wèn)題
類型一　幾何問(wèn)題
1．(10分)有一種用來(lái)畫(huà)圓的工具板(如圖所示)，工具板長(zhǎng)21 cm，上面依次排列著大小不等的五個(gè)圓(孔)，其中最大圓的直徑為3 cm，其余圓的直徑從左到右依次遞減0.2 cm.最大圓的左側(cè)距工具板左側(cè)邊緣1.5 cm，最小圓的右側(cè)距工具板右側(cè)邊緣1.5 cm，相鄰兩圓的間距d均相等．
(1)直接寫(xiě)出其余四個(gè)圓的直徑長(zhǎng)；
(2)求相鄰兩圓的間距．
解：(1)其余四個(gè)圓的直徑長(zhǎng)依次為2.8 cm，2.6 cm，2.4 cm，2.2 cm.
(2)由題意，得4d＋1.5＋1.5＋3＋2.8＋2.6＋2.4＋2.2＝21，
所以4d＋16＝21，
解得d＝.
故相鄰兩圓的間距為 cm.
類型二　銷售問(wèn)題
2．(10分)剃須刀由刀片和刀架組成．某時(shí)期，甲、乙兩廠家分別生產(chǎn)老式剃須刀(刀片不可更換)和新式剃須刀(刀片可更換)．有關(guān)銷售策略與售價(jià)信息如下表所示：
老式剃須刀 新式剃須刀
刀架 刀片
售價(jià) 2.5(元/把) 10(元/把) 0.55(元/片)
成本 2(元/把) 5(元/把) 0.05(元/片)
某段時(shí)間內(nèi)，甲廠家銷售了8 400把剃須刀，乙廠家銷售的刀片數(shù)量是刀架數(shù)量的50倍，乙廠家獲得的利潤(rùn)是甲廠家的2倍，問(wèn)：這段時(shí)間內(nèi)乙廠家銷售了多少把刀架？多少片刀片？
解：設(shè)這段時(shí)間內(nèi)乙廠家銷售了x把刀架，50x片刀片．
由題意，得(10－5)x＋(0.55－0.05)·50x＝2×8 400×(2.5－2)，
即30x＝8 400，
解得x＝280.
50x＝14 000.
答：這段時(shí)間內(nèi)乙廠家銷售了280把刀架，14 000片刀片．
類型三　積分問(wèn)題
3．(8分)某校七年級(jí)有12個(gè)班．在學(xué)校組織的七年級(jí)籃球比賽中，規(guī)定每?jī)蓚€(gè)班之間只進(jìn)行一場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每班勝一場(chǎng)得2分，負(fù)一場(chǎng)得1分．某班要想在全部比賽中得18分，那么這個(gè)班的勝、負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是多少？
解：設(shè)勝x場(chǎng)，則負(fù)(11－x)場(chǎng)．
由題意，得2x＋1·(11－x)＝18，
解得x＝7.
所以11－x＝11－7＝4.
答：這個(gè)班的勝、負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是7和4.
類型四　行程問(wèn)題
4．(8分)某七年級(jí)學(xué)生在做作業(yè)時(shí)，不慎將墨水瓶打翻，使一道應(yīng)用題只看到如下字樣：“甲、乙兩地相距40 km，摩托車的速度為45 km/h，載貨汽車的速度為35 km/h，？”(陰影部分是被墨水覆蓋的若干文字)請(qǐng)你將這道作業(yè)題補(bǔ)充完整，并列方程解答．
解：答案不唯一，可補(bǔ)充：載貨汽車和摩托車分別從兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，問(wèn)：兩車出發(fā)后幾小時(shí)相遇？
設(shè)兩車出發(fā)后x h相遇．
根據(jù)題意，得45x＋35x＝40，
解得x＝.
答：兩車出發(fā)后 h相遇．
類型五　工程問(wèn)題
5．(8分)某工程公司要在某市鋪設(shè)一條地下天然氣管道，為使工程提前5天完成，需將原定的工作效率提高10%，那么原計(jì)劃完成這項(xiàng)工程需要多少天？
解：設(shè)原計(jì)劃完成這項(xiàng)工程需要x天，原來(lái)的工作效率為1.
根據(jù)題意，得1·x＝(1＋10%)(x－5)，
解得x＝55.
答：原計(jì)劃完成這項(xiàng)工程需要55天．
6．(12分)某中學(xué)有若干套損壞的桌椅，現(xiàn)有甲、乙兩名木工，甲每天可以修桌椅16套，乙每天比甲多修桌椅8套，甲單獨(dú)修完這些桌椅比乙單獨(dú)修完多用10天，學(xué)校每天付甲80元修理費(fèi)，付乙120元修理費(fèi)．
(1)這批損壞的桌椅有多少套？(列方程解答)
(2)在修理過(guò)程中，學(xué)校要派一名工作人員進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)督，學(xué)校負(fù)擔(dān)他每天30元生活補(bǔ)助費(fèi)，現(xiàn)有兩種修理方案：
①由乙單獨(dú)修理；
②甲、乙合作共同修理．
你認(rèn)為哪種方案省錢？試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．
解：(1)設(shè)這批損壞的桌椅有x套．
由題意，得＝10，
解得x＝480.
答：這批損壞的桌椅有480套．
(2)方案①：由乙單獨(dú)修理，需480÷(16＋8)＝20(天)，
則學(xué)校應(yīng)付20×120＋20×30＝3 000(元)．
方案②：由甲、乙共同修理，需480÷(16＋16＋8)＝12(天)，
則學(xué)校應(yīng)付(80＋120)×12＋12×30＝2 760(元)．
因?yàn)? 000＞2 760，
所以方案②由甲、乙合作共同修理省錢．
類型六　配套問(wèn)題
7．(8分)某加工車間有27名工人，平均每人每天可加工小齒輪12個(gè)或大齒輪10個(gè)，2個(gè)大齒輪和3個(gè)小齒輪配成一套，問(wèn)：分別安排多少名工人生產(chǎn)大、小齒輪能使每天加工的齒輪剛好配套？共可做成多少套？
解：設(shè)安排x名工人加工大齒輪，安排(27－x)名工人加工小齒輪．
依題意，得2×12×(27－x)＝3×10x，
解得x＝12.
所以27－x＝15.
10×12÷2＝60.
答：安排12名工人生產(chǎn)大齒輪，15名工人生產(chǎn)小齒輪，能使每天加工的齒輪剛好配套，共可做成60套．
8．(8分)制作一張桌子要用1個(gè)桌面和4條桌腿，1 m3木材可制作20個(gè)桌面，或者制作400條桌腿．現(xiàn)在有30 m3木材，應(yīng)怎樣計(jì)劃用料才能制作盡可能多的桌子？
解：設(shè)共制作x張桌子，則桌面需要的木材為x m3，桌腿需要的木材為4×x m3.
由題意，得x＋4×x＝30，
解得x＝500.
所以x＝×500＝25.
30－25＝5.
答：用25 m3木材制作桌面、5 m3木材制作桌腿，才能制作盡可能多的桌子．
類型七　古文問(wèn)題
9．(4分)《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)著作，其中記載了一道有趣的題，其譯文大意為：今有野鴨從南海起飛，7天到北海；大雁從北海起飛，9天到南海．現(xiàn)野鴨從南海、大雁從北海同時(shí)起飛，問(wèn)：經(jīng)過(guò)多少天相遇？設(shè)經(jīng)過(guò)x天相遇，根據(jù)題意可列方程為(　A　)
A．x＝1 B．x＝1
C．(9－7)x＝1 D．(9＋7)x＝1
10．(8分)古代有一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，其譯文大意為：甲從長(zhǎng)安出發(fā)，8日到齊國(guó)；乙從齊國(guó)出發(fā)，6日到長(zhǎng)安．現(xiàn)甲先出發(fā)1日，乙才從齊國(guó)出發(fā)．問(wèn)：甲、乙經(jīng)過(guò)多少日相逢？
解：設(shè)乙出發(fā)x日，甲、乙相逢，則甲出發(fā)(x＋1)日．
根據(jù)題意，得＝1，
解得x＝3.
所以x＋1＝4.
答：甲出發(fā)4日與乙相逢．
類型八　分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題
11．(10分)我國(guó)很多城市水資源缺乏，為了加強(qiáng)居民的節(jié)水意識(shí)，合理利用水資源，很多城市制定了用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)．A市規(guī)定了每戶每月的標(biāo)準(zhǔn)用水量，不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)用水量的部分按每立方米1.2元收費(fèi)，超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)用水量的部分按每立方米3元收費(fèi)．該市張大爺家5月用水9 m3，需繳費(fèi)16.2元．A市規(guī)定的每戶每月標(biāo)準(zhǔn)用水量是多少？
解：因?yàn)?×1.2＝10.8＜16.2，
所以張大爺家5月用水超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)用水量．
設(shè)每戶每月標(biāo)準(zhǔn)用水量是x m3.
根據(jù)題意，得1.2x＋3(9－x)＝16.2，
解得x＝6.
答：A市規(guī)定的每戶每月標(biāo)準(zhǔn)用水量是6 m3.
類型九　方案設(shè)計(jì)問(wèn)題
12．(12分)某乳制品廠，現(xiàn)有鮮牛奶10 t，若直接銷售，每噸可獲利500元；若制成酸奶銷售，每噸可獲利1 200元；若制成奶粉銷售，每噸可獲利2 000元．該工廠的生產(chǎn)能力是：若制成酸奶，每天可加工鮮牛奶3 t；若制成奶粉，每天可加工鮮牛奶1 t(兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)行)．受氣溫條件限制，這批鮮牛奶必須在4天內(nèi)全部銷售或加工完成．為此該廠設(shè)計(jì)了以下兩種可行方案：
方案一：4天時(shí)間全部用來(lái)生產(chǎn)奶粉，其余直接銷售鮮奶；
方案二：將一部分制成奶粉，其余制成酸奶，并恰好4天完成．
你認(rèn)為哪種方案獲利更多，為什么？
解：方案二獲利更多．理由如下：
方案一：4×2 000＋6×500＝11 000(元)．
方案二：設(shè)制奶粉x天，則x＋3(4－x)＝10，
解得x＝1.
故1×1×2 000＋3×3×1 200＝12 800(元)．
因?yàn)?2 800＞11 000，
所以方案二獲利更多．
類型十　與數(shù)軸結(jié)合
13．(14分)如圖，A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a，b，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，|a|＝10，a＋b＝70，ab＞0．
(1)直接寫(xiě)出a＝　10　，b＝　60　．
(2)現(xiàn)有一只螞蟻P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只螞蟻Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)．
①兩只螞蟻經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間相遇？
②設(shè)兩只螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)C處相遇，求點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)．
③經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，兩只螞蟻在數(shù)軸上相距20個(gè)單位長(zhǎng)度？
解：(2)①設(shè)螞蟻Q從點(diǎn)B出發(fā)t s與螞蟻P相遇．
根據(jù)題意，得5t－3t＝60－10，解得t＝25.
故兩只螞蟻經(jīng)過(guò)25 s相遇．
②設(shè)兩只螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)C處相遇，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為10＋5×25＝135.
③根據(jù)題意，得
相遇前：5t－3t＝60－10－20，解得t＝15；
相遇后：5t－3t＝60－10＋20，解得t＝35.
故經(jīng)過(guò)15 s或35 s，兩只螞蟻在數(shù)軸上相距20個(gè)單位長(zhǎng)度．
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