資源簡介

專項突破提升(四)
基本的幾何圖形
類型一　圖形的認識
1．(4分)下列物體的形狀類似于圓柱的是(　D　)
2．(4分)不透明袋子中裝有一個幾何體模型，兩位同學摸該模型并描述它的特征，甲同學：它有4個面是三角形；乙同學：它有6條棱，則該模型對應的立體圖形可能是(　C　)
A．三棱柱 B．四棱柱
C．三棱錐 D．四棱錐
3．(4分)《雨不絕》是唐代詩人杜甫的作品，其中有詩句：鳴雨既過漸細微，映空搖飏如絲飛．譯文：喧嘩的雨已經(jīng)過去、逐漸變得細微，映著天空搖漾的是如絲的細雨飄飛．詩中描寫雨滴滴下來形成雨絲，用數(shù)學知識解釋為　點動成線?。?br/>類型二　直線和線段的性質(zhì)
4．(4分)曲橋是我國古代經(jīng)典建筑之一，它的修建增加了游人在橋上行走的路程，有利于游人更好地觀賞風光．如圖，兩地間修建曲橋與修建直橋相比，增加了橋的長度，其中蘊含的數(shù)學道理是(　A　)
A．兩點之間，線段最短
B．兩點確定一條直線
C．經(jīng)過一點可以作無數(shù)條直線
D．連接兩點間線段的長度，叫作兩點間的距離
5．(4分)如圖，射擊運動員在瞄準時，總是用一只眼瞄準準星和目標，這種現(xiàn)象用數(shù)學知識解釋為　兩點確定一條直線?。?br/>6．(10分)已知平面上點A，B，C，D(每三點都不在一條直線上)．
(1)經(jīng)過這四點最多能確定　6　條直線；
(2)如圖，這四點表示某公園的四個地方，如果點B，C在該公園的湖的兩岸，點A，D在湖面上，要從B到C筑橋，從節(jié)省材料的角度考慮，應選擇圖中兩條路線中的哪一條？如果有人想在橋上較長時間觀賞湖面風光，應選擇哪一條？為什么？
解：(1)經(jīng)過這四點最多能確定6條直線，分別為直線AB，直線AD，直線BC，直線CD，直線AC，直線BD.
故答案為：6.
(2)從節(jié)省材料的角度考慮，應選擇圖中路線②；如果有人想在橋上較長時間觀賞湖面風光，應選擇路線①.
因為兩點之間線段最短，路線②比路線①短，可以節(jié)省材料；而路線①較長，可以在橋上較長時間觀賞湖面風光．
7．(10分)知識是用來為人類服務的，我們應該把它們用于有意義的方面．下面就兩個情景請你作出評判．
情景一：如圖1，從教學樓到圖書館，總有少數(shù)同學不走人行道而橫穿草坪，這是為什么呢？試用所學數(shù)學知識來說明這個問題．
情景二：如圖2，A，B是河流l兩旁的兩個村莊，現(xiàn)要在河邊修一個抽水站向兩村供水，問：抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？請在圖中表示出抽水站點P的位置，并說明你的理由．
你贊同以上哪種做法？你認為應用數(shù)學知識為人類服務時應注意什么？
圖1
圖2
解：情景一：因為教學樓和圖書館處于同一條直線上，兩點之間的所有連線中，線段最短；
情景二：如圖，連接AB交直線l于點P，則點P即為所求．
理由：兩點間所有連線中，線段最短．
贊同情景二中運用知識的做法．應用數(shù)學知識為人類服務時應注意不能以破壞環(huán)境為代價(答案不唯一，合理即可)．
類型三　線段和直線規(guī)律的探索
8．(4分)如圖，我們通過觀察后可以發(fā)現(xiàn)：2條直線相交，有1個交點；3條直線相交，最多有3個交點．那么，4條直線相交，最多有　6　個交點；n條直線相交，最多有　n(n－1)　(用含n的代數(shù)式表示)個交點．
9．(12分)觀察圖形，并回答下列問題：
(1)圖中共有幾條線段？說明你分析這個問題的具體思路．
(2)請你用上面的思路來解決“15名同學聚會，每人都與其他人握一次手，共握了多少次？”這個問題．
(3)若15名同學聚會，每人都送給其他人一張名片，則共送了幾張？
解：(1)以A為端點的線段有AB，AC，AD，AE 4條；
以B為端點且與前面不重復的線段有BC，BD，BE 3條；
以C為端點且與前面不重復的線段有CD，CE 2條；
以D為端點且與前面不重復的線段有DE 1條．
所以共有4＋3＋2＋1＝10(條)．或直接利用公式，當n＝5時，＝10(條)．
所以圖中共有10條線段．
(2)由上面結(jié)論可知15×14÷2＝105(次)．
答：共握了105次．
(3)15×14＝210(張)．
答：共送了210張．
類型四　線段的有關(guān)計算
10．(10分)我們知道，比較兩條線段的長短有兩種方法：一種是度量法，是用刻度尺量出它們的長度，再進行比較；另一種方法是疊合法，就是把其中的一條線段移到另一條線段上去，使其中的一個端點重合在一起再加以比較．
(1)已知線段AB，C是線段AB上一點(如圖1)．請你應用疊合法，用尺規(guī)作圖的方法，比較線段AC與BC的長短(要求保留作圖痕跡)．
(2)如圖2，小明用刻度尺量得AC＝4 cm，BC＝3 cm.若D是AC的中點，E是BC的中點，求DE的長．
圖1
圖2
解：(1)如圖，AB′＝BC，則AC>BC.
(2)因為AC＝4 cm，BC＝3 cm，D是AC的中點，E是BC的中點，
所以CD＝AC＝×4＝2(cm)，CE＝BC＝×3＝1.5(cm)．
所以DE＝CD＋CE＝2＋1.5＝3.5(cm)．
11．(10分)如圖，有兩根木條，一根AB長為80 cm，另一根CD長為130 cm，在它們的中點處各有一個小圓孔M，N(圓孔直徑忽略不計，M，N抽象成兩個點)，將它們的一端重合，放置在同一條直線上，此時兩根木條的小圓孔之間的距離MN是多少？
解：本題有兩種情形：
①如圖1，當A，C(或B，D)重合，且剩余兩端點在重合點同側(cè)時，
圖1
MN＝CN－AM＝CD－AB＝65－40＝25(cm)；
②如圖2，當B，C(或A，C)重合，且剩余兩端點在重合點兩側(cè)時，
圖2
MN＝CN＋BM＝CD＋AB＝65＋40＝105(cm)．
綜上，兩根木條的小圓孔之間的距離MN是25 cm或105 cm.
12．(12分)如圖，已知線段AB＝15 cm，CD＝3 cm，E是AC的中點，F(xiàn)是BD的中點．
(1)若AC＝4 cm，求線段CF的長．
(2)當線段CD在線段AB上從左向右或從右向左運動時(點C，D不與點A，B重合)，試判斷線段EF的長度是否發(fā)生變化．若不變，請求出線段EF的長；若變化，請說明理由．
解：(1)根據(jù)題意，得AC＝4 cm，CD＝3 cm，AB＝15 cm，
所以BD＝AB－AC－CD＝15－4－3＝8(cm)．
因為F是BD的中點，
所以DF＝BD＝4 cm.
所以CF＝CD＋DF＝3＋4＝7(cm)．
(2)線段EF的長度不發(fā)生變化．
因為E是AC的中點，F(xiàn)是BD的中點，
所以AE＝AC，BF＝BD.
所以EF＝AB－AE－BF＝AB－AC－BD＝AB－(AC＋BD)＝15－×(15－3)＝15－×12＝9(cm)．
13．(10分)如圖，把一根繩子對折成線段AB，從點P處把繩子剪斷，已知AP∶BP＝2∶3.若剪斷后的各段繩子中最長的一段為60 cm，求繩子的原長．
解：本題有兩種情形：
①當點A是繩子的對折點時，將繩子展開如圖1.
圖1
因為AP∶BP＝2∶3，剪斷后的各段繩子中最長的一段為60 cm，
所以2AP＝60 cm.
所以AP＝30 cm.
所以BP＝45 cm.
所以繩子的原長為2AB＝2(AP＋BP)＝2×(30＋45)＝150(cm)．
②當點B是繩子的對折點時，將繩子展開如圖2.
圖2
因為AP∶BP＝2∶3，剪斷后的各段繩子中最長的一段為60 cm，
所以2BP＝60 cm.
所以BP＝30 cm.
所以AP＝20 cm.
所以繩子的原長為2AB＝2(AP＋BP)＝2×(20＋30)＝100(cm)．
綜上，繩子的原長為150 cm或100 cm.
類型五　角度的計算
14．(12分)在∠AOB內(nèi)部作射線OC，OD，OA在OB的右側(cè)，且∠AOB＝2∠COD.
(1)如圖1，若∠AOB＝140°，OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，則∠EOF的度數(shù)為　105°??；
(2)如圖2，若OE平分∠BOD，探究∠AOD與∠COE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)設∠COD＝m°，OC在OD的左側(cè)，過點O作射線OE，使OC為∠BOE的平分線，再作∠COD的平分線OF.若∠COE＝3∠EOF，畫出相應的圖形并求出∠BOE的度數(shù)．(用含m的代數(shù)式表示)
圖1
　　
圖2
解：(2)∠AOD＝2∠COE.理由如下：
因為OE平分∠BOD，
所以∠DOE＝∠BOD.
根據(jù)角的和差可得∠AOD＝∠AOB－∠BOD，
∠COE＝∠COD－∠DOE＝∠AOB－∠BOD＝(∠AOB－∠BOD)，
所以∠COE＝∠AOD.
所以∠AOD＝2∠COE.
(3)①如圖1，當OF在∠COE外部時．
圖1
設∠EOF＝n，則∠COE＝3n，∠COF＝∠COE＋∠EOF＝4n.
因為OC平分∠BOE，
所以∠BOE＝2∠COE＝6n.
因為OF平分∠COD，
所以∠COD＝2∠COF＝8n，即8n＝m°.
所以∠BOE＝m°.
②如圖2，當OF在∠COE內(nèi)部時．
圖2
設∠EOF＝n，則∠COE＝3n，
∠COF＝∠COE－∠EOF＝2n.
因為OC平分∠BOE，
所以∠BOE＝2∠COE＝6n.
因為OF平分∠COD，
所以∠COD＝2∠COF＝4n，即4n＝m°.
所以∠BOE＝m°.
綜上，∠BOE的度數(shù)為m°或m°.
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