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思想方法集錦
方法一　分類討論思想
1．(4分)已知線段AB＝60，C為線段AB的中點，D為射線CB上的一點，E為線段BD的中點，且線段EB＝5，則線段CD的長為(　D　)
A．20　 B．30　
C．40 D．20或40
2．(4分)點A，B，C在同一條直線上，AB＝6 cm，BC＝2 cm，M為AB的中點，N為BC的中點，則MN的長度為(　C　)
A．2 cm　 B．4 cm　
C．2 cm或4 cm D．不能確定
3．(4分)已知線段AB＝5，點C在直線AB上，AC＝2，則BC的長為　7或3　．
4．(10分)已知|x|＋4＝12，|y|＋3＝5.
(1)求x，y的取值；
(2)當x－y＜0，求2x＋y的值．
解：(1)因為|x|＋4＝12，|y|＋3＝5，
所以|x|＝8，|y|＝2.
所以x＝±8，y＝±2.
(2)因為x－y＜0，
所以x＝－8，y＝2或x＝－8，y＝－2.
當x＝－8，y＝2時，2x＋y＝2×(－8)＋2＝－14；
當x＝－8，y＝－2時，2x＋y＝2×(－8)＋(－2)＝－18.
綜上，2x＋y的值為－14或－18.
方法二　數形結合思想
5．(4分)已知a，b，c的大致位置如圖所示，化簡：|a＋c|＋|b－c|－|a－b|的結果是(　D　)
A．2a＋2c－2b B．0　
C．2c－2b　 D．2c
6．(4分)有理數a，b在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡a－|b－a|＝　b　．
7．(4分)在數軸上表示a，b兩個數的點的位置如圖所示，則化簡|a－b|－|a＋b|的結果是　2b　．
8．(12分)如圖，數軸上的三點A，B，C分別表示有理數a，b，c.
(1)填空：a－b　<　0，a＋c　<　0，b－c　<　0；(均填“＞”“＜”或“＝”)
(2)化簡：|a－b|－|a－c|＋|b－c|.
解：(2)原式＝b－a＋a－c＋c－b＝0.
方法三　整體思想
9．(4分)如果x2y＋1＝0，那么代數式2－3(x2y＋xy)＋的值為　　．
10．(4分)若a2＋2ab＝4，b2－3ab＝－2，則2a2＋b2＋ab＝　6　．
11．(4分)當a＋b＝3時，代數式2(a＋2b)－(3a＋5b)＋5的值為　2　．
方法四　方程思想
12．(4分)已知一個長方形的周長為30 cm，若長方形的長減少1 cm，寬擴大為原來的2倍后成為一個正方形，設原來長方形的長為x cm，則可列方程為(　A　)
A．x－1＝2(15－x)
B．x－1＝2(30－x)
C．x－1＝(15－x)　　
D．x－1＝(30－x)
13．(4分)買兩種布料共138 m，花了540元，其中藍布料每米3元，黑布料每米5元，兩種布料各買了多少米？設買藍布料買了x m，列方程正確的是(　A　)
A．3x＋5(138－x)＝540　
B．5x＋3(138－x)＝540
C．3x＋5(540－x)＝138　　
D．5x＋3(540－x)＝138
14．(4分)學校手工剪紙社團制作一批燈籠，若每人制作4個，則還差12個，若每人制作5個，則多18個．若設共需要制作x個燈籠，則可列方程為(　C　)
A．＋12＝－18
B．－12＝＋18
C．＝
D．＝
15．(4分)某車間26名工人生產螺栓和螺母，每人每天平均生產13個螺栓或19個螺母，1個螺栓需要2個螺母與之配套，如何安排生產螺栓才能讓螺栓和螺母正好配套？設有x名工人生產螺栓，其余人生產螺母，依題意列方程為(　B　)
A．13x＝19(26－x)　　
B．2×13x＝19(26－x)
C．13×19x＝19(26－x)　
D．13x＝2×19(26－x)
16．(4分)一項工程甲單獨做要20 h，乙單獨做要12 h．現在先由甲單獨做5 h，然后甲、乙合作完成．問：完成整個工程一共需要多少小時？設一共需要x h，則可列方程為　×5＋×(x－5)＝1　．
17．(4分)一架飛機在兩個城市間飛行，順風飛行需4 h，逆風飛行需5 h，如果風速是30 km/h，設兩個城市的距離是x km，則可列方程為　－30＝＋30　．
18．(14分)新年將至，學校計劃訂購一批吉祥物的掛件和徽章．經調查發現，同一款式的掛件和徽章在甲、乙兩家商店標價均相同，其中掛件每個標價40元，徽章每個標價20元．同時，兩家商店分別開展不同的新年促銷活動，優惠方式如下：
甲商店：買1個掛件送1個徽章；
乙商店：掛件和徽章都按8折(標價的80%)出售．
如果學校計劃訂購掛件30個，徽章若干(多于30個)．
(1)當訂購35個徽章時，如果在甲商店訂購，費用需　1 300　元；
(2)當訂購多少個徽章時，在甲、乙兩家商店分別訂購的費用相同？
(3)當訂購100個徽章時，如果甲、乙兩家商店可以自由選擇，請設計一種最省錢的訂購方案，并說明理由．
解：(2)設當訂購x(x＞30)個徽章時，在甲、乙兩家商店分別訂購的費用相同．
根據題意，得40×30＋20(x－30)＝40×80%×30＋20×80%x，
解得x＝90.
答：當訂購90個徽章時，在甲、乙兩家商店分別訂購的費用相同．
(3)最省錢的訂購方案為：在甲商店訂購掛件30個、徽章30個，在乙商店訂購徽章70個．理由如下：
方案1：只在甲商店訂購，所需費用為40×30＋20×(100－30)＝2 600(元)；
方案2：只在乙商店訂購，所需費用為40×80%×30＋20×80%×100＝2 560(元)；
方案3：在甲商店訂購掛件30個、徽章30個，在乙商店訂購徽章100－30＝70(個)，所需費用為40×30＋20×80%×70＝2 320(元)．
因為2 600＞2 560＞2 320，
所以最省錢的訂購方案為：在甲商店訂購掛件30個、徽章30個，在乙商店訂購徽章70個．
19．(12分)李明從家里騎摩托車勻速行駛到火車站，如果每小時行50 km，那么將比火車的開車時間晚15 min到火車站；若每小時行60 km，則比火車的開車時間晚5 min到火車站．
(1)求李明家到火車站的距離；
(2)現在李明打算在火車開車前5 min到達火車站，那么他騎摩托車的速度應該是多少？
解：(1)設李明家到火車站的距離是x km，
則＝，
解得x＝50.
答：李明家到火車站的距離是50 km.
(2)若李明打算在火車開車前5 min到達火車站，那么他騎摩托車的速度應該是50÷＝75 km/h.
答：他騎摩托車的速度應該是75 km/h.
方法五　由特殊到一般的思想
20．(12分)如圖是一個三角形，現分別連接這個三角形三邊的中點將這個三角形分割成4個較小的三角形(即分割成四部分)得到圖1，再連接中間這個三角形三邊的中點繼續將它分割得到圖2；再繼續連接最中心三角形三邊的中點將它分割得到圖3.
(1)圖1中大三角形被分割成　4　個三角形；圖2中大三角形被分割成　7　個三角形；
(2)按上面的方法繼續分割下去，第10個圖形被分割成幾個三角形？第n個圖形呢(用含n的代數式表示結論)
解：(2)第10個圖形被分割成3×10＋1＝31(個)三角形；第n個圖形被分割成(3n＋1)個三角形．
21．(10分)觀察式子，解答下列問題：
第1個式子：13×17＝221＝1×2×100＋21，
第2個式子：23×27＝621＝2×3×100＋21，
第3個式子：33×37＝1 221＝________________，
……
(1)觀察算式規律，補全第3個式子：　3×4×100＋21　；
(2)寫出第n個式子；
(3)利用發現的規律，直接寫出第11個式子：　113×117＝13 221＝11×12×100＋21　．
解：(2)(10n＋3)×(10n＋7)＝n(n＋1)×100＋21.
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