資源簡介

創新考向集訓
創新考向一　規律探究
1．(4分)如圖，給正五邊形的頂點依次編號為1，2，3，4，5，若從某一個頂點開始，沿正五邊形的邊順時針方向行走，頂點編號的數字是幾，就走幾個邊長，則稱這種走法為一次“移位”．如：小明在編號為2的頂點上時，那么他應走2個邊長，即走2→3→4為第一次“移位”，這時他到達編號為4的頂點，接下來他應走4個邊長，即走4→5→1→2→3為第二次“移位”．若小明從編號為1的頂點開始，第2 024次“移位”后，則他所處頂點的編號為(　A　)
A．1　 B．2
C．3　 D．4
2．(4分)現有一列數：a1，a2，a3，a4，…，an－1，an(n為正整數)，規定a1＝2，a2－a1＝4，a3－a2＝6，…，an－an－1＝2n(n≥2)．若＋…＋＝，則n的值為(　D　)
A．2 017 B．2 021　
C．2 022 D．2 025
創新考向二　傳統文化
3．(4分)《九章算術》中有一道題，譯文大意為：現在有若干人共同買一只羊，若每人出7錢，則還差3錢；若每人出8錢，則剩余16錢．求買羊的人數和這頭羊的價格．設買羊的人數為x人，根據題意，可列方程為　7x＋3＝8x－16　．
4．(4分)我國古代數學名著《孫子算經》中記載了一道題，譯文大意為：100匹馬拉了100片瓦，已知1匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦，問：有多少匹大馬和多少匹小馬？設大馬有x匹，那么可列方程為　3x＋(100－x)＝100　．
創新考向三　推理論證
5．(8分)如圖，線段AB＝19，BC＝15，M是AC的中點，在CB上取一點N，使得CN∶NB＝2∶3，求MN的長．
解：因為AB＝19，BC＝15，
所以AC＝AB－BC＝4.
因為M是AC的中點，
所以AM＝CM＝AC＝2.
因為BC＝15＝CN＋NB，CN∶NB＝2∶3，
所以CN＝BC＝6.
所以MN＝MC＋CN＝8.
創新考向四　新定義
6．(12分)閱讀材料，完成相關題目．
老師說：“我定義了一種新的運算，叫※(加乘)運算．”
老師寫出了一些按照※(加乘)運算法則進行運算的式子：(＋2)※(＋4)＝＋6；(－3)※(－4)＝＋7；(－2)※(＋3)＝－5；(＋4)※(－8)＝－12；0※(＋9)＝＋9；(－7)※0＝＋7.
小明看完算式后說：“我知道老師定義的※(加乘)運算法則了．”聰明的你看出來了嗎？
(1)歸納※(加乘)運算法則：
兩數進行※(加乘)運算時，同號得　正　，異號得　負　，并把絕對值　相加　；特別是0和任何數進行※(加乘)運算時都等于這個數的絕對值；
(2)求－5※[0※(－3)]的值；
(3)若(4－2b)※(|a|－1)＝0，求a＋b的值．
解：(2)(－5)※[0※(－3)]
＝(－5)※3
＝－(5＋3)
＝－8.
(3)當|a|≠1時，|4－2b|＋||a|－1|＝0，得b＝2，|a|＝1，此種情況舍去．
當|a|＝1時，|4－2b|＝0，得b＝2，
即b＝2，a＝±1.
當a＝1，b＝2時，a＋b＝3；
當a＝－1，b＝2時，a＋b＝1.
7．(12分)設n！表示自然數由1到n的連乘積，并規定0！＝＝＝(n≥0，n≥m)．例如，1！＝1，2！＝1×2＝2，3！＝1×2×3＝＝＝＝＝＝＝15，請回答下列問題：
(1)求；
(2)試根據，2！的值寫出，2！滿足的等量關系，根據，3！的值寫出，3！滿足的等量關系，根據，4！的值寫出，4！滿足的等量關系；
(3)探究與m！之間的等量關系并加以說明．
解：＝＝＝3，
＝＝＝6.
(2)由＝＝6，2！＝2，
得＝2！.
同理，得＝3！；＝4！.
(3)由(2)，得＝m！.說明如下：
＝＝，
所以m！＝m！×＝＝.
8．(12分)[閱讀理解]
(1)規定符號[a，b]表示a，b兩個數中較大的一個，規定符號(a，b)表示a，b兩個數中較小的一個．例如，[2，1]＝2，(2，1)＝1.請計算：[－2，1]＋的值．
[嘗試應用]
(2)若[a，a＋2]＋(－2a，－2a－1)＝4，求a的值．
[拓展探究]
(3)若[－3n－1，－3n＋1]－(m，m＋1)＝1，試求代數式(m＋3n)3－3m－9n＋8的值．
解：(1)[－2，1]＋
＝1＋
＝.
(2)因為a＜a＋2，－2a＞－2a－1，
所以[a，a＋2]＋(－2a，－2a－1)
＝a＋2＋(－2a－1)
＝a＋2－2a－1
＝－a＋1.
所以－a＋1＝4.
所以a＝－3.
(3)因為－3n－1＜－3n＋1，m＜m＋1，
所以[－3n－1，－3n＋1]－(m，m＋1)
＝－3n＋1－m＝1.
所以m＋3n＝0.
所以原式＝03－3(m＋3n)＋8＝8.
創新考向五　閱讀感悟
9．(12分)[概念學習]
規定：求若干個相同的有理數(均不等于0)的除法運算叫作除方，如2÷2÷2等．類比有理數的乘方，我們把2÷2÷2 記作23，讀作“2的下3次方”．一般地，把n個a(a≠0)相除記作an，讀作“a的下n次方”．
[初步探究]
(1)關于除方，下列說法正確的有　①②　．(填序號)
①對于任何非零數a，a2＝1；
②對于任何正整數n，1n＝1；
③23＝32；
④在an中，若a＜0，當n為奇數時，an＞0；當n為偶數時，an＜0.
[深入思考]
我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？
例如，24＝2÷2÷2÷2＝2×＝.
(2)試一試：將35轉化為乘方運算．
(3)算一算：42×23＋.
解：(2)35＝3÷3÷3÷3÷3＝3×＝.
(3)42×23＋＝1×8＋(－2)3＝8－8＝0.
創新考向六　方案設計
10．(14分)2023年10月5日，杭州第19屆亞運會女子籃球決賽，中國隊戰勝日本隊，奪得金牌，這則消息提升了青少年參加籃球運動的熱情．某體育用品商店抓住時機，對甲、乙兩品牌籃球開展促銷活動，已知甲、乙兩品牌籃球的標價分別是160元/個，60元/個，現有如下兩種優惠方案：
方案一：不購買會員卡，甲品牌籃球享受8.5折優惠，乙品牌籃球5個以下按標價購買，買5個(含5個)以上時所有籃球享受8.5折優惠．
方案二：辦理一張會員卡100元，會員卡只限本人使用，全部商品享受7.5折優惠．
(1)若購買甲品牌籃球5個，乙品牌籃球3個，哪一種方案更優惠？優惠多少元？
(2)若購買甲品牌籃球若干個，乙品牌籃球6個，且方案一與方案二所付錢數一樣多，求購買甲品牌籃球的個數．
解：(1)方案一的費用為160×0.85×5＋60×3＝860(元)，
方案二的費用為100＋0.75×(160×5＋60×3)＝835(元)，
860－835＝25(元)．
所以方案二更優惠，優惠25元．
(2)設購買甲品牌籃球x個．
由題意，得160×0.85x＋60×0.85×6＝100＋0.75(160x＋60×6)，
解得x＝4.
答：購買甲品牌籃球4個．
創新考向七　探究開放
11．(14分)[問題情境]
數軸上表示整數的點稱為“整點”，以1 cm 的長度為單位長度建立數軸．一根木棒如圖1所示放置在數軸上．
(1)如圖2，木棒的左端與數軸上的整點A重合，右端與整點B重合．若將木棒沿數軸向右水平移動，則當它的左端移動到整點B時，它的右端在數軸上所對應的整數為8；若將木棒沿數軸向左水平移動，則當它的右端移動到整點A時，它的左端在數軸上所對應的整數為2.由此可得到木棒長為　2　cm.
[數學思考]
(2)木棒在數軸上移動時，能同時蓋住的整點的個數是　2或3　．
[深入探究]
(3)如圖3，當木棒右端與點M重合時開始向右勻速移動，當移動到木棒左端與點N重合時，用時5 s；如圖4，當木棒左端與點M重合時開始向右勻速移動，當移動到木棒右端與點N重合時，用時3 s(兩次運動速度相同)，求點M，N之間的距離．
,
圖1
,
圖2
,
圖3
,
圖4
解：(3)設M，N之間的距離為x cm.
根據題意，列方程為＝，
解得x＝8.
答：點M，N之間的距離為8 cm.
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