資源簡介

專項突破提升(三)
建立一元一次方程模型解決實際問題
類型一　比賽積分模型
1．(4分)某競賽試卷由26道題組成，答對一題得8分，答錯一題倒扣5分，小強雖然做了全部的26道題，但所得總分為零，他答對的題有(　A　)
A．10道 B．15道
C．20道 D．8道
2．(8分)為豐富學生的校園活動，增強學生的身體素質，某學校舉行了班級足球聯賽，七(1)班開局11場保持不敗，共積23分，按照比賽規則，勝一場積3分，平一場積1分，負一場積0分，求該班獲勝的場數．
解：設七(1)班獲勝x場，則平(11－x)場．
根據題意，得3x＋(11－x)＝23，
解得x＝6．
答：七(1)班獲勝6場．
類型二　行程問題模型
3．(4分)輪船在河流中來往航行于A，B兩碼頭之間，順流航行全程需7 h，逆流航行全程需9 h．已知水流速度為3 km/h，求A，B兩碼頭間的距離．若設A，B兩碼頭間距離為x，則可列方程為(　B　)
A．＋3＝－3 B．－3＝＋3
C．＋3＝ D．－3＝
4．(10分)甲、乙兩地相距900 km，一列快車從甲地出發勻速開往乙地，速度為120 km/h；快車開出30 min時，一列慢車從乙地出發勻速開往甲地，速度為90 km/h．設慢車行駛的時間為x h，快車到達乙地后停止行駛，根據題意解答下列問題．
(1)當快車與慢車相遇時，求慢車行駛的時間；
(2)當兩車之間的距離為315 km時，求快車行駛的路程．
解：(1)由題意，得120(x＋0.5)＋90x＝900，
解得x＝4．
所以慢車行駛的時間為4 h．
(2)①若兩車相遇前相距315 km，則有120(x＋0.5)＋90x＝900－315，解得x＝2.5．
此時快車行駛的路程為120×(2.5＋0.5)＝360(km)．
②若兩車相遇后相距315 km，
則有120(x＋0.5)＋90x＝900＋315，
解得x＝5.5．
此時快車行駛的路程為120×(5.5＋0.5)＝720(km)．
③當快車到達乙地，快車行駛了7.5 h，慢車行駛了7 h，7×90＝630＞315，此種情況不存在．
綜上所述，當兩車之間的距離為315 km時，快車行駛的路程為360 km或720 km．
類型三　配套問題模型
5．(4分)某車間有67名工人，生產甲、乙兩種零件，每人每天平均能生產甲種零件23個或乙種零件29個，若5個甲種零件和4個乙種零件配成一套，應分配多少人生產甲種零件，多少人生產乙種零件，才能使每天生產的甲種零件和乙種零件剛好配套？設應分配x人生產甲種零件，則根據題意，可列方程為(　A　)
A．4×23x＝5×29(67－x)
B．5×23x＝4×(67－x)
C．x＝67×23(29－x)
D．23x＝29(67－x)
6．(8分)美術老師組織七(5)班的學生用硬紙板制作如圖所示的正三棱柱盒子．七(5)班共有學生45人，每名學生每小時可以裁剪60個側面或50個底面．已知一個三棱柱盒子由3個側面和2個底面組成，為了使每小時裁剪出的側面與底面剛好配套，應如何分配全班學生？
解：設裁剪側面的學生有x人，則裁剪底面的學生有(45－x)人．
根據題意列方程，得2×60x＝3×50(45－x)，
解得x＝25．
所以45－x＝45－25＝20．
答：裁剪側面的學生有25人，裁剪底面的學生有20人．
類型四　銷售問題模型
7．(4分)現在秋季蔬菜大量上市，一種大蔥售價2元/千克，如果買10 kg以上全部按九折銷售，買10 kg及以下不打折，叔叔買這種大蔥花了19.8元，那么他買了 9.9或11 kg的這種大蔥．
8．(10分)某超市從廠家購進甲、乙兩種品牌的書包，每個甲品牌書包的進價比每個乙品牌書包的進價貴20元．若購進甲品牌書包30個，乙品牌書包50個，則需5 400元．
(1)求甲、乙兩種品牌書包每個的進價分別是多少元；
(2)該超市從廠家購進甲、乙兩種品牌書包共200個，所用資金恰好為14 400元．在銷售時，每個乙品牌書包的售價為78元，若要使得這200個書包的銷售利潤率為40%，則每個甲品牌書包的售價應為多少元？
解：(1)設甲品牌書包每個的進價為x元，則乙品牌書包每個的進價為(x－20)元．
根據題意，得30x＋50(x－20)＝5 400，
解得x＝80．所以x－20＝80－20＝60．
答：甲、乙兩種品牌書包每個的進價分別是80元、60元．
(2)設購進甲品牌書包m個，則購進乙品牌書包(200－m)個．
根據題意，
得80m＋60(200－m)＝14 400，
解得m＝120．
所以200－m＝200－120＝80．所以購進甲品牌書包120個，乙品牌書包80個．
設每個甲品牌書包的售價應為y元．
根據題意，得120(y－80)＋80×(78－60)＝14 400×40%，解得y＝116．
答：每個甲品牌書包的售價應為116元．
類型五　工程問題模型
9．(4分)一項工程，甲單獨做需15天完成，乙單獨做需12天完成，現先由甲、乙合作3天后，剩下工程由乙單獨完成，問：乙還要幾天才能完成全部工程？設乙還需x天 完成，則可列方程為(　B　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
10．(12分)某市有甲、乙兩個工程隊，現有一小區需要進行改造，甲工程隊單獨完成這項工程需要20天，乙工程隊單獨完成這項工程所需的時間比甲工程隊多．
(1)求乙工程隊單獨完成這項工程需要多少天．
(2)現在若甲工程隊先做5天，剩余部分再由甲、乙兩工程隊合作，還需要多少天才能完成？
(3)已知甲工程隊每天施工費用為4 000元，乙工程隊每天施工費用為2 000元，若該工程總費用政府撥款為70 000元(全部用完)，則甲、乙兩個工程隊各需要施工多少天？
解：(1)20×＝30(天)．
答：乙工程隊單獨完成這項工程需要30天．
(2)設還需要x天才能完成．依題意，
得＋＝1，解得x＝9．
答：還需要9天才能完成．
(3)設甲工程隊需要施工y天，則乙工程隊需要施工＝天．依題意，
得4 000y＋2 000＝70 000，
解得y＝10．則乙需要30－×10＝15(天)．
答：甲工程隊需要施工10天，乙工程隊需要施工15天．
類型六　日歷問題模型
11．(10分)如圖1是某月的日歷，用如圖2的“Z”字型覆蓋住日歷中的五個數，這五個數從小到大依次為A，B，C，D，E．
(1)這五個數的和能被5整除嗎？為什么？
(2)若B，C，D三處的數字之和為42，請試著求出A處的數字．
第11題圖
解：(1)這五個數的和能被5整除．理由如下：
設數字C為x，則數字A，B，D，E分別為x－8，x－7，x＋7，x＋8，
所以A＋B＋C＋D＋E＝(x－8)＋(x－7)＋x＋(x＋7)＋(x＋8)＝5x．
因為＝x，
所以這五個數的和能被5整除．
(2)設數字C為x，則數字A，B，D分別為x－8，x－7，x＋7，
所以B＋C＋D＝x－7＋x＋x＋7＝3x．
由題意，得3x＝42，
解得x＝14．
所以A處數字為x－8＝14－8＝6．
類型七　數字問題模型
12．(4分)小敏同學編了下面的數學謎題，要求在題中“□”內填入同一個數字．小聰設“□”內的數字為x，則可列出方程為(　C　)
A．2×31x＝11x＋21
B．2×(31＋x)＝(x＋11)＋21
C．2×(310＋x)＝(100x＋11)＋21
D．2×(31＋x)＝(100x＋11)＋21
13．(4分)如表有12個方格，每個方格內都有一個數．若任意相鄰三個數的和都是19，則x的值是 4 ．
5 A B C D E F x G H P 10
類型八　方案選擇問題模型
14．(14分)某企業加工一批員工制服，現有甲、乙兩個加工廠都想加工這批制服，已知甲工廠每天能加工這種制服18套，乙工廠每天能加工這種制服27套，且單獨加工這批制服甲工廠比乙工廠要多用10天．在加工過程中，企業需付甲工廠每天費用80元、付乙工廠每天費用120元．
(1)求這批制服共有多少套；
(2)為了盡快完成這批制服，企業決定先由甲、乙兩工廠按原生產速度合作一段時間后，甲工廠停工，而乙工廠每天的生產速度提高，乙工廠單獨完成剩余部分，且乙工廠的全部工作時間比甲工廠工作時間的2倍少7天，求乙工廠共加工多少天；
(3)經企業研究決定制訂如下方案：方案一：由甲工廠單獨完成；方案二：由乙工廠單獨完成；方案三：按(2)的方式完成．并且每種方案在加工過程中，每個工廠需要一名工程師進行技術指導，并由企業提供每天15元的午餐補助費．請你通過計算幫該企業選擇一種最省錢的加工方案．
解：(1)設乙工廠單獨加工這批制服需要x天，則甲工廠需要(x＋10)天．
由題意，得18(x＋10)＝27x，
解得x＝20．
所以這批制服共有20×27＝540(套)．
答：這批制服共有540套．
(2)設甲工廠的工作時間為y天，則乙工廠的全部工作時間為(2y－7)天．
由題意，得(18＋27)y＋27××(2y－7－y)＝540，解得y＝10．
所以2y－7＝20－7＝13．
答：乙工廠共加工了13天．
(3)由(1)知甲工廠單獨完成的時間為30天，乙工廠單獨完成的時間為20天，
所以方案一所付費用為(15＋80)×30＝2 850(元)；
方案二所付費用為(15＋120)×20＝2 700(元)；
方案三所付費用為(15＋80)×10＋(15＋120)×13＝2 705(元)．
因為2 700＜2 705＜2 850，
所以該企業選擇方案二最省錢．
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