資源簡介

專項突破提升(四)
計算線段和角
類型一　分類討論
1．(4分)在直線l上取A，B，C三點，使線段 AB＝8 cm, AC＝3 cm, 則線段 BC 的長為(　D　)
A．5 cm B．8 cm
C．5 cm或8 cm D．5 cm或11 cm
2．(4分)如圖，點A，O，B在同一條直線上，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，現將OC以每秒5°的速度繞點O順時針旋轉一周，OD保持不動．當OC⊥OD時，OC的運動時間為(　C　)
A．5 s B．31 s
C．5 s或41 s D．5 s或67 s
3．(4分)已知∠AOB＝40°，其平分線是射線OD，自點O引射線OC，形成2個小于平角的角∠AOC，∠COB．若∠AOC∶∠COB＝2∶3，則∠COD的度數為 4°或100° ．
類型二　雙垂直型
4．(4分)如圖，∠ABC＝∠DBE＝90°，BC平分∠DBE，則下列結論不正確的是(　D　)
A．∠ABE與∠EBC互余
B．∠ABE與∠DBC互余
C．∠ABD與∠DBC互補
D．圖中沒有互補的兩個角
5．(4分)如圖，將一副三角尺的直角頂點O疊放在一起，若∠BOC＝∠AOD，則∠BOD的度數為 70° ．
6．(4分)如圖，∠AOB和∠COD都是直角，且∠AOC與∠BOD的度數之比為3∶5，則∠AOD的度數為 157.5° ．
類型三　折疊類
7．(4分)將一個長方形紙片按如圖所示的方式折疊，BD，BE為折痕．若∠ABE＝20°，則∠CBD的度數為(　C　)
A．50° B．60°
C．70° D．80°
8．(4分)如圖，在長方形紙片ABCD中，點E，F分別在邊AB，CD上，連接EF．將∠BEF對折，點B落在直線EF上的點B′處，得折痕EM；將∠AEF對折，點A落在直線EF上的點A′處，得折痕EN，則∠NEM的度數為(　B　)
A．105° B．90°
C．60° D．不能確定
類型四　作圖類
9．(12分)如圖，在平面內有不共線的三個點A，B，C．
(1)作直線AB，射線AC，線段BC；
(2)用圓規和沒有刻度的直尺作圖：延長BC到點D，使CD＝AC，連接AD；
(3)比較AB＋AD與BD的大小，并指出判斷的依據．
解：(1)如圖，直線AB，射線AC和線段BC即為所作．
(2)如圖，即為所作．
(3)根據“兩點之間，線段最短”可判斷AB＋AD＞BD．
10．(10分)用一副三角尺進行操作探究：把銳角為30°，60°的三角尺記作三角尺①，把銳角為45°，45°的三角尺記作三角尺②，用三角尺①，②完成以下作圖．
(1)作出大小為120°的角(要求：畫出三角尺①，②的一種擺放示意圖)；
(2)已知∠MON＝30°，在圖中作出∠MON的平分線(要求：畫出三角尺①，②的一種擺放示意圖)．
略
類型五　計算類
11．(10分)如圖，E是線段AB的中點，C是線段EB上一點，AC＝6．
(1)若F為BC的中點，求EF的長；
(2)若CE∶CB＝1∶4，求AB的長．
解：(1)因為E是線段AB的中點，
所以AE＝BE．
設CE＝x，則AE＝BE＝6－x，
所以BC＝BE－CE＝6－x－x＝6－2x．
因為F為BC的中點，
所以CF＝BC＝3－x．
所以EF＝CE＋CF＝x＋3－x＝3．
(2)因為CE∶CB＝1∶4，
所以設CE＝x，則CB＝4x，BE＝5x．
因為E是線段AB的中點，
所以AE＝BE＝5x．
所以AC＝AE＋CE＝6x＝6．
所以x＝1．所以AB＝10x＝10．
12．(12分)在∠AOB內部作射線OC，OD，OA在OB的右側，且∠AOB＝2∠COD．
(1)如圖(1)，若∠AOB＝140°，OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，則∠EOF的度數為 105° ；
(2)如圖(2)，OE平分∠BOD，探究∠AOD與∠COE之間的數量關系，并說明理由；
(3)設∠COD＝m°，OC在OD的左側，過點O作射線OE，使OC為∠BOE的平分線，再作∠COD的平分線OF，若∠COE＝3∠EOF，畫出相應的圖形并求出∠BOE的度數(用含m的代數式表示)．
(1)
(2)
第12題圖
解：(1)因為∠AOB＝140°，∠AOB＝2∠COD，
所以∠COD＝70°，∠AOD＋∠BOC＝70°．
因為OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，
所以∠AOE＝∠AOD，∠BOF＝∠BOC．
所以∠AOE＋∠BOF＝(∠AOD＋∠BOC)＝35°．
所以∠EOF＝∠AOB－(∠AOE＋∠BOF)＝140°－35°＝105°．
故答案為105°．
(2)∠AOD＝2∠COE．理由如下：
因為OE平分∠BOD，
所以∠DOE＝∠BOD．
根據角的和差可得∠AOD＝∠AOB－∠BOD，
∠COE＝∠COD－∠DOE＝∠AOB－∠BOD＝(∠AOB－∠BOD)＝∠AOD，
所以∠AOD＝2∠COE．
(3)①如圖(1)，當OF在∠COE外部時．
(1)
第12題解圖
設∠EOF＝n，則∠COE＝3n，∠COF＝n＋3n＝4n．
因為OC平分∠BOE，
所以∠BOE＝2∠COE＝6n．
因為OF平分∠COD，
所以∠COD＝2∠COF＝8n，即8n＝m°．
所以∠BOE＝m°．
②如圖(2)，當OF在∠COE內部時．
(2)
第12題解圖
設∠EOF＝n，則∠COE＝3n，
∠COF＝3n－n＝2n．
因為OC平分∠BOE，
所以∠BOE＝2∠COE＝6n．
因為OF平分∠COD，
所以∠COD＝2∠COF＝4n，即4n＝m°．
所以∠BOE＝m°．
綜上，∠BOE的度數為m°或m°．
類型六　規律題
13．(4分)如圖，一個正方體的六個面上分別寫著6個連續的整數，且相對面上的兩個整數的和都相等，將這個正方體放在水平桌面上，將其以如圖所示的方式滾動．若每滾動90°算一次，則滾動2 024次后，正方體貼在桌面一面上的數字是 12 ．
　…
類型七　閱讀理解
14．(14分)(1)如圖(1)，已知線段MN＝30 cm，AB＝2 cm，C和D分別是AM，BN的中點．若AM＝16 cm，則CD＝ 16 cm．
(1)
第14題圖
(2)我們發現角的很多規律和線段類似，如圖(2)，已知∠AOB在∠MON內部轉動，射線OC和射線OD分別平分∠AOM和∠BON．
①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD的度數；
②請你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三個角有怎樣的數量關系，并說明理由．
(2)
第14題圖
(3)如圖(3)，∠AOB在∠MON內部轉動，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，∠MOC＝k∠AOC，∠NOD＝k∠BOD，則∠COD的度數為 ＋30° (用含k的代數式表示)．
(3)
第14題圖
解：(1)因為MN＝30 cm，AB＝2 cm，
AM＝16 cm，
所以BN＝MN－AB－AM＝12 cm．
因為C和D分別是AM，BN的中點，
所以AC＝AM＝8 cm，
BD＝BN＝6 cm．
所以CD＝AC＋AB＋BD＝8＋2＋6＝16(cm)．
故答案為16．
(2)①因為OC和OD分別平分∠AOM和∠BON，所以∠AOC＝∠AOM，∠BOD＝∠BON．
所以∠AOC＋∠BOD＝∠AOM＋∠BON＝(∠AOM＋∠BON)．
又因為∠MON＝150°，∠AOB＝30°，
所以∠AOM＋∠BON＝∠MON－∠AOB＝120°．
所以∠AOC＋∠BOD＝60°．
所以∠COD＝∠AOC＋∠BOD＋∠AOB＝60°＋30°＝90°．
②∠COD＝(∠MON＋∠AOB)．理由如下：
因為OC和OD分別平分∠AOM和∠BON，
所以∠AOC＝∠AOM，∠BOD＝∠BON．
所以∠AOC＋∠BOD＝∠AOM＋∠BON＝(∠AOM＋∠BON)．
所以∠COD＝∠AOC＋∠BOD＋∠AOB
＝(∠AOM＋∠BON)＋∠AOB
＝(∠MON－∠AOB)＋∠AOB
＝(∠MON＋∠AOB)．
(3)因為∠MON＝150°，∠AOB＝30°，
所以∠AOM＋∠BON＝∠MON－∠AOB＝120°．
因為∠MOC＝k∠AOC，∠NOD＝k∠BOD，
所以∠AOM＝∠MOC＋∠AOC＝(1＋k)∠AOC，
∠BON＝∠NOD＋∠BOD＝(1＋k)∠BOD．
所以∠AOC＋∠BOD＝．
所以∠COD＝∠AOC＋∠BOD＋∠AOB＝＋30°．
故答案為＋30°．
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