資源簡介

思想方法集錦
方法一　整體法
1．(4分)整體代入是數學中常用的方法．例如，已知3a－b＝2，求代數式6a－2b－1的值．可以這樣解：6a－2b－1＝2(3a－b)－1＝2×2－1＝3．根據此方法，解決問題：若x＝2是關于x的一元一次方程ax＋b＝3的解，則代數式8a＋4b－2的值是(　D　)
A．4 B．6
C．8 D．10
2．(4分)把(2a＋b)看成一個整體，則3(2a＋b)－4(2a＋b)＋(2a＋b)的化簡結果是(　D　)
A．(2a＋b) B．2(2a＋b)
C．－(2a＋b) D．0
3．(12分)理解與思考：整體代入是數學學習的一種思想方法．
例如，若a＋b＝6，求18－2a－2b的值．
我們將a＋b＝6作為一個整體代入，則原式＝18－2×6＝6．
仿照上面的方法，解答下面的問題：
(1)若a＋b＝3，求2(a＋b)－4a－4b＋21的值；
(2)若a2＋2ab＝20，b2＋2ab＝8，求a2＋2b2＋6ab的值；
(3)當x＝2 024時，代數式ax5＋bx3＋cx－5的值為m，求當x＝－2 024時，代數式ax5＋bx3＋cx－5的值．
解：(1)因為a＋b＝3，
所以2(a＋b)－4a－4b＋21
＝2(a＋b)－4(a＋b)＋21
＝2×3－4×3＋21
＝15．
(2)因為a2＋2ab＝20，b2＋2ab＝8，
所以a2＋2b2＋6ab
＝a2＋2ab＋2b2＋4ab
＝a2＋2ab＋2(b2＋2ab)
＝20＋2×8
＝36．
(3)因為當x＝2 024時，2 0245a＋2 0243b＋2 024c－5＝m，
所以當x＝－2 024時，
ax5＋bx3＋cx－5
＝－2 0245a－2 0243b－2 024c－5
＝－m－10．
4．(8分)用整體思想解方程：3(2x－3)－(3－2x)＝5(3－2x)＋(2x－3)．
解：設y＝2x－3，
則原方程可以化成3y＋y＝－5y＋y．
移項、合并同類項，得y＝0，
解得y＝0，
即2x－3＝0，
解得x＝．
方法二　分類討論法
5．(8分)已知|a|＝2，|b|＝8，且ab＜0，求a－b的值．
解：因為|a|＝2，|b|＝8，
所以a＝±2，b＝±8．
因為ab＜0，
所以a＝2，b＝－8或a＝－2，b＝8．
所以a－b＝10或－10．
6．(12分)已知∠AOB＝80.5°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝3∠BOC(∠BOC＜50°)，求∠BOC的度數．
聰明的小明用分類討論的方法解決．
(1)當射線OC在∠AOB的內部時．
①若射線OD在∠AOC內部，如圖(1)，可求∠BOC＝16.1°；
②若射線OD在∠AOB外部，如圖(2)，請你求出∠BOC的度數．
(2)當射線OC在∠AOB的外部時，請你畫出圖形，并求∠BOC的度數．
第6題圖
解：(1)②設∠BOC＝α，則∠BOD＝3α，
∠COD＝∠BOD－∠BOC＝2α．
因為∠AOD＝∠AOC，
所以∠AOD＝∠COD＝α．
所以∠AOB＝∠BOD－∠AOD＝3α－α＝80.5°．
所以α＝34.5°．
所以∠BOC＝34.5°．
(2)當射線OC在∠AOB外部時，根據題意，此時射線OC靠近射線OB．
因為∠BOC＜50°，∠AOD＝∠AOC．
所以射線OD的位置也只有兩種可能．
設∠BOC＝α，則∠BOD＝3α．
①若射線OD在∠AOB內部，如圖所示．
因為∠COD＝∠BOC＋∠BOD＝4α，
所以∠AOB＝∠BOD＋∠AOD＝3α＋4α＝7α＝80.5°．
所以α＝11.5°．
所以∠BOC＝11.5°．
②若射線OD在∠AOB外部，如圖所示．
因為∠AOD＝∠AOC，
所以∠AOD＝(∠BOC＋∠BOD)＝α．
所以∠AOB＝∠BOD－∠AOD＝3α－α＝80.5°．
所以α＝48.3°．
所以∠BOC＝48.3°．
綜上所述，∠BOC的度數是11.5°或48.3°．
方法三　數形結合思想
7．(4分)在解決數學實際問題時，常常用到數形結合思想，比如：|x＋1|的幾何意義是數軸上表示數x的點與表示數－1的點的距離，|x－2|的幾何意義是數軸上表示數x的點與表示數2的點的距離．當|x＋1|＋|x－2|取得最小值時，x的取值范圍是(　C　)
A．x≤－1 B．x≤－1或x≥2
C．－1≤x≤2 D．x≥2
8．(4分)古代數學家曾經研究過一元二次方程的幾何解法．以方程x2＋3x＝20為例，三國時期的數學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構造如圖所示的大正方形ABCD，它由四個全等的長方形加中間小正方形組成，根據面積關系可求得AB的長，從而解得x．根據此法，圖中大正方形ABCD的面積為 89 ．
方法四　建模思想
9．(8分)某中學的一隊學生從學校以4 km/h的速度步行去某地參加社會公益活動，出發30 min后，學校派一名通信員騎自行車以12 km/h 的速度去追趕學生隊伍，問：通信員用多少分鐘可以追上學生隊伍？
(1)根據題意，請畫出示意圖；
(2)相等關系為 學生隊伍走的路程＝通信員走的路程 ；
(3)請你完整解答本題．
解：(1)畫示意圖略．
(3)設通信員用x h可以追上學生隊伍．
依題意，得4(x＋0.5)＝12x，
解得x＝0.25．
0.25×60＝15(min)．
答：通信員用15 min可以追上學生隊伍．
方法五　方程思想
10．(4分)一個角的補角是其余角的3倍，設這個角為α，下列關于α的方程中，正確的是(　A　)
A．180°－α＝3(90°－α)
B．180°－α＝(90°－α)
C．90°－α＝3(180°－α)
D．90°－α＝(α－180°)
11．(4分)如圖，C，D為線段AB上兩點，AC＋BD＝10，AD＋BC＝AB．設CD＝t，則關于x的方程3x－7(x－1)＝2t－2(x＋3)的解是 x＝4 ．
方法六　轉化思想
12．(4分)“轉化”是一種解決問題的常用策略，有時畫圖可以幫助我們找到轉化的方法．例如，借助圖(1)，可以把算式1＋3＋5＋7＋9＋11轉化為62＝36．請你觀察圖(2)，可以把算式＋＋＋＋＋＋轉化為 1－＝ (填等式)．
第12題圖
方法七　從特殊到一般的思想
13．(12分)我們學習了乘方的定義和意義，根據乘方和乘法兩種運算之間的轉化了解到：23＝2×2×2；24＝2×2×2×2．
觀察上述算式，得23×24＝2×2×2×2×2×2×2＝27，
所以23×24＝27．
類比上述式子，你能夠得到：
(1)103×105＝ 108 ；
(2)a2·a3＝ a5 ．
利用由特殊到一般的思想，可以得到：
(3)am·an＝ am＋n (m，n都是正整數)．
我們把類似于am和an這樣的式子叫作同底數冪，因此可以得到“同底數冪的乘法”法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加．
(4)x3·x＝ x4 ；
(5)yn·yn+1＝ y2n+1 ；
(6)若xa＝8，xb＝9，則xa＋b的值是 72 ．
14．(10分)從特殊到一般，是我們學習和認知新事物經常運用的方法．
(1)比較大小：
< ， < ， < ， < ；(均填“＞”“＜”或“＝”)
(2)請你根據上面的材料，利用字母a，b，c(a＞b＞0，c＞0)歸納出一個數學關系式．
解：(2)<(a＞b＞0，c＞0)．
15．(12分)從特殊到一般、類比等數學思想方法，在數學探究性學習中經常用到，如下是一個具體案例，請完善整個探究過程．
已知點C在直線AB上，點A在點B的左側，AC＝a，BC＝b，且a≠b，M是AB的中點，請按照下面三個步驟探究線段MC的長度．
(1)若a＝10，b＝6，且點C在線段AB上，求線段MC的長度．
(2)若a＝10，b＝6，則線段MC的長度只能是(1)中的結果嗎？請說明理由．
(3)類比(1)(2)的解答思路，試探究線段MC的長度(用含a，b的代數式表示)．
解：(1)如圖．
因為AC＝10，BC＝6，
所以AB＝AC＋BC＝16．
因為M是AB的中點，
所以AM＝AB＝8．
所以MC＝AC－AM＝10－8＝2．
(2)線段MC的長度不只是(1)中的結果．理由如下：
由于點B的位置不能確定，故應分點B在線段AC上和點B在線段AC的延長線上兩種情況：
①如圖，當點B在線段AC上時．
因為AC＝10，BC＝6，
所以AB＝AC－BC＝4．
因為M是AB的中點，
所以AM＝AB＝2．
所以MC＝AC－AM＝10－2＝8．
②當點B在線段AC的延長線上，如(1)，
此時MC＝AC－AM＝10－8＝2．
(3)由題易知，MC的長度有下列4種情況：
①當點C在點A的左側時，MC＝b＋a；②當點C在點B的右側時，MC＝a＋b；
③當點C在點A，M之間時，MC＝b－a；
④當點C在點M，B之間時，MC＝a－b．
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