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創新考向集訓
創新考向一　規律探究
1．(4分)下列方格中的四個數都是按照規律填寫的，則方格中x的值是(　C　)
A．135 B．170
C．209 D．252
2．(4分)用小棒按下面的規律拼擺八邊形．
萌萌、亮亮、樂樂、歡歡通過觀察圖形，找出了拼擺成的八邊形的數量n和需要小棒的數量a之間的關系．下面說法正確的是(　B　)
A．萌萌：a＝16＋16n(n＞3)
B．亮亮：a＝7n＋1
C．樂樂：a＝8n－1
D．歡歡：a＝7n＋n
3．(4分)觀察下列各多項式：2a＋b，4a2－b3，6a3＋b5，8a4－b7，…，根據你發現的規律，第6個多項式為(　B　)
A．12a6＋b11 B．12a6－b11
C．10a6－b13 D．10a6－b11
4．(4分)把棱長為1的正方體擺成如圖所示的形狀，從上向下數，第一層1個，第二層3個，…，按這種規律擺放，第五層的正方體個數是(　C　)
A．10 B．12
C．15 D．20
5．(12分)如圖，小輝在電腦屏幕上，設計了一條數軸，在數軸上標有兩個點A，B，點A表示數－32，且A，B兩點間的距離為60個單位長度，點P從點A出發，第一次沿數軸向左運動2個單位長度，第二次沿數軸向右運動4個單位長度，第三次沿數軸向左運動6個單位長度，第四次沿數軸向右運動8個單位長度……一直按此規律進行運動．
(1)求點B表示的數；
(2)設點P運動第七次后所表示的數為m，第八次運動后所表示的數為n，求m與n的積；
(3)經過100次運動后，求點P所在的位置與點B之間的距離．
解：(1)因為－32＋60＝28，－32－60＝－92，
所以點B表示的數是28或－92．
(2)根據題意，得m＝－32－2＋4－6＋8－10＋12－14＝－40，n＝－32－2＋4－6＋8－10＋12－14＋16＝－24，
所以mn＝－40×(－24)＝960．
所以m與n的積是960．
(3)因為－32－2＋4－6＋8－10＋…－198＋200
＝－32＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－198＋200)
＝－32＋2×50
＝－32＋100
＝68，
所以經過100次運動后，點P表示的數是68．
因為68－28＝40，68－(－92)＝160，
所以點P所在的位置與點B之間的距離是40或160．
創新考向二　傳統文化
6．(4分)我國古代數學名著《張丘建算經》中記載一題，題目大意為：現在一斗清酒價值10斗谷子，一斗醑酒價值3斗谷子，現在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清、醑酒各幾斗．設清酒有x斗，那么可列方程為(　D　)
A．3x＋10(5－x)＝30
B．＋＝5
C．＋＝5
D．10x＋3(5－x)＝30
7．(4分)我國古代著作《增刪算法統宗》中記載了一首古算詩，詩的大意為：牧童們在樹下拿著竹竿高興地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若設牧童有x人，根據題意可列方程為(　A　)
A．6x＋14＝8x
B．6(x＋14)＝8x
C．8x＋14＝6x
D．8(x－14)＝6x
8．(4分)干支紀年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀年方法，干支是天干和地支的總稱．干支紀年法的組合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循環配合，每個組合代表一年，60年為一個循環．我們把天干、地支按順序排列，且給它們編上序號．天干的計算方法是：年份減3，除以10所得的余數；地支的計算方法是：年份減3，除以12所得的余數．以2024年為例：
天干為(2 024－3)÷10＝202……1；地支為(2 024－3)÷12＝168……5．
對照天干地支表得出，2024年為農歷甲辰年．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
請你依據上述規律推斷2049年為農歷 己巳 年．
9．(12分)洛書，如圖(1)，古稱龜書，現已入選國家級非物質文化遺產名錄．洛書是術數中乘法的起源，“戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，五居中宮”是對洛書形象的描述．如圖(2)，洛書對應的九宮格填有1到9這九個正整數，滿足任一行、列、對角線上三個數之和相等．洛書的填法古人是怎么找到的呢？在學習了方程相關知識后，小凱嘗試探究其中的奧秘．
[第一步]
(1)設任一行、列、對角線上三個數之和為S，則每一行三個數的和均為S，而這9個數的和恰好為1到9這9個正整數之和，由此可得S＝ 15 ；
[第二步]
(2)再設中間數為x，利用包含中間數x的行、列、對角線上的數與9個數的關系可列出方程，求解中間數x．
請你根據上述探究，列方程求出中間數x的值．
第9題圖
解：(2)由計算，知1＋2＋3＋…＋9＝45．
設中間數為x．
依題意，可列方程4×15－3x＝45，
解得x＝5．
故中間數x的值為5．
創新考向三　新定義
10．(12分)新定義：若a＋b＝2，則稱a與b是關于2的“平衡數”．
(1)3與 －1 是關于2的“平衡數”；
(2) x－3 與5－x是關于2的“平衡數”(用含x的代數式表示)；
(3)若a＝2x2－3(x2＋x)＋4，b＝2x－[3x－(4x＋x2)－2]，判斷a與b是否是關于2的“平衡數”，并說明理由．
解：(3)a與b不是關于2的“平衡數”．理由如下：
因為a＝2x2－3(x2＋x)＋4，b＝2x－[3x－(4x＋x2)－2]，
所以a＋b＝2x2－3(x2＋x)＋4＋2x－[3x－(4x＋x2)－2]
＝2x2－3x2－3x＋4＋2x－3x＋4x＋x2＋2
＝6≠2．
所以a與b不是關于2的“平衡數”．
11．(12分)對于等式an＝b，若知道a和n求b，則稱為乘方運算；若知道b和n求a，則稱為開方運算．現新定義：對于等式an＝b中，知道a和b求n，且規定n＝L(a，b)．如：24＝16，則有L(2，16)＝4．
(1)根據上述規定，填空：
①L(3，81)＝ 4 ；
②L(5，25)＝ 2 ．
(2)計算：L(6，216)＋L(2，32)．
解：(2)因為63＝216，25＝32，
所以L(6，216)＋L(2，32)
＝3＋5
＝8．
創新考向四　閱讀感悟
12．(14分)數軸是一個非常重要的數學工具，使數和數軸上的點建立起對應關系，這樣能夠用“數形結合”的方法解決一些實際問題．如圖，在紙面上有一數軸，按要求折疊紙面．
(1)若折疊后數1對應的點與數－1對應的點重合，則此時數－3對應的點與數 3 對應的點重合．
(2)若折疊后數2對應的點與數－4對應的點重合，則此時數0對應的點與數 －2 對應的點重合．
(3)若如(2)這樣折疊后，數軸上有A，B兩點也重合，且A，B兩點之間的距離為11(點B在點A的右側)，則點A對應的數為 －6.5 ，點B對應的數為 4.5 ．
(4)在(3)的條件下，數軸上有一動點P，動點P從點B出發，以每秒2個單位長度的速度在數軸上勻速運動，設運動時間為t s(t＞0)．
①動點P從點B向右出發，當t為何值時，P，A兩點之間的距離為15個單位長度？
②請直接寫出動點P從點B向左出發時，P，A兩點之間的距離為15個單位長度的t的值．
解：(4)①根據題意，BP＝2t，
點P對應的數為4.5＋2t，
PA＝4.5＋2t－(－6.5)＝15，解得t＝2．
答：當t為2時，P，A兩點之間的距離為15個單位長度．
②動點P從點B向左出發，P，A兩點之間的距離為15個單位長度時，點P在點A的左側，
點P對應的數為4.5－2t，
PA＝－6.5－(4.5－2t)＝15，
解得t＝13．
答：當t為13時，P，A兩點之間的距離為15個單位長度．
創新考向五　探究開放
13．(14分)如圖，粗線A→C→B和細線A→D→E→F→G→H→B是公交車從少年宮A到體育館B的兩條行駛路線．通過測量，兩條線路的路程是一樣的，如果這段路程長8 km，小麗有14元錢的交通費．
(1)小麗坐出租車由體育館B到少年宮A，假設出租車的收費標準為：起步價7元，超出3 km的部分每千米1.5元，小麗的交通費夠不夠坐出租車由體育館到少年宮呢？請說明理由．
(2)現還有以下兩種出行方案可供選擇：
方案①：共享電動車速度為16 km/h，收費標準為：前10分鐘2元，超出10分鐘的部分每5分鐘1元；
方案②：公交車平均速度為8 km/h(包括停車上、下乘客時間)，票價1元．
請結合(1)中乘坐出租車的費用，給小麗提供一條較合理的出行建議．
解：(1)不夠．理由如下：
根據題意，得7＋1.5×(8－3)＝14.5＞14，
所以小麗的交通費不夠坐出租車由體育館到少年宮．
(2)若選擇方案①：8÷16＝0.5(h)＝30 min，
則共享電動車費用為2＋×1＝6(元)．
若選擇方案②：8÷8＝1(h)．
若趕時間，則考慮共享電動車；
若時間充裕，則乘坐公交車；
若為了省錢，則乘坐公交車．
(考慮實際情況，只要建議合理且積極正面即可)
創新考向六　跨學科
14．(4分)如圖，一個鋼球由靜止開始從足夠長的斜面頂端沿斜面勻變速下滑，速度變化規律如表：
時間t/s 0 1 2 3 4 …
速度v/(m/s) 0 1.5 3 4.5 6 …
則t s時，這個鋼球的速度是(　A　)
A．1.5t m/s B．t m/s　
C．2t m/s　 D．1.5t2 m/s
15．(4分)在化學中，乙烯的化學式是C2H4，丙烯的化學式是C3H6……碳原子(C)和氫原子(H)的數目滿足一定數學規律．設碳原子的數目為n(n為正整數，且n≥2)，則這類烯的化學式可用式子 CnH2n 來表示．
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