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第三章成果展示　二次函數
(時間：120分鐘　滿分：120分)
第Ⅰ卷(選擇題　共40分)
一、選擇題(本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)
1．下列y關于x的函數表達式中，是二次函數的是(　A　)
A．y＝(x＋1)(x－3) B．y＝x3＋1
C．y＝x2＋ D．y＝x－3
2．當函數y＝(a－1)x2＋bx＋c是二次函數時，a的取值為(　D　)
A．a＝1 B．a＝－1
C．a≠－1 D．a≠1
3．拋物線y＝x2－2x－1的對稱軸為直線(　C　)
A．x＝2 B．x＝－2
C．x＝1 D．x＝－1
4．一個球從地面豎直向上彈起，球距離地面的高度h(m)與經過時間t(s)之間的關系式為h＝12t－6t2，那么球從彈起后又回到地面所經過的總路程是(　D　)
A．4 m B．6 m
C．8 m D．12 m
5．拋物線y＝－x2＋1向右平移2個單位，再向下平移3個單位得到的拋物線表達式是(　B　)
A．y＝－(x－2)2＋4
B．y＝－(x－2)2－2
C．y＝－(x＋2)2＋4
D．y＝－(x＋2)2－2
6．地理學上把兩翼指向上風方向，迎風坡平緩而凹進，背風坡陡峭而呈弧線凸出，輪廓呈拋物線狀的沙丘叫作“拋物線形沙丘”．如圖1是我國最大沙漠塔克拉瑪干沙漠某處的拋物線形沙丘，以拋物線形沙丘最頂端為點O，建立如圖2所示的平面直角坐標系．若點A(－15，－100)，點B(a，－144)在圖2所示的拋物線上，則a的值為(　B　)
A．15 B．18
C．24 D．36
解析：根據題意設拋物線的表達式為y＝mx2.
將點A(－15，－100)代入，得－100＝225m，解得m＝－.
∴拋物線的表達式為y＝－x2.
當y＝－144時，－x2＝－144，解得x＝±18.
∵點B在第四象限，∴a＝18.
7．關于函數y＝－(x＋2)2－1的圖象敘述正確的是(　D　)
A．開口向上
B．頂點坐標為(2，－1)
C．與y軸交點為(0，－1)
D．對稱軸為直線x＝－2
8．函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，則函數y＝cx2－bx＋a的圖象與x軸的交點分別是(　A　)
A．，(1，0) B．(－1，0)，
C．(－1，0)，(3，0) D．(－3，0)，(1，0)
9．拋物線y＝x2＋bx＋3的對稱軸為直線x＝2.若關于x的一元二次方程x2＋bx＋3－t＝0(t為實數)在－1＜x＜4的范圍內有實數根，則t的取值范圍是(　C　)
A．－1≤t＜3 B．3＜t＜8
C．－1≤t＜8 D．－1＜t＜4
10．在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，現給出以下結論：
①abc＞0；②b＋2a＝0；③9a－3b＋c＝0；④a－b＋c≤am2＋bm＋c(m為實數)．
其中，結論錯誤的有(　B　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
第Ⅱ卷(非選擇題　共80分)
二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)
11．二次函數y＝－6x2＋x圖象的開口向　下　．
12．已知二次函數y＝－ax2＋2ax＋3(a＞0)，若點P(m，3)在該函數的圖象上，且m≠0，則m的值為　2　．
解析：∵點P(m，3)在二次函數y＝－ax2＋2ax＋3(a＞0)的圖象上，
∴3＝－am2＋2am＋3，
∴－am(m－2)＝0，
解得m＝2或m＝0(舍去)．
故m的值為2．
13．拋物線y＝ax2＋bx＋c的部分圖象如圖所示，則當y＞0時，x的取值范圍是　x＜－1或x＞3　．
14．若拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的交點為(5，0)與(1，0)，則拋物線的對稱軸為直線x＝　3　．
15．將拋物線y＝ax2＋bx－1向上平移3個單位后，經過點(－2，5)，則8a－4b－11的值是　－5　．
16．已知二次函數y＝x2－2ax＋2x＋a－2在0≤x≤4范圍內的最大值為7，則所有滿足條件的實數a的值為　或9　．
三、解答題(本大題共6個小題，共56分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(6分)已知拋物線y＝2x2－4x－3，請回答下列問題：
(1)寫出該拋物線的頂點坐標、對稱軸和開口方向；
(2)當0≤x≤4時，求出y的最大值和最小值．
解：(1)∵y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，二次項系數為2＞0，
∴拋物線開口向上，頂點坐標為(1，－5)，對稱軸為直線x＝1.
(2)∵拋物線開口向上，頂點坐標為(1，－5)，
∴最小值為－5.
∵對稱軸為直線x＝1，1－0＜4－1，
∴當x＝4時取得最大值，最大值為2(4－1)2－5＝13，
∴當0≤x≤4時，y的最大值為13，最小值為－5.
18．(8分)已知二次函數y＝x2＋mx＋m2－3(m為常數，m＞0)的圖象經過點P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判斷二次函數y＝x2＋mx＋m2－3的圖象與x軸交點的個數，并說明理由．
解：(1)將(2，4)代入y＝x2＋mx＋m2－3，得4＝4＋2m＋m2－3，
解得m1＝1，m2＝－3.
又∵m＞0，
∴m＝1.
(2)圖象與x軸有2個交點．理由如下：
∵m＝1，
∴y＝x2＋x－2.
∵Δ＝b2－4ac＝12＋8＝9＞0，
∴二次函數y＝x2＋x－2的圖象與x軸有2個交點．
19．(10分)如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，直線BC的表達式為y＝－x＋3.
(1)求拋物線的表達式；
(2)在直線BC上有一點P，使PO＋PA的值最小，求點P的坐標．
解：(1)把x＝0代入y＝－x＋3，得y＝3，
∴點C的坐標為(0，3)．
把y＝0代入y＝－x＋3，得x＝3，
∴點B的坐標為(3，0)．
將B(3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c，
得解得
∴拋物線的表達式為y＝－x2＋2x＋3.
(2)如圖，作點O關于BC的對稱點O′，
連接O′A，交BC于點P，連接OP，則點O′的坐標為(3，3)．
∵點O′與點O關于BC對稱，∴PO＝PO′，
∴PO＋PA＝PO′＋PA≥O′A，
∴當A，P，O′在同一條直線上時，PO＋PA有最小值．
由y＝－x2＋2x＋3易知 A(－1，0)．
設AP所在直線的表達式為y＝kx＋m，
則解得
∴AP所在直線的表達式為y＝x＋.
聯立解得
∴點P的坐標為.
20．(10分)小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7 m，水柱在距噴水頭P水平距離5 m處達到最高，最高點距地面3.2 m；建立如圖所示的平面直角坐標系，并設拋物線的表達式為y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是水柱距噴水頭的水平距離，y(m)是水柱距地面的高度．
(1)求拋物線的表達式；
(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3 m．身高1.6 m的小紅在水柱下方走動，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．
解：(1)由題意知，拋物線頂點為(5，3.2)．
設拋物線的表達式為y＝a(x－5)2＋3.2，將(0，0.7)代入，得0.7＝25a＋3.2，
解得a＝－，
∴y＝－(x－5)2＋3.2＝－x2＋x＋，
∴拋物線的表達式為y＝－x2＋x＋.
(2)當y＝1.6時，－x2＋x＋＝1.6，
解得x＝1或x＝9，
∴她與爸爸的水平距離為3－1＝2(m)或9－3＝6(m)，
∴當她的頭頂恰好接觸到水柱時，她與爸爸的水平距離是2 m或6 m.
21．(10分)某商店銷售一批紀念冊，每本進價40元，規定銷售單價不低于44元，且獲利不高于30%.試銷售期間發現，當銷售單價定為44元時，每天可售出300本，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量減少10本．現商店決定提價銷售，設每天銷售量為y本，銷售單價為x元．
(1)請直接寫出y與x之間的函數表達式和自變量x的取值范圍．
(2)將紀念冊銷售單價定為多少元時，商店每天銷售紀念冊獲得的利潤w最大？最大利潤是多少元？
解：(1)由題意，得y＝300－10(x－44)＝－10x＋740，每本進價40元，且獲利不高于30%，即最高價為52元，即x≤52，故44≤x≤52.
(2)w＝(x－40)(－10x＋740)＝－10(x－57)2＋2 890.
當x＜57時，w隨x的增大而增大，
而44≤x≤52，∴當x＝52時，w有最大值，最大值為2 640.
故將紀念冊銷售單價定為52元時，商店每天銷售紀念冊獲得的利潤w最大，最大利潤是2 640元．
22．(12分)在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2＋bx＋c過點A(－2，－1)，B(0，－3)．
(1)求拋物線的表達式．
(2)平移拋物線，平移后的頂點為P(m，n)(m＞0)．
①如果S△OBP＝3，設直線x＝k，在這條直線的右側原拋物線和新拋物線均呈上升趨勢，求k的取值范圍；
②若點P在原拋物線上，新拋物線交y軸于點Q，且∠BPQ＝120°，求點P的坐標．
解：(1)將A(－2，－1)，B(0，－3)代入y＝x2＋bx＋c，得
解得
∴拋物線的表達式為y＝x2－3.
(2)①∵y＝x2－3，
∴拋物線的頂點坐標為(0，－3)，即B是原拋物線的頂點．
∵平移后的拋物線頂點為P(m，n)(m＞0)，
∴拋物線平移了|m|個單位，
∴S△OBP＝×3|m|＝3，解得m＝±2.
∵m＞0，
∴m＝2，即平移后的拋物線的對稱軸為直線x＝2.
∵在x＝k的右側，兩拋物線都上升，原拋物線的對稱軸為y軸，開口向上，
∴k≥2.
②把P(m，n)代入y＝x2－3，
∴n＝m2－3，
∴P.
由題意，得新拋物線的表達式為y＝(x－m)2＋n＝x2－mx＋m2－3，
∴Q(0，m2－3)．
∵B(0，－3)，
∴BQ＝m2，BP2＝m2＋＝m2＋m4，PQ2＝m2＋[(m2－3)－(m2－3)]2＝m2＋m4，
∴BP＝PQ.
如圖，過點P作PC⊥y軸于點C，則PC＝|m|.
∵PB＝PQ，PC⊥BQ，
∴BC＝BQ＝m2，∠BPC＝∠BPQ＝×120°＝60°，
∴tan ∠BPC＝tan 60°＝＝＝，
∴m＝2或m＝－2(舍去)，
∴n＝m2－3＝3，
∴點P的坐標為(2，3)．
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