資源簡介

專項突破提升(一)　反比例函數的幾何模型與應用
(建議用時：90分鐘　滿分：96分)
類型一　反比例函數相關的幾何模型
(一)單支雙曲線上點與垂線形成的三角形
1．(6分)如圖，已知點A(t，1)在第一象限，將OA繞點O順時針旋轉45°得到OB，若反比例函數y＝(k＞0)的圖象經過點A，B，求k的值．
解：根據反比例函數圖象關于直線y＝x的對稱性，得點B的坐標為(1，t)．
如圖，過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作BE⊥x軸于點E.
由k的幾何意義，得k＝1×t＝t.
∵∠AOB＝45°，
∴∠AOC＝∠BOE＝22.5°，
∴tan ∠AOC＝tan 22.5°＝＝t＝k.
作AO的垂直平分線DF，連接AD，
∴AD＝OD，
∴∠DAO＝∠DOA＝22.5°，
∴∠CDA＝45°，
∴DC＝CA＝t，
∴AD＝DO＝t，
∴OC＝OD＋DC，即1＝t＋t，
解得t＝－1，
∴k＝－1.
(二)雙曲線上同一象限內一點、兩垂線形成的矩形
2．(8分)如圖，A，B兩點在雙曲線y＝(x＞0)上，已知點A(1，4)，B，分別過A，B兩點向坐標軸作垂線段，得到三個矩形，記陰影部分矩形面積為S，另兩個矩形面積分別為S1，S2.求：
(1)反比例函數的表達式及m的值；
(2)S1＋S2的值．
解：(1)∵點A(1，4)在雙曲線y＝(x＞0)上，
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函數的表達式為y＝.
∵點B在雙曲線y＝上，
∴m＝＝.
(2)∵A，B是雙曲線y＝上的點，
∴S1＋S＝4，S＋S2＝4.
∵S＝1×＝，
∴S1＋S2＝4＋4－2×＝.
(三)雙曲線上兩點、一垂線形成的三角形或四邊形
3．(6分)如圖，A，B是反比例函數y＝的圖象上關于原點O對稱的兩點，C是y軸負半軸上一點，直線AC與x軸交于點D，且點C是線段AD的中點，連接BD，若點C的坐標是(0，－2)，且△ABD的面積為5，求k的值和點B的坐標．
解：∵A，B是反比例函數y＝的圖象上關于原點O對稱的兩點，
∴OA＝OB.
又∵C是線段AD的中點，
∴OC是△ABD的中位線，
∴OC∥BD，BD＝2OC，∴BD⊥x軸．
∵OA＝OB，
∴S△ABD＝2S△OBD＝2×k＝5，
∴k＝5.
∵點C的坐標為(0，－2)，
∴OC＝2，∴BD＝2OC＝4.
將y＝4代入y＝，得x＝，
∴點B的坐標為.
4．(8分)如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數y＝經過 ABCD的頂點B，D，點D的坐標為(2，1)，點A在y軸上，且AD∥x軸，S ABCD＝6.
(1)點A的坐標為　(0，1)　，k＝　2　；
(2)求AB所在直線的函數表達式．
解：(1)∵點D的坐標為(2，1)，點A在y軸上，且AD∥x軸，
∴點A的坐標(0，1)．
∵y＝的圖象經過點D(2，1)，
∴k＝2×1＝2.
故答案為(0，1)；2.
(2)∵D(2，1)，AD∥x軸，
∴AD＝2，AO＝1.
設BC與y軸交于點E.
∵S ABCD＝6，
∴AE＝3，∴OE＝2，
∴點B的縱坐標為－2.
把y＝－2代入y＝，得－2＝，
解得x＝－1，
∴點B的坐標為(－1，－2)．
設直線AB的函數表達式為y＝ax＋b.
將A(0，1)，B(－1，－2)代入，
得
解得
∴AB所在直線的函數表達式為y＝3x＋1.
(四)雙曲線上不在同一象限上時，兩點或兩垂直形成的三角形或四邊形
5．(4分)如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在函數y＝(x＞0)，y＝(x＜0)的圖象上，AB∥x軸，C是y軸上一點，線段AC與x軸正半軸交于點D.若△ABC的面積為9，＝，則k的值為(　C　)
A．－9 B．3
C．－6 D．－3
6．(8分)如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在函數y1＝(x＜0)，y2＝(x＞0，k＞0)的圖象上，點C在第二象限內，AC⊥x軸于點P，BC⊥y軸于點Q，連接AB，PQ，已知點A的縱坐標為－2.
(1)求點A的橫坐標；
(2)若四邊形APQB的面積為S，點B的橫坐標為2，試用含k的代數式表示S.
解：(1)∵點A在函數y1＝(x＜0)的圖象上，點A的縱坐標為－2，
∴－2＝，解得x＝－1，
∴點A的橫坐標為－1.
(2)∵點B在函數y2＝(x＞0，k＞0)的圖象上，點B的橫坐標為2，
∴B，∴PC＝OQ＝，BQ＝2.
∵A(－1，－2)，
∴OP＝CQ＝1，AP＝2，
∴AC＝2＋，BC＝1＋2＝3，
∴S＝S△ABC－S△PQC＝AC·BC－PC·CQ＝×3×1＝3＋k.
類型二　反比例函數在簡單幾何問題中的應用
7．(4分)如圖，矩形ABCD的頂點A，B在x軸的正半軸上，點B在點A的右側，反比例函數 y1＝在第一象限內的圖象與直線 y2＝x交于點D，且反比例函數 y1＝的圖象交BC于點E，AD＝4.若矩形ABCD的面積是36，則四邊形ABED的面積為　　．
8．(12分)如圖，A(4，3)是反比例函數y＝在第一象限圖象上一點，連接OA，過點A作AB∥x軸，截取AB＝OA(點B在點A右側)，連接OB，交反比例函數y＝的圖象于點P.求：
(1)反比例函數y＝的表達式；
(2)點B的坐標及OB所在直線的函數表達式；
(3)△OAP的面積．
解：(1)將A(4，3)代入y＝，得k＝12，
∴反比例函數的表達式為y＝.
(2)如圖，過點A作AC⊥x軸于點C，
則OC＝4，AC＝3，
∴OA＝＝5.
∵AB∥x軸，且AB＝OA＝5，
∴點B的坐標為(9，3)．
設OB所在直線的函數表達式為y＝mx(m≠0)，
將B(9，3)代入，得m＝，
∴OB所在直線的函數表達式為y＝x.
(3)聯立
解得(負值舍去)
∴點P的坐標為(6，2)．
如圖，過點P作PD⊥x軸于點D，延長DP交AB于點E，連接AP，
則點E的坐標為(6，3)，
∴AE＝2，PE＝1，PD＝2，
∴S△OAP＝×(2＋6)×3－×6×2－×2×1＝5.
9．(10分)如圖，在平面直角坐標系中，直線 y＝－3x＋3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，以AB為邊在第一象限內作正方形ABCD，點D在反比例函數y＝(k≠0)的圖象上．
(1)求k的值；
(2)若將正方形沿x軸負方向平移m個單位后，點C恰好落在該反比例函數的圖象上，則m的值是多少？
解：(1)如圖，作DF⊥x軸于點F.
在y＝－3x＋3中，令x＝0，則y＝3，
即B(0，3)．
令y＝0，則x＝1，即A(1，0)，則OB＝3，OA＝1.
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAO＋∠DAF＝90°.
∵在Rt△ABO中，∠BAO＋∠OBA＝90°，
∴∠DAF＝∠OBA．
在△OAB和△FDA中，
∴△OAB≌△FDA(AAS)，
∴AF＝OB＝3，DF＝OA＝1，
∴OF＝4，
∴D(4，1)．
∵點D在反比例函數y＝(k≠0)的圖象上，
∴1＝，解得k＝4.
(2)如圖，作CE⊥y軸于點E，交反比例函數的圖象于點G.
∵同(1)可得△OAB≌△EBC，
∴CE＝OB＝3，BE＝OA＝1，
∴OE＝4，點C的坐標為(3，4)．
∵點C的縱坐標是4，
∴點G的坐標為(1，4)，
∴CG＝2，即m＝2.
類型三　反比例函數的實際應用
(一)工程問題
10．(10分)碼頭工人每天往一艘輪船上裝卸貨物，平均每天裝卸速度y(噸/天)與所需時間x(天)之間是反比例函數關系，其圖象如圖所示．
(1)求這個反比例函數的表達式．
(2)由于緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸貨完畢，那么平均每天至少要卸貨多少噸？
(3)若碼頭原有10名工人，且每名工人每天的裝卸量相同，裝載完畢恰好用了8天時間，在(2)的條件下，至少需要增加多少名工人才能按時完成任務？
解：(1)設這個反比例函數的表達式為y＝，
根據題意，得50＝，
解得k＝400，
∴這個反比例函數的表達式為y＝.
(2)∵x＝5，∴y＝400÷5＝80，
∴平均每天至少要卸80 t貨物．
(3)∵每人一天可卸貨50÷10＝5(t)，
∴80÷5＝16(人)，16－10＝6(人)，
∴碼頭至少需要再增加6名工人才能按時完成任務．
(二)行程問題
11．(10分)一司機駕駛汽車從甲地去乙地，以80 km/h 的平均速度用 6 h到達目的地．
(1)當他按原路勻速返回時，求汽車速度v km/h 與時間 t(h)之間的函數關系式；
(2)如果該司機勻速返回時，用了4.8 h，求返回時的速度；
(3)若返回時，司機全程走高速公路，且勻速行駛，根據規定：最高車速不得超過每小時120 h，最低車速不得低于每小時60 km，問：返程時間的范圍是多少？
解：(1)∵s＝80×6＝480(km)，
∴汽車速度v(km/h)與時間t(h)之間的函數關系式為v＝.
(2)當t＝4.8時，v＝＝100，
∴返回時的速度為100 km/h.
(3)如圖，k＝480＞0，v隨t的增大而減小．
當v＝120時，t＝4，
當v＝60時，t＝8，
∴4≤t≤8，
∴返程時間不少于4 h且不多于8 h．
(三)銷售問題
12．(6分)某賓館客房有80個房間供游客居住，通過調查得知，當每個房間的定價增加時，就會有一些房間空閑，具體數據如下表：
每個房間的定價x/元 150 200 250 300
每天入住的房間數y/間 80 60 48 40
(1)請你認真分析表中數據，寫出能表示其變化規律的函數表達式；
(2)對有游客入住的房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用，同時為促進當地旅游業的蓬勃發展，市旅游局將對每個實際入住的房間予以每間每天50元獎勵，求每天入住的房間數為50時，賓館每天的純利潤．
解：(1)由題意，得y＝.
(2)當y＝50時，x＝＝240，
(240－20＋50)×50＝13 500(元)．
∴每天入住的房間數為50時，賓館每天的純利潤為13 500元．
(四)物理問題
13．(4分)某品牌的自動飲水機，開機加熱時每分鐘上升10 ℃，加熱到100 ℃時停止加熱，水溫開始下降．此時水溫y(℃)與通電時間x(min)成反比例關系．當水溫降至20 ℃時，飲水機再自動加熱．若水溫在20 ℃時接通電源，水溫y(℃)與通電時間 x(min)之間的關系如圖所示，則下列說法中正確的是(　D　)
A．水溫從20 ℃加熱到100 ℃，需要7 min
B．水溫下降過程中，y與x之間的函數關系式是y＝
C．上午8點接通電源，可以保證當天9：30能喝到不超過40 ℃的水
D．在一個加熱周期內，水溫不低于30 ℃的時間為 min
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