資源簡介

專項突破提升(二)　解直角三角形的綜合應用
(建議用時：90分鐘　滿分：72分)
模型一　單一直角三角形型
1．(4分)如圖，海中有一小島A，在點B處測得小島A在北偏東30°方向上，漁船從點B出發自西向東航行10 n mile到達點C處，在點C處測得小島A恰好在正北方向上，此時漁船與小島A的距離為(　D　)
A． n mile B． n mile
C．20 n mile D．10 n mile
解析：如圖，連接AC.
由題意，得AC⊥CB.
在Rt△ACB中，∠ABC＝90°－30°＝60°，BC＝10 n mile，
∴AC＝BC tan 60°＝10 n mile，
∴此時漁船與小島A的距離為10 n mile.
2．(6分)我校組織學生開展綜合實踐活動．數學小組的同學們在距一棟寫字樓20 m的點B處，用高為0.8 m的測角儀AB測得寫字樓頂點C的仰角為63°，求寫字樓CD的高度．(參考數據：sin 63°≈0.89，cos 63°≈0.45，tan 63°≈1.96)
解：如圖，過點A作AE⊥CD于點E.
在Rt△CAE中，AE＝20 m，∠CAE＝63°，
∴CE＝AE·tan ∠CAE≈20×1.96
＝39.2(m)，
∴CD＝CE＋ED＝39.2＋0.8＝40(m)，
∴寫字樓CD的高度約為40 m．
3．(6分)如圖，一數學項目學習小組要測量某路燈Q-P-M的頂部到地面的距離MN，他們借助卷尺、測角儀進行測量，測量結果如表所示．
測量項目 測量數據
從A處測得路燈頂部M的仰角α α＝58°
測角儀到地面的距離AB AB＝1.6 m
路燈頂部M正下方N至測量點B的水平距離BN BN＝2 m
根據以上測量結果，求路燈頂部到地面的距離MN.(結果精確到0.1 m，參考數據：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)
解：如圖，過點A作AH⊥MN于點H.
由題意，得AH＝BN＝2 m，
HN＝AB＝1.6 m.
在Rt△AMH中，tan α＝，
∴MH＝AH·tan 58°≈2×1.60＝3.2(m)，
∴MN＝MH＋HN＝3.2＋1.6＝4.8(m)．
故路燈頂部到地面的距離MN約為4.8 m．
模型二　背靠背型
4．(4分)如圖，大壩橫斷面的斜坡AB的坡比i＝1∶2，背水坡CD的坡比i＝1∶1.若AB的長度為6 m，則斜坡CD的長度為(　B　)
A．6 m B．6 m
C．6 m D．3 m
解析：如圖，分別過點B，C作BE⊥AD，CF⊥AD.
∴四邊形BEFC為矩形．
設BE＝x m，則AE＝2x m.
在Rt△ABE中，根據勾股定理，得BE2＋AE2＝AB2，
即x2＋(2x)2＝(6)2，
解得x＝6或x＝－6(不合題意，舍去)．
∵背水坡CD的坡比i＝1∶1，
∴CF＝DF＝BE＝6 m.
在Rt△CFD中，根據勾股定理，得CD＝＝＝6(m)．
5．(6分)“科技改變生活”，小王是一名攝影愛好者，新入手一臺無人機用于航拍．在一次航拍時，數據顯示，從無人機A看建筑物頂部B的仰角為45°，看底部C的俯角為60°，無人機A到該建筑物BC的水平距離AD為10 m，求該建筑物BC的高度．(結果精確到0.1 m，參考數據：≈1.41，≈1.73)
解：根據題意，得∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，AD⊥BC.
∵AD⊥BC，∴∠BDA＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝10 m.
在Rt△ACD中，CD＝AD·tan ∠CAD＝AD·tan 60°＝10(m)，
∴BC＝BD＋CD＝10＋10≈27.3(m)，
即該建筑物BC的高度約為27.3 m.
6．(8分)小華想利用所學知識測量自家對面的兩棟樓AB與CD的高度差．如圖，她站在自家陽臺上發現，在陽臺的點E處恰好可經過樓CD的頂端C看到樓AB的底端B，即點E，C，B在同一條直線上．此時，測得點B的俯角α＝22°，點A的仰角β＝16.7°，并測得EF＝48 m，FD＝50 m．已知EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，點F，D，B在同一水平直線上．求樓AB與CD的高度差．(參考數據：sin 16.7°≈0.29，cos 16.7°≈0.96，tan 16.7°≈0.30，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
解：如圖，過點C作CG⊥EF于點G，過點E作EH⊥AB于點H.
∵EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CG＝FD＝50 m，HB＝EF＝48 m.
在Rt△CGE中，CG＝50 m，∠ECG＝α＝22°，
∴EG＝CG·tan ∠ECG≈50×0.40＝20(m)，
∴CD＝FG＝EF－EG＝48－20＝28(m)．
在Rt△EFB中，EF＝48 m，∠EBF＝α＝22°，
∴FB＝≈＝120(m)．
在Rt△AHE中，EH＝FB＝120 m，∠AEH＝β＝16.7°，
∴AH＝EH·tan ∠AEH≈120×0.30＝36(m)，
∴AB＝AH＋BH＝AH＋EF＝36＋48＝84(m)，
∴AB－CD＝84－28＝56(m)，
故樓AB與CD的高度差約為56 m．
模型三　母子型
7．(6分)永州市道縣陳樹湘紀念館中陳列的陳樹湘雕像高2.9 m(如圖1所示)，寓意陳樹湘為中國革命“斷腸明志”犧牲時的年齡為29歲．如圖2，以線段AB代表陳樹湘雕像，一參觀者在水平地面BN上D處為陳樹湘雕像拍照，相機支架CD高 0.9 m，在相機C處觀測雕像頂端A的仰角為45°，然后將相機支架移到MN處拍照，在相機M處觀測雕像頂端A的仰角為30°，求D，N兩點間的距離．(結果精確到0.1 m，參考數據：≈1.732)
解：根據題意，得AB⊥BN，AH⊥HM，BH＝CD＝MN＝0.9 m，AB＝2.9 m，CM＝DN，∴AH＝AB－BH＝2.9－0.9＝2(m)．
在Rt△AHC中，∠ACH＝45°，
∴CH＝＝＝2(m)．
在Rt△AHM中，∠AMH＝30°，
∴HM＝＝＝2(m)，
∴CM＝HM－HC＝2－2≈1.5(m)，
∴DN＝CM＝1.5 m，
∴D，N兩點間的距離約為1.5 m．
8．(8分)如圖，數學興趣小組用無人機測量一幢樓AB的高度．小亮站立在距離樓底部94 m 的點D處，操控無人機從地面點F處豎直起飛到正上方60 m的點E處時，測得樓AB的頂端A的俯角為30°，小亮的眼睛從點C看無人機的仰角為45°(B，F，D三點在同一條直線上)，小亮的眼睛距離地面1.7 m.求樓AB的高度．(參考數據：≈1.7)
解：如圖，過點C作CG⊥EF，垂足為點G，延長BA交HE于點I.
根據題意，得BI⊥EH，GF＝CD＝1.7 m，CG＝DF，EI＝BF，IB＝EF＝60 m，BD＝94 m，
∴EG＝EF－FG＝60－1.7＝58.3(m)．
在Rt△EGC中，∠ECG＝45°，
∴CG＝＝＝58.3(m)，
∴DF＝CG＝58.3 m，
∴IE＝BF＝BD－DF＝94－58.3＝35.7(m)．
在Rt△AIE中，∠AEI＝30°，
∴AI＝IE·tan 30°＝35.7×≈20.23(m)，
∴AB＝IB－IA＝60－20.23＝39.77(m)，
∴樓AB的高度約為39.77 m．
9．(8分)如圖，某電影院的觀眾席呈“階梯狀”，每一級臺階的水平寬度都為1 m，垂直高度都為0.3 m．在點C處測得點A的仰角∠ACE＝42°，在點D處測得點A的仰角∠ADF＝35°.求銀幕AB的高度．(參考數據：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)
解：如圖，延長CE，DF交AB于點H，G.
根據題意，得∠AGD＝∠AHC＝90°.
在Rt△ADG中，∠ADG＝35°，
∴tan 35°＝，即DG＝.
在Rt△ACH中，∠ACH＝42°，
∴tan 42°＝，
即CH＝.
∵AH＝AG＋GH，GH＝0.3 m，
∴CH＝.
∵DG－CH＝1，
∴＝1，
∴＝1，
解得AG＝4.2，
∴AB＝AG＋GH＋BH＝4.2＋0.3＋0.6＝5.1(m)，即銀幕AB的高度約為 5.1 m.
模型四　 擁抱型
10．(6分)如圖，兩幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15 m，CD＝20 m，AB和CD之間有一景觀池，小南在點A處測得池中噴泉E處的俯角為42°，在點C處測得E處的俯角為45°，點B，E，D在同一條直線上，求兩幢建筑物之間的距離BD.(結果精確到0.1 m，參考數據：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)
解：根據題意，得∠AEB＝42°，∠DEC＝45°.
在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝15 m，∠AEB＝42°，tan ∠AEB＝，
∴BE＝≈15÷0.90＝(m)．
在Rt△DEC中，∠CDE＝90°，∠DEC＝∠DCE＝45°，CD＝20 m，
∴ED＝CD＝20 m，
∴BD＝BE＋ED＝＋20≈36.7(m)．
故兩幢建筑物之間的距離BD約為36.7 m．
11．(10分)為積極參與全國文明城市創建活動，某市某校在教學樓頂部新建了一塊大型宣傳牌．如圖，小明同學為測量宣傳牌的高度AB，他站在距離教學樓底部E處6 m遠的地面C處，測得宣傳牌的底部B的仰角為60°，同時測得教學樓窗戶D處的仰角為30°(點A，B，D，E在同一條直線上)．然后小明沿坡比i＝1∶1.5 的斜坡從C處走到F處，此時DF正好與地面CE平行．
(1)求點F到地面CE的距離；(結果保留根號)
(2)若小明在F處又測得宣傳牌頂部A的仰角為45°，求宣傳牌的高度AB.(結果精確到0.1 m，參考數據：≈1.41，≈1.73)
解：(1)如圖，過點F作FG⊥EC于點G.
根據題意，得FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，
∴四邊形DEGF是矩形，
∴FG＝DE.
在Rt△CDE中，DE＝CE·tan ∠DCE＝6×tan 30°＝2(m)，
∴點F到地面CE的距離為2 m.
(2)∵斜坡CF的坡度 i＝1∶1.5，
∴在Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2×1.5＝3(m)，
∴FD＝EG＝(3＋6)m.
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，∠AFD＝45°，∴AD＝FD＝(3＋6)m.
在Rt△BCE中，BE＝CE·tan ∠BCE＝6×tan 60°＝6(m)，
∴AB＝AD＋DE－BE＝3＋6＋2－6＝6－≈4.3(m)．
故宣傳牌的高度AB約為4.3 m．
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