資源簡介

專項突破提升(三)　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
(建議用時：90分鐘　滿分：146分)
類型一　配方法與二次函數(shù)的圖象
1．(4分)已知二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2－4x＋2，則圖象的頂點坐標(biāo)是(　C　)
A．(4，2) B．(2，2)
C．(2，－2) D．(－2，－2)
2．(4分)拋物線y＝－x2－2x－1的頂點坐標(biāo)是　(－2，1)　，對稱軸是　直線x＝－2　．
3．(10分)用配方法將下列函數(shù)化成y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，并指出拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)．
(1)y＝x2－2x＋3；
(2)y＝(1－x)(1＋2x)．
解：(1)y＝x2－2x＋3＝(x－2)2＋1，
開口向上，對稱軸是直線x＝2，頂點坐標(biāo)是(2，1)．
(2)y＝(1－x)(1＋2x)＝－2x2＋x＋1＝＋，
開口向下，對稱軸是直線x＝，頂點坐標(biāo)是.
類型二　二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系
4．(4分)已知m，n是常數(shù)，且n＜0，二次函數(shù)y＝mx2＋nx＋m2－4的圖象是下列三個圖象之一，則m的值為(　A　)
A．2 B．±2
C．－3 D．－2
5．(4分)已知函數(shù)y＝2mx2＋(1－4m)x＋2m－1，下列結(jié)論錯誤的是(　C　)
A．當(dāng)m＝0時，y隨x的增大而增大
B.當(dāng)m＝時，函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是
C．當(dāng)m＝－1時，若x＜，則y隨x的增大而減小
D．無論m取何值，函數(shù)圖象都經(jīng)過同一個點
6．(4分)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中不正確的有(　A　)
①abc＞0；②2a＋b＝0；③9a＋3b＋c＞0；
④4ac－b2＜0；⑤a＋b＞m(am＋b)(m為任意實數(shù))．
A．3個 B．2個
C．1個 D．0個
類型三　利用二次函數(shù)的性質(zhì)求字母的值及取值范圍
7．(4分)已知二次函數(shù)y＝(a－1)x2－x＋a2－1的圖象經(jīng)過原點，則a的值為(　C　)
A．±1 B．1
C．－1 D．無法確定
8．(4分)若拋物線y＝2(x＋m－1)2－3m＋6的頂點在第二象限，則m的取值范圍是(　C　)
A．m＞1 B．m＜2
C．1＜m＜2 D．－2＜m＜－1
9．(4分)已知拋物線y＝－(x－2)2＋9，當(dāng)m≤x≤5時，0≤y≤9，則m的值可以是(　B　)
A．－2 B．1
C．3 D．4
10．(4分)若拋物線y＝x2－6x＋c－2的頂點到x軸的距離是4，則c的值為　7或15　．
11．(12分)已知二次函數(shù)y＝x2＋mx＋m－1，根據(jù)下列條件求m的值．
(1)圖象的頂點在y軸上；
(2)圖象的頂點在x軸上；
(3)二次函數(shù)的最小值是－1.
解：y＝x2＋mx＋m－1＝x2＋mx＋＋m－1＝－，
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為.
(1)∵圖象的頂點在y軸上，
∴－＝0，即m＝0.
(2)∵圖象的頂點在x軸上，
∴－＝0，
解得m＝2.
(3)∵二次函數(shù)的最小值是－1，
∴－＝－1，
解得m＝0或m＝4.
類型四　二次函數(shù)的對稱性與幾何變換
(一)二次函數(shù)的對稱性的應(yīng)用
12．(4分)在二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c中，函數(shù)值y與自變量x的部分對應(yīng)值如表：
x … －1 1 3 4 …
y … －6 m n －6 …
則m，n的大小關(guān)系為(　B　)
A．m＜n B．m＞n
C．m＝n D．無法確定
13．(4分)已知二次函數(shù)y＝2x2－9x－34，當(dāng)自變量x取兩個不同的值x1，x2時，函數(shù)值相等，則當(dāng)自變量x取x1＋x2時的函數(shù)值應(yīng)當(dāng)與(　B　)
A．x＝1時的函數(shù)值相等
B．x＝0時的函數(shù)值相等
C．x＝時的函數(shù)值相等
D．x＝時的函數(shù)值相等
(二)二次函數(shù)與軸對稱變換
14．(4分)將二次函數(shù)y＝4(x－2)2＋3的圖象沿y軸翻折得到的新拋物線的函數(shù)表達(dá)式是(　A　)
A．y＝4(x＋2)2＋3
B．y＝4(x－2)2－3
C．y＝－4(x＋2)2＋3
D．y＝－4(x－2)2－3
解析：y＝4(x－2)2＋3，此拋物線的頂點坐標(biāo)為(2，3)．
∵將二次函數(shù)的圖象沿y軸翻折得到一個新的拋物線，
∴新的拋物線的頂點坐標(biāo)為(－2，3)，a＝4，
∴新拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝4(x＋2)2＋3.
15．(4分)在同一平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線y＝x2＋(2m－n)x＋n＋1與拋物線y＝－x2＋(m＋n)x＋m－4關(guān)于x軸對稱，則m，n的值分別為(　A　)
A．m＝0，n＝3 B．m＝0，n＝－5
C．m＝2，n＝1 D．m＝10，n＝5
16．(4分)若把拋物線y＝ax2＋bx＋c先向右平移2個單位，再向上平移 2個單位，所得圖象的表達(dá)式是y＝(x－3)2＋5，則a＋b＋c＝　3　．
17．(12分)如圖，將拋物線P1：y＝x2＋2x＋m平移后得到拋物線P2：y＝x2－5x＋n，兩拋物線與y軸分別交于點C，D.拋物線P1，P2的交點E的橫坐標(biāo)是1，過點E作x軸的平行線，分別交拋物線P1，P2于點A，B.求：
(1)拋物線P1的對稱軸和點A的橫坐標(biāo)；
(2)線段AB和CD的長．
解：(1)拋物線P1：y＝x2＋2x＋m的對稱軸為直線x＝－＝－1.
∵AB∥x軸，
∴點A與點E關(guān)于對稱軸直線x＝－1對稱，
∴點A的橫坐標(biāo)為－3.
(2)拋物線P2：y＝x2－5x＋n的對稱軸為直線x＝－＝2.5.
∵AB∥x軸，
∴點B與點E關(guān)于對稱軸直線x＝2.5對稱，
∴點B的橫坐標(biāo)為4，
∴AB＝4－(－3)＝7.
∵點E是拋物線P1與拋物線P2的交點，
∴1＋2＋m＝1－5＋n，
∴n－m＝7.
令x＝0，則C(0，m)，D(0，n)，
∴CD＝n－m＝7.
(三)二次函數(shù)與旋轉(zhuǎn)變換
18．(12分)如果拋物線C1的頂點在拋物線C2上，并且拋物線C2的頂點也在拋物線C1上，那么我們稱拋物線C1與C2關(guān)聯(lián)．
(1)已知拋物線l1：y＝(x＋1)2－8與拋物線l2：y＝－(x－2)2＋1，判斷這兩條拋物線是否關(guān)聯(lián)，并說明理由；
(2)把拋物線L：y＝(x＋1)2－2繞頂點旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線M：y＝－(x＋1)2－2，把拋物線M先向上平移4個單位，再左右平移若干個單位得拋物線Q，若拋物線L與Q關(guān)聯(lián)，請求出拋物線Q的函數(shù)表達(dá)式．
解：(1)關(guān)聯(lián)．理由如下：
拋物線l1：y＝(x＋1)2－8的頂點坐標(biāo)為(－1，－8).
對于拋物線l2，當(dāng)x＝－1時，y＝－(x－2)2＋1＝－9＋1＝－8，
∴點(－1，－8)在拋物線l2上．
拋物線l2：y＝－(x－2)2＋1的頂點坐標(biāo)為(2，1)．
對于拋物線l1，當(dāng)x＝2時，y＝(x＋1)2－8＝9－8＝1，
∴點(2，1)在拋物線l1上，
∴拋物線l1，l2是關(guān)聯(lián)的．
(2)拋物線M：y＝－(x＋1)2－2，
①把拋物線M先向上平移4個單位，再向左平移a(a＞0)個單位，得拋物線Q：y＝－(x＋1＋a)2＋2.
把拋物線L：y＝(x＋1)2－2的頂點(－1，－2)代入拋物線Q，得－2＝－a2＋2，
∴a＝±2.
∵a＞0，∴a＝2.
此時拋物線Q：y＝－(x＋3)2＋2的頂點(－3，2)也在拋物線L上．
②把拋物線M先向上平移4個單位，再向右平移b(b＞0)個單位得拋物線Q：y＝－(x＋1－b)2＋2.
把拋物線L：y＝(x＋1)2－2的頂點(－1，－2)代入拋物線Q，得－2＝－b2＋2，
∴b＝±2.
∵b＞0，∴b＝2.
此時拋物線Q：y＝－(x－1)2＋2的頂點(1，2)也在拋物線L上．
綜上，拋物線Q的函數(shù)表達(dá)式為y＝－(x＋3)2＋2或y＝－(x－1)2＋2.
類型五　利用二次函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值
19．(4分)已知二次函數(shù)y＝x2－2x－3的自變量x1，x2，x3對應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，y3.當(dāng)－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時，y1，y2，y3三者之間的大小關(guān)系是(　D　)
A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y3＜y1
C．y3＜y1＜y2
D．y2＜y1＜y3
20．(4分)若P1(－1，y1)，P2，P3(6，y3)均在二次函數(shù)y＝mx2－2mx＋1(m＞0)的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是(　D　)
A．y1＞y2＞y3
B．y3＞y2＞y1
C．y2＞y3＞y1
D．y3＞y1＞y2
類型六　利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值
21．(4分)若二次函數(shù)y＝－x2－4x＋c的最大值為0，則c的值為(　B　)
A．4 B．－4
C．－16 D．16
22．(12分)已知拋物線y＝－x2－3x＋t經(jīng)過A(0，3)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)設(shè)點P(m，n)在該拋物線上，求m＋n的最大值．
解：(1)將A(0，3)代入y＝－x2－3x＋t，得t＝3，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2－3x＋3.
(2)∵點P(m，n)在拋物線y＝－x2－3x＋3上，
∴n＝－m2－3m＋3，
∴m＋n＝－m2－2m＋3＝－(m＋1)2＋4，
∴當(dāng)m＝－1時，m＋n有最大值，最大值是4.
23．(12分)已知函數(shù)y＝－x2＋bx＋c(b，c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(0，－3)，(－2，5)．
(1)求b，c的值；
(2)當(dāng)－4≤x≤0時，求y的最大值；
(3)當(dāng)m≤x≤0時，若y的最大值與最小值之和為2，請直接寫出m的值．
解：(1)把(0，－3)，(－2，5)代入y＝－x2＋bx＋c，得
解得
(2)∵y＝－x2－6x－3＝－(x＋3)2＋6，
－4≤x≤0，
∴當(dāng)x＝－3時，y有最大值，最大值為6.
(3)①當(dāng)－3＜m≤0時，
當(dāng)x＝0時，y有最小值－3，
當(dāng)x＝m時，y有最大值－m2－6m－3，
∴－m2－6m－3＋(－3)＝2，
∴m＝－2或m＝－4(舍去),
∴m＝－2.
②當(dāng)m≤－3時，
當(dāng)x＝－3時，y有最大值6.
∵y的最大值與最小值之和為2，
∴y的最小值為－4，
∴－(m＋3)2＋6＝－4，
∴m＝－3－或m＝－3＋(舍去)．
綜上所述，m＝－2或m＝－3－.
類型七　由二次函數(shù)的圖象解方程、不等式
24．(4分)如圖，拋物線y＝ax2＋c與直線y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)兩點，則不等式ax2－mx＋c＜n的解集為(　C　)
A．x＞－1
B．x＜3
C．－1＜x＜3
D．x＜－3或x＞－1
25．(4分)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(－1，0)與(3，0)兩點，關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＋m＝0(m＞0)有兩個根，其中一個根是5，則關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＋n＝0(0＜n＜m)有兩個整數(shù)根，這兩個整數(shù)根可能是(　A　)
A．－2或4
B．－2或0
C．0或4
D．－2或5
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