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易錯專題培優
(建議用時：90分鐘　滿分：130分)
易錯點一　對有關概念理解不透，出現錯誤
1．(4分)若函數y＝(3－m)xm2－7－x＋1是二次函數，則m的值為(　B　)
A．3 B．－3
C．±3 D．9
2．(4分)下列函數中，y是x的反比例函數的是(　C　)
A．x＝2y B．y＝－(k≠0)
C．y＝4x-1 D．y＝－
3．(4分)若函數y＝是y關于x的反比例函數，則m的值是　－2　．
4．(6分)當m為何值時，函數y＝是關于x的反比例函數？
解：∵函數y＝(m＋3)x2-|m|是反比例函數，
∴2－|m|＝－1且m＋3≠0，
∴m＝3，
即當m＝3時，函數y＝(m＋3)x2-|m|是關于x的反比例函數．
易錯點二　根據反比例函數圖象求k的值時忽略符號的正負
5．(4分)如圖，A是反比例函數y＝(x＞0)圖象上的一點，AB垂直于x軸，垂足為點B，△OAB的面積為8.若點P(a，4)也在此函數的圖象上，則a的值是(　C　)
A．2 B．－2
C．4 D．－4
易錯點三　忽視自變量的取值范圍
6．(4分)如圖，向高為h的圓柱形空水杯中注水，表示注水量y與水深x之間的關系的圖象是(　A　)
　　　　　
A　　　　　　　　B
　　　　
C　　　　　　　　D
7．(4分)甲、乙兩地相距100 km，則汽車由甲地勻速行駛到乙地所用時間y(h)與行駛速度x(km/h)之間的函數圖象大致是(　D　)
解析：根據題意，可知y與x之間的函數表達式為y＝(x＞0)，所以函數圖象大致是D.
8．(4分)y＝中自變量x的取值范圍是　－3≤x＜0　．
9．(8分)某農場計劃建造一個矩形養殖場，為充分利用現有資源，該矩形養殖場一面靠墻(墻的長度為10 m)，另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積比為1∶2的矩形，已知柵欄的總長度為24 m，設較小矩形的寬為x m(如圖)．
(1)若矩形養殖場的總面積為36 m2，求此時x的值；
(2)當x為多少時，矩形養殖場的總面積最大？最大值為多少？
解：(1)根據題意，可知較大矩形的寬為2x m，長為＝(8－x)m，
∴(x＋2x)(8－x)＝36，
解得x＝2或x＝6.
當x＝6時，3x＝18＞10，不符合題意，舍去，
∴x＝2，即此時x的值為2.
(2)設矩形養殖場的總面積是y m2.
∵墻的長度為10 m，
∴0＜x≤.
根據題意，得y＝(x＋2x)(8－x)＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48.
∵－3＜0，∴當x＝時，y取最大值，最大值為－3×＋48＝(m2)，
∴當x＝時，矩形養殖場的總面積最大，最大值為 m2.
易錯點四　忽視函數性質而出錯
10．(4分)已知點(－1，a)，(2，b)，(3，c)在反比例函數y＝(k＞0)的圖象上，則下列判斷正確的是(　A　)
A．a＜c＜b B．b＜a＜c
C．c＜b＜a D．a＜b＜c
11．(4分)已知(－1，y1)，(0，y2)，(3，y3)是拋物線y＝ax2－4ax＋c(a＞0)上的三點，則(　C　)
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y1＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y3＜y1
12．(4分)已知二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分圖象如圖所示，圖象經過點(0，2)，其對稱軸為直線x＝－1.下列結論：①3a＋c＞0；②若點(－4，y1)，(3，y2)均在二次函數圖象上，則y1＞y2；③關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1 有兩個相等的實數根；④滿足ax2＋bx＋c＞2的x的取值范圍為－2＜x＜0.其中正確的結論有(　B　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
解析：∵對稱軸為直線x＝－1，
∴b＝2a.
∵當x＝1時，y＝a＋b＋c＜0，
∴3a＋c＜0，故①錯誤．
∵拋物線開口向下，∴在對稱軸的右側y隨x的增大而減小．
∵(－4，y1)關于直線x＝－1對稱的點為(2，y1)，2＜3，
∴y1＞y2，故②正確．
方程ax2＋bx＋c＝－1的解可看做拋物線y＝ax2＋bx＋c與直線y＝－1的交點，由圖象可知拋物線y＝ax2＋bx＋c與直線y＝－1有兩個交點，
∴關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有兩個不相等的實數根，故③錯誤．
不等式ax2＋bx＋c＞2的解集可看做拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象在直線y＝2上方的部分．
∵(0，2)關于直線x＝－1對稱的點為(－2，2)，
∴x的取值范圍為－2＜x＜0，故④正確．
13．(4分)在函數y＝(m為常數)的圖象上有三點(－3，y1)，(－1，y2)，(3，y3)，則函數值的大小關系是　y3＜y1＜y2　．(用“<”連接)
易錯點五　考慮問題不全面，出現錯解
14．(4分)已知二次函數y＝ax2＋4x＋a－1的最小值為2，則a的值為(　C　)
A．3 B．－1
C．4 D．4或－1
15．(4分)反比例函數y＝(k≠0)的圖象與一次函數y＝－x＋3的圖象的一個交點到x軸的距離為1，則k的值為　2或－4　．
16．(8分)已知拋物線y＝－x2＋(6－)x＋m－3與x軸有兩個交點A，B，且點A，B關于y軸對稱，求此拋物線的函數表達式．
解：設A(x1，0)，B(x2，0)．
∵A，B兩點關于y軸對稱，
∴6－＝0，∴m＝±6.
由題可知，有兩種情況：
①當m＝6時，拋物線的表達式為y＝＋3，此時方程－x2＋3＝0中，Δ＝－4××3＝6＞0，拋物線與x軸有兩個交點，符合題意．
②當m＝－6時，拋物線的表達式為y＝－9，此時方程－x2－9＝0中，Δ＝－4××(－9)＝－18＜0，拋物線與x軸沒有交點，不符合題意，舍去．
綜上所述，該拋物線的函數表達式為y＝＋3.
17．(10分)已知A(－9，0)，B(－3，0)，C(0，4)，以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，反比例函數y＝的圖象經過線段CD的中點，求反比例函數的表達式．
解：如圖，
∵A(－9，0)，B(－3，0)，C(0，4)，
∴AB＝6，BC＝5.
分三種情況：
①當四邊形ABCD1是平行四邊形時，
∵AB＝CD1，AB∥CD1，
∴D1(－6，4)，
∴CD1的中點為(－3，4)，
∴k＝－12，
∴y＝－，
∴反比例函數的表達式為y＝－.
②當四邊形ABD2C為平行四邊形時，
∵AB＝CD2，AB∥CD2，
∴D2(6，4)，∴CD2的中點為(3，4)，
∴k＝12，∴反比例函數的表達式為y＝.
③當四邊形AD3BC是平行四邊形時，
∵BC∥AD3, BC＝AD3，
∴此時CD3的中點與AB的中點相同，
∴CD3的中點為(－6，0)，
∴k＝0，不符合題意．
綜上所述，反比例函數的表達式為y＝－或y＝.
易錯點六　忽略分類討論
18．(4分)如圖，二次函數y＝－x2－2x的圖象與x軸交于點A，O，點P是拋物線上的一個動點，且滿足S△AOP＝3，則點P的坐標是(　C　)
A．(－3，－3)
B．(1，－3)
C．(－3，－3)或(1，－3)
D．(－3，－3)或(－3，1)
19．(10分)在△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，求△ABC的面積．
解：①如圖1，作AD⊥BC，垂足為點D，
圖1
在Rt△ADB中，∵AB＝12，∠B＝30°，
∴AD＝AB＝6，BD＝AB·cos B＝12×＝6.
在Rt△ADC中，CD＝＝，
∴BC＝BD＋CD＝7，
則S△ABC＝BC·AD＝21.
②如圖2，作AD⊥BC，交BC的延長線于點D，
圖2
同理，得AD＝6，BD＝6，CD＝，
則BC＝BD－CD＝5，
則S△ABC＝BC·AD＝15.
綜上所述，△ABC的面積為21或15.
易錯點七　忽略三角形是否為直角三角形而直接求銳角三角函數
20．(4分)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，則cos A的值為(　A　)
A． B．
C． D．2
21．(4分)如圖，在△ABC中，sin B＝，AB＝8，AC＝5，且∠C為銳角，則cos C的值為(　A　)
A． B．
C． D．
易錯點八　混淆平行投影與中心投影的意義而出錯
22．(4分)三根等高的木桿豎直立在平地上，其俯視圖如圖所示，在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子合理的是(　C　)
　
A　　　　B
　
C　　　　D
解析：A．在同一時刻三根木桿在太陽光下的影子的方向應該一致，故本選項錯誤；
B．在同一時刻三根等高木桿在太陽光下的影子的長度應該相同，故本選項錯誤；
D．在同一時刻三根木桿在太陽光下的影子的方向應該互相平行，故本選項錯誤．
23．(12分)如圖分別是兩根木棒及其影子的情形．
(1)哪個圖反映了太陽光下的情形？哪個圖反映了路燈下的情形？
(2)在太陽光下，已知小明的身高是1.8 m，影長是1.2 m，電線桿的影長是4 m，求電線桿的高；
(3)請在圖中分別畫出表示第三根木棒的影長的線段．
解：(1)圖2反映了太陽光下的情形，圖1反映了路燈下的情形．
(2)設電線桿的高為x m，
根據題意，得＝，解得x＝6，
所以電線桿的高為6 m．
(3)如圖1，FG為在路燈下的第三根木棒的影長；
如圖2，FG為在太陽光下的第三根木棒的影長．
　　
圖1　　　　　　　　圖2
易錯點九　畫三視圖出現錯誤
24．(4分)如圖，A，B，C，D是四位同學畫出的一個空心圓柱的主視圖和俯視圖，其中，正確的一組是(　D　)
A．A B．B
C．C D．D
25．(4分)如圖是四個完全相同的小正方體搭成的幾何體，它的俯視圖為(　A　)
　　　　　
A　　　　　　　B
　　　　
C　　　　　　　D
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