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思想方法集錦
(建議用時：90分鐘　滿分：126分)
方法一　方程思想
1．(4分)若函數y＝(m2＋m)xm2－2m－1是二次函數，則m的值是(　D　)
A．2 B．－1或3
C．－1 D．3
解析：由題意，得m2－2m－1＝2，且m2＋m≠0，解得m＝3.
2．(4分)如圖，某數學興趣小組測量一棵樹CD的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為45°，在點B處測得樹頂C的仰角為60°，且A，B，D三點在同一條直線上．若AB＝16 m，則這棵樹CD的高度是(　A　)
A．8(3－)m B．8(3＋)m
C．6(3－)m D．6(3＋)m
解析：設AD＝x m.
∵AB＝16 m，
∴BD＝AB－AD＝(16－x)m.
在Rt△ADC中，∠A＝45°，
∴CD＝AD tan 45°＝x m.
在Rt△CDB中，∠B＝60°，
∴tan 60°＝＝＝，
∴x＝24－8.
經檢驗，x＝24－8是原方程的根，
∴CD＝24－8＝8(3－)m，
∴這棵樹CD的高度是8(3－)m.
3．(4分)在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊．若b2＝ac，則sin A的值為　　．
解析：在△ABC中，∠C＝90°，
∴c2＝a2＋b2.
∵b2＝ac，∴c2＝a2＋ac.
等式兩邊同時除以ac，得＝＋1.
令＝x，則＝x＋1，
∴x2＋x－1＝0，
解得x1＝，x2＝(舍去)．
經檢驗，x＝是原分式方程的根，
∴sin A＝＝．
4．(4分)如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，點D，E分別在CA，CB上，點F在△ABC內．若四邊形CDFE是邊長為1的正方形，則sin ∠FBA＝　　．
解析：如圖，連接AF，過點F作FG⊥AB于點G.
∵四邊形CDFE是邊長為1的正方形，
∴CD＝CE＝DF＝EF＝1，∠C＝∠ADF＝90°.
∵AC＝3，BC＝4，
∴AD＝2，BE＝3，
∴AB＝＝5，AF＝＝，BF＝＝.
設BG＝x.
∵FG2＝AF2－AG2＝BF2－BG2，
∴5－(5－x)2＝10－x2，解得x＝3.
∴FG＝＝1，
∴sin ∠FBA＝＝.
5．(6分)如圖，晚上小亮在廣場上乘涼．圖中線段AB表示站在廣場上的小亮，線段PO表示直立在廣場上的燈桿，點P表示照明燈．
(1)請你在圖中畫出小亮在照明燈(P)照射下的影子；
(2)如果燈桿高PO＝12 m，小亮的身高AB＝1.6 m，小亮與燈桿的距離BO＝13 m，求小亮影子的長度．
解：(1)如圖，連接PA并延長交OB的延長線于點C，線段BC就是小亮在照明燈(P)照射下的影子．
(2)∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠POC＝90°，
∴△CAB∽△CPO，
∴＝，
∴＝，
解得CB＝2，
∴小亮影子的長度為2 m．
6．(8分)太陽能路燈的使用，既方便了人們夜間出行，又有利于節能減排．某校組織學生進行綜合實踐活動——測量太陽能路燈電池板的寬度．如圖，太陽能電池板的寬為AB，O是AB的中點，OC是燈桿．地面上三點D，E，C在同一條直線上，DE＝1.5 m，EC＝5 m．該校學生在點D處測得電池板邊緣點B處的仰角為37°，在點E處測得電池板邊緣點B處的仰角為45°，此時點A，B，E在同一條直線上．求太陽能電池板的寬AB的長度．(結果精確到0.1 m，參考數據：sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈≈1.41)
解：如圖，過點B作BH⊥DC于點H，過點B作BF⊥OC于點F.
由題意，得OC⊥DC，∠BDH＝37°，∠BEH＝45°.
∵BH⊥DC，
∴△BEH和△OEC均為等腰直角三角形，
∴EH＝BH，EC＝OC.
∵DE＝1.5 m，EC＝5 m，
∴OC＝EC＝5 m.
∵BH⊥DC，BF⊥OC，OC⊥DC，
∴四邊形BHCF為矩形，
∴BF＝CH，BH＝CF，BF∥CH，
∴∠OBF＝∠BEH＝45°，
∴△OBF為等腰直角三角形，
∴BF＝OF＝CH.
設BF＝x m，則OF＝CH＝x m，
∴EH＝BH＝EC－CH＝(5－x)m，
∴DH＝DE＋EH＝1.5＋5－x＝(6.5－x)m.
在Rt△BDH中，tan ∠BDH＝，
即tan 37°＝，
∴＝，解得x＝0.5.
經檢驗，x＝0.5是原方程的根，
∴BF＝OF＝0.5 m.
由題易得∠OBF＝45°，
∴OB＝＝≈0.705(m)．
∵O為AB的中點，
∴AB＝2OB＝2×0.705≈1.4(m)，
∴太陽能電池板的寬AB的長度約為 1.4 m.
方法二　分類討論思想
7．(4分)在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，則△ABC的面積為　75或25　．
解析：如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為點D.
在Rt△ABD中，AD＝AB sin B＝10，BD＝AB cos B＝10.
在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5，
∴CD＝＝5，
∴BC＝BD＋CD＝15或BC＝BD－CD＝5.
∵S△ABC＝BC AD，∴S△ABC的值為75或25.
8．(8分)如圖，一次函數y＝kx＋(k為常數，k≠0)的圖象與反比例函數y＝(m為常數，m≠0)的圖象在第一象限交于點 A(1，n)，與x軸交于點B(－3，0)．
(1)求一次函數和反比例函數的表達式；
(2)點P在x軸上，△ABP是以AB為腰的等腰三角形，求點P的坐標．
解：(1)將A(1，n)，B(－3，0)分別代入一次函數y＝kx＋，
得解得
∴一次函數的表達式為y＝x＋，A(1，3)．
將A(1，3)代入反比例函數y＝，
得＝3，解得m＝3，
∴反比例函數的表達式為y＝.
(2)由(1)知A(1，3)，B(－3，0)，則AB＝＝5.設P(a，0)．
分情況求解如下：
①當AB＝AP時，5＝，
解得a＝5或a＝－3(舍去)，
∴P(5，0)．
②當AB＝PB時，5＝|－3－a|，
解得a＝－8或a＝2，
∴P(－8，0)或(2，0)．
綜上所述，符合條件的點P的坐標為(5，0)或(－8，0)或(2，0)．
9．(10分)一次函數y＝kx＋b(k≠0)的圖象與反比例函數y＝的圖象交于A(m，1)，B(－2，n)兩點．
(1)求一次函數的表達式，并在所給的平面直角坐標系中畫出這個一次函數的圖象；
(2)觀察圖象，直接寫出不等式kx＋b＜的解集；
(3)設直線AB與x軸交于點C，若P(0，a)為y軸上的一動點，連接AP，CP，當△APC的面積為時，求點P的坐標．
解：(1)∵反比例函數y＝的圖象經過A(m，1)，B(－2，n)兩點，
∴1＝，n＝＝－2，∴m＝4，
∴A(4，1)，B(－2，－2)．
將A(4，1)，B(－2，－2)代入y＝kx＋b，
得解得
∴一次函數的表達式為y＝x－1.
一次函數的圖象如圖．
(2)不等式kx＋b＜的解集是x＜－2或0＜x＜4.
(3)設直線AB交x軸于點C，交y軸于點D.
在y＝x－1中，當x＝0時，y＝－1，
∴D(0，－1)．
當y＝0時，得x－1＝0，解得x＝2.
∴C(2，0)，∴OC＝2.
∵P(0，a)，D(0，－1)，
∴PD＝|a＋1|.
∵S△APC＝S△APD－S△PCD＝，
∴|a＋1|·(4－2)＝，
解得a＝或a＝－，
∴點P的坐標為或.
方法三　數形結合思想
10．(4分)如圖，一次函數y＝ax＋b的圖象與反比例函數y＝的圖象交于點A(2，3)，B(m，－2)，則不等式ax＋b＞的解是(　A　)
A．－3＜x＜0或x＞2
B．x＜－3或0＜x＜2
C．－2＜x＜0或x＞2
D．－3＜x＜0或x＞3
解析：∵點A(2，3)在反比例函數的圖象上，
∴k＝6.
∵點B(m，－2)在反比例函數的圖象上，
∴m＝－3，∴B(－3，－2)．
觀察圖象可知當ax＋b＞時，－3＜x＜0或x＞2.
11．(4分)某三棱柱的三視圖如圖所示，已知俯視圖中tan B＝，BC＝7，下列結論正確的是(　C　)
A．AB＝2 B．n＝2
C．sin C＝ D．S△ABC＝7
解析：如圖，過點A作AD⊥BC于點D.
由題意可知這個三棱柱的高為6，BD＝4，CD＝m，AD＝n.
∵BC＝7，BC＝BD＋CD＝4＋m，
∴m＝3.
∵tan B＝＝，BD＝4，
∴AD＝1，即n＝1，
故選項B不正確．
AB＝＝＝，
故選項A不正確．
AC＝＝＝.
在Rt△ADC中，sin C＝＝＝，
故選項C正確．
俯視圖三角形的底邊BC為7，高AD為1，
∴S△ABC＝×7×1＝，
故選項D不正確．
12．(10分)已知直線l：y＝kx＋1與拋物線y＝x2－4x.
(1)求證：直線l與該拋物線總有兩個交點；
(2)設直線l與該拋物線的兩個交點分別為A，B，O為原點，當k＝－2時，求△AOB的面積．
(1)證明：令kx＋1＝x2－4x，
整理，得x2－(4＋k)x－1＝0.
∵Δ＝(4＋k)2＋4＞0，
∴直線l與該拋物線總有兩個交點．
(2)解：當k＝－2時，y＝－2x＋1.
如圖，過點A作AF⊥x軸于點F，過點B作BE⊥x軸于點E.
聯立
解得或
∴A(1－，2－1)，B(1＋，－1－2)，
∴AF＝2－1，BE＝1＋2.
∵直線y＝－2x＋1與x軸交于點C，
∴OC＝，
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝OC·AF＋OC·BE＝OC·(AF＋BE)＝×(2－1＋1＋2)＝.
方法四　 轉化思想
13．(4分)如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D為BC的中點，DE⊥AB于點E，則cos ∠BDE的值為(　A　)
A． B．
C． D．
解析：如圖，連接AD.
∵AB＝AC＝5，BC＝6，D為BC的中點，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝3，
∴∠BAD＝90°－∠B，AD＝＝＝4.
∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90°－∠B，
∴∠BAD＝∠BDE.
在Rt△ABD中，cos ∠BAD＝＝，
∴cos ∠BDE＝cos ∠BAD＝.
14．(4分)如圖，在邊長相同的小正方形網格中，點A，B，C，D都在這些小正方形的頂點上，AB，CD相交于點P，則tan ∠APD的值為(　C　)
A． B．
C．2 D．2
15．(6分)分別畫出圖中幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖．
解：三視圖如圖．
16．(6分)已知拋物線y＝x2＋kx＋9.
(1)當k為何值時，拋物線與x軸有兩個交點？
(2)當k為何值時，拋物線與x軸只有一個交點？
解：(1)∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴Δ＝k2－36＞0，
∴k＞6或k＜－6.
(2)∵拋物線與x軸只有一個交點，
∴Δ＝k2－36＝0，
∴k＝6或k＝－6.
17．(6分)無人機在實際生活中的應用越來越廣泛．如圖所示，某人利用無人機測量大樓的高度BC，無人機在空中點P處，測得點P距地面上點A處80 m，點A處的俯角為60°，樓頂點C處的俯角為30°.已知點A與大樓的距離AB為70 m(點A，B，C，P在同一平面內)，求大樓的高度BC.(結果保留根號)
解：如圖，過點P作 PH⊥AB于點H，過點C作CQ⊥PH于點Q，則四邊形 CQHB為矩形．
∴QH＝BC，BH＝CQ.
由題意，得AP＝80 m，∠PAH＝60°，∠PCQ＝30°，AB＝70 m，
∴PH＝AP·sin 60°＝80×＝40(m)，AH＝AP·cos 60°＝40(m)，
∴CQ＝BH＝70－40＝30(m)，
∴PQ＝CQ·tan 30°＝10(m)，
∴BC＝QH＝40－10＝30(m)，
∴大樓的高度BC為30 m.
方法五　 整體思想
18．(4分)已知拋物線y＝x2＋2x－1與x軸的一個交點是(m，0)，則代數式m2＋2m＋2 024的值為(　D　)
A．2 022 B．2 023
C．2 024 D．2 025
解析：∵拋物線y＝x2＋2x－1與x軸的一個交點為(m，0)，
∴m2＋2m－1＝0，
∴m2＋2m＝1，
∴m2＋2m＋2 024＝1＋2 024＝2 025.
19．(4分)若點(3，－4)是反比例函數y＝的圖象上的一點，則函數圖象必經過點(　D　)
A．(2，6) B．(－3，－4)
C．(－4，－3) D．(2，－6)
方法六　 歸納思想
20．(4分)如圖，一段拋物線：y＝－x(x－4)(0≤x≤4)記為C1，它與x軸交于O，A1兩點；將C1繞點A1旋轉180°得到C2，交x軸于點A2；將C2繞點A2旋轉180°得到C3，交x軸于點A3……如此變換進行下去．若點P(21，m)在這種連續變換的圖象上，則m的值為(　C　)
A．2 B．－2
C．－3 D．3
解析：∵y＝－x(x－4)(0≤x≤4)記為C1，它與x軸交于兩點O，A1，
∴A1(4，0)，∴OA1＝4.
∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，
∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝4.
∵點P(21，m)在這種連續變換的圖象上，
∴x＝21和x＝1時的函數值互為相反數，
∴－m＝－1×(1－4)＝3，
∴m＝－3.
21．(8分)如圖都是等腰直角三角形，點P1，P2，P3，…，Pn都在反比例函數y＝(x＞0)的圖象上，斜邊，A2A3，…，An－1An都在x軸上．
(1)求點A1，A2的坐標；
(2)猜想點An的坐標．(直接寫出結果即可)
解：(1)設點P1的坐標為(x，y)．
由題意，得x＝y，則x2＝4，
∴x＝2(負值舍去)，
∴點A1的坐標為(4，0)．
設點P2的坐標為(4＋y，y)，則y(4＋y)＝4，
即y2＋4y－4＝0，
解得y1＝－2＋2，y2＝－2－2.
∵y＞0，∴y＝2－2，
∴點A2的坐標為(4，0)．
(2)點An的坐標為(4，0)．
方法七　 配方法
22．(4分)二次函數y＝2x2＋8x－6的圖象的頂點坐標為(　B　)
A．(2，18) B．(－2，－14)
C．(4，58) D．(－4，－6)
23．(6分)已知拋物線y＝x2－(m－3)x－m.求證：無論m為何值，拋物線與x軸總有兩個交點．
證明：∵a＝1，b＝－(m－3)，c＝－m，
∴Δ＝b2－4ac＝(m－3)2＋4m＝m2－2m＋9＝(m－1)2＋8.
∵(m－1)2≥0，8＞0，
∴(m－1)2＋8＞0，即Δ＞0，
∴無論m為何值，拋物線與x軸總有兩個交點．
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