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素養(yǎng)考向集訓(xùn)
(建議用時(shí)：90分鐘　滿分：110分)
素養(yǎng)一　抽象能力
1．(4分)在下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是(　C　)
A．y＝2x B．y＝
C．y＝ D．y＝
2．(4分)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列結(jié)論正確的是(　B　)
A．sin A＝ B．tan B＝
C．cos A＝ D．tan A＝
3．(4分)廣場(chǎng)上一個(gè)大型字母宣傳牌垂直于地面放置，其投影如圖所示，則該投影屬于　中心投影　．(填“平行投影”或“中心投影”)
4．(6分)已知函數(shù)y＝(|m|－1)x2＋(m－1)x－m－1.
(1)若這個(gè)函數(shù)是關(guān)于x的一次函數(shù)，求m的值；
(2)若這個(gè)函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，求m的取值范圍．
解：(1)由題意，得|m|－1＝0且m－1≠0，
解得m＝±1且m≠1，∴m＝－1，
∴當(dāng)m＝－1時(shí)，這個(gè)函數(shù)是關(guān)于x的一次函數(shù)．
(2)由題意，得|m|－1≠0，
解得m≠±1，
∴當(dāng)m≠±1時(shí)，這個(gè)函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)．
素養(yǎng)二　推理能力
5．(4分)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝－1.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－4，0)，則下列結(jié)論正確的是(　C　)
A．2a＋b＝0
B．4a－2b＋c＞0
C．x＝2是關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一個(gè)根
D．點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)在拋物線上，當(dāng)x1＞x2＞－1時(shí)，y1＜y2＜0
解析：∵拋物線開(kāi)口向上，∴a＞0.
∵對(duì)稱軸為直線x＝－1，
∴－＝－1，∴b＝2a＞0，
∴2a＋b＞0，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤．
∵當(dāng)x＝－2時(shí)，y＜0，
∴4a－2b＋c＜0，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤．
∵拋物線與x軸交于點(diǎn)(－4，0)，對(duì)稱軸為直線x＝－1，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(2，0)，
∴x＝2是關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一個(gè)根，故C選項(xiàng)正確．
∵拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x＝－1，
∴當(dāng)x＞－1時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x1＞x2＞－1時(shí)，y1＞y2，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
6．(6分)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求證：sin2A＋cos2A＝1.
證明：∵sinA＝，cos A＝，a2＋b2＝c2，
∴sin2A＋cos2A＝＝＝1.
7．(8分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)，與雙曲線y＝(x＞0)交于點(diǎn)B(2，1)，點(diǎn)P(a，2)在直線AB上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線分別交雙曲線y＝(x＞0)和y＝－(x＜0)于點(diǎn)E，F(xiàn).
(1)求m的值和直線l的函數(shù)表達(dá)式；
(2)連接EB，F(xiàn)A．求證：EB∥FA．
(1)解：∵雙曲線y＝(x＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2，1)，
∴m＝2×1＝2.
設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b.
∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)，與雙曲線y＝(x＞0)交于點(diǎn)B(2，1)，
∴解得
∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝x－1.
(2)證明：∵點(diǎn)P(a，2)在直線AB上，
∴2＝a－1，解得a＝3，∴P(3，2)．
把y＝2代入y＝－，得x＝－1.
把y＝2代入y＝，得x＝1，
∴E(1，2)，F(xiàn)(－1，2)，
∴EF＝2，PE＝2，∴＝1.
∵點(diǎn)A(1，0)，B(2，1)，P(3，2)，
∴＝＝1，
∴＝，
∴EB∥FA．
素養(yǎng)三　運(yùn)算能力
8．(4分)從三個(gè)不同方向看同一個(gè)幾何體得到的平面圖形如圖所示，則這個(gè)幾何體的側(cè)面積是　36　cm2.
9．(6分)計(jì)算：
(1)sin 30°－tan 60°＋2cos230°·tan45°；
(2)cos245°－s 30°.
解：(1)原式＝＋2×()2×1＝＋2×＝2－.
(2)原式＝()2－＝＝.
素養(yǎng)四　模型觀念
10．(4分)小明利用如圖1所示的電路探究電流與電阻的關(guān)系，已知電源電壓為3 V且保持不變，更換了5個(gè)阻值不同的定值電阻Rx，依據(jù)5次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)描點(diǎn)繪制了如圖2所示的圖象，已知I與Rx成反比例函數(shù)關(guān)系．下列說(shuō)法不正確的是(　C　)
A．本實(shí)驗(yàn)中電壓表的讀數(shù)為2.5 V
B．當(dāng)定值電阻Rx＝10 Ω時(shí)，電流表的示數(shù)為0.25 A
C．當(dāng)電流表的示數(shù)為0.1 A時(shí)，定值電阻Rx＝20 Ω
D．電流I與電阻Rx之間的函數(shù)表達(dá)式為I＝
解析：由圖象可知電流I與電阻Rx之積為0.5×5＝2.5(V)，
∴本實(shí)驗(yàn)中電壓表的讀數(shù)為2.5 V，
∴電流I與電阻Rx之間的函數(shù)表達(dá)式為I＝，故選項(xiàng)A，D正確．
當(dāng)Rx＝10 Ω時(shí)，I＝＝0.25(A)，故選項(xiàng)B正確．
當(dāng)I＝0.1 A時(shí)，由圖象可知Rx＝25 Ω≠20 Ω，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．
素養(yǎng)五　空間觀念
11．(4分)一個(gè)立體圖形的三視圖如圖所示，則這個(gè)立體圖形是(　D　)
　
　
A　　　　　B
　
C　　　　　D
12．(6分)如圖是一個(gè)幾何體的俯視圖，正方形中的數(shù)字是該位置上的小正方體的數(shù)量．
(1)請(qǐng)畫(huà)出該幾何體的主視圖和左視圖；
(2)若其中每個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)為1 cm，求這個(gè)幾何體的表面積(含底面)．
解：(1)主視圖和左視圖如圖．
(2)這個(gè)幾何體的表面積為8＋8＋5＋5＋9＋9＝44(cm2)．
素養(yǎng)六　幾何直觀
13．(4分)反比例函數(shù)y＝與二次函數(shù)y＝ax2＋ax在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是(　A　)
　　　
A　　　　　　　B
　　　
C　　　　　　　D
解析：A．拋物線y＝ax2＋ax開(kāi)口方向向下，則a＜0，對(duì)稱軸為直線x＝－＝－，反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，故本選項(xiàng)正確．
B．拋物線y＝ax2＋ax開(kāi)口方向向上，則a＞0，對(duì)稱軸為直線x＝－＝－，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
C．拋物線y＝ax2＋ax開(kāi)口方向向上，則a＞0，對(duì)稱軸為直線x＝－＝－，反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
D．拋物線y＝ax2＋ax應(yīng)該經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
14．(4分)若點(diǎn)A(x1，1)，B(x2，－5)，C(x3，3)均在反比例函數(shù)y＝(k＜0)的圖象上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是(　B　)
A．x3＜x2＜x1
B．x1＜x3＜x2
C．x2＜x3＜x1
D．x1＜x2＜x3
解析：∵k＜0，
∴反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．
∵點(diǎn)A(x1，1)，B(x2，－5)，C(x3，3)在反比例函數(shù)y＝(k＜0)的圖象上，
∴點(diǎn)A(x1，1)，C(x3，3)在第二象限，點(diǎn)B(x2，－5)在第四象限，
∴x1＜x3＜x2.
15．(10分)如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－4)，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)．
(1)該函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為　(－3，0)　；
(2)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
(3)當(dāng)－4＜x＜0時(shí)，求y的取值范圍．
解：(1)∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝－1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，
∴二次函數(shù)圖象與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(－3，0)．
故答案為(－3，0)．
(2)設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a(x＋1)2－4.
把(1，0)代入y＝a(x＋1)2－4，
得4a－4＝0，解得a＝1，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝(x＋1)2－4＝x2＋2x－3.
(3)∵拋物線開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－4)，
∴拋物線的最小值為－4.
又∵－1－(－4)＝3＞0－(－1)＝1，
∴當(dāng)x＝－4時(shí)，y在－4＜x＜0范圍內(nèi)取最大值，最大值為5，
∴當(dāng)－4＜x＜0時(shí)，y的取值范圍為－4≤y＜5.
素養(yǎng)七　創(chuàng)新意識(shí)
16．(4分)如圖是由相同大小的正方體積木堆疊而成的立體圖形．如果拿走圖中的甲、乙、丙、丁中的一個(gè)積木，此圖形主視圖的形狀會(huì)改變，則拿走的積木是(　B　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
17．(4分)某游樂(lè)場(chǎng)的過(guò)山車在軌道上運(yùn)行的過(guò)程中有一段路線可以看作是拋物線的一部分，其運(yùn)行的豎直高度y(m)與水平距離x(m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如圖，該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C，可以推斷，當(dāng)水平距離x可能為_(kāi)_______時(shí)，豎直高度y有最小值．(　C　)
A．5 B．6
C．7 D．9
解析：設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝a.
∵該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C，
∴
解得6＜a＜9.只有C選項(xiàng)符合要求．
素養(yǎng)八　應(yīng)用意識(shí)
18．(10分)某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元，試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷售量為250件，銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．
(1)寫(xiě)出商場(chǎng)銷售這種文具每天所得的銷售利潤(rùn)w(元)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤(rùn)最大；
(3)如果該文具的銷售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過(guò)30元，請(qǐng)你計(jì)算最大利潤(rùn)．
解：(1)由題意，得銷售量為250－10(x－25)＝－10x＋500，
則w＝(x－20)(－10x＋500)＝－10x2＋700x－10 000.
(2)w＝－10x2＋700x－10 000＝－10(x－35)2＋2 250.
∵－10＜0，
∴當(dāng)x＝35時(shí)，w取最大值，最大值為2 250,
∴當(dāng)銷售單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的銷售利潤(rùn)最大．
(3)由題意，得20＜x≤30.
∵－10＜0，對(duì)稱軸為直線x＝35，
∴當(dāng)20＜x≤30時(shí)，w隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝30時(shí)，w取最大值，最大值為－10×(30－35)2＋2 250＝2 000，
即最大利潤(rùn)為2 000元．
19．(8分)風(fēng)電項(xiàng)目對(duì)于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式具有重要意義．某電力部門(mén)在一處坡角為30°的坡地上新安裝了一架風(fēng)力發(fā)電機(jī)，如圖1.某校實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)該坡地上的這架風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿高度進(jìn)行了測(cè)量，圖2為測(cè)量示意圖．已知斜坡CD長(zhǎng)16 m，在地面點(diǎn)A處測(cè)得風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿頂端點(diǎn)P的仰角為45°，利用無(wú)人機(jī)在點(diǎn)A的正上方53 m的點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)P的俯角為18°.求該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿PD的高度．(參考數(shù)據(jù)：sin 18°≈0.309，cos 18°≈0.951，tan 18°≈0.325)
解：如圖，延長(zhǎng)PD交AC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)DP交BE于點(diǎn)G.
由題意，得PF⊥AF，DG⊥BE，AB＝FG＝53 m，AF＝BG.
設(shè)AF＝BG＝x m.
在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝16 m，
∴DF＝CD＝8 m.
在Rt△PAF中，∠PAF＝45°，
∴PF＝AF·tan 45°＝x m.
在Rt△BPG中，∠GBP＝18°，
∴GP＝BG·tan 18°≈0.325x m，
∴FG＝PF＋PG＝x＋0.325x＝1.325x(m)，
∴1.325x＝53，
解得x＝40，
∴PF＝40 m，
∴PD＝PF－DF＝40－8＝32(m)，
∴該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿PD的高度約為32 m．
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