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第一章成果展示　反比例函數(shù)
(時(shí)間：120分鐘　滿(mǎn)分：120分)
第Ⅰ卷(選擇題　共40分)
一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求)
1．下面四個(gè)關(guān)系式中，y是x的反比例函數(shù)的是(　C　)
A．y＝2 024x－1 B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析：y＝2 024x－1是一次函數(shù)，y＝是正比例函數(shù)，y＝不符合y＝(k為常數(shù)，k≠0)的形式，選項(xiàng)A，B，D均不是反比例函數(shù)．選項(xiàng)C符合題意．
2．若正比例函數(shù)y＝－2x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點(diǎn)(1，－2)，則另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(　B　)
A．(2，1) B．(－1，2)
C．(－2，－1) D．(－2，1)
3．物理學(xué)中，如果變阻器兩端的電壓不變，那么通過(guò)變阻器的電流y是關(guān)于電阻x的反比例函數(shù)，其圖象大致是(　B　)
4．已知點(diǎn)(－2，a)，(2，b)，(3，c)在函數(shù)y＝(k＞0)的圖象上，則下列判斷正確的是(　C　)
A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c
C．a(chǎn)＜c＜b D．c＜b＜a
5．函數(shù)y＝(k≠0)的圖象如圖所示，那么函數(shù)y＝kx－k的圖象大致是(　B　)
A　　　　 B　　　　C　　　 D
6．如圖，直線(xiàn)y＝k1x＋b與雙曲線(xiàn)y＝交于A，B兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為1和5，則不等式k1x＋b＜的解集是(　B　)
A．1＜x＜5 B．x＞5或0＜x＜1
C．x＞5或x＜1 D．1≤x≤5
7．已知反比例函數(shù)y＝(2m－1)xm2－2，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，則m的值是(　C　)
A．±1 B．小于的實(shí)數(shù)
C．－1 D．1
8．如圖，在菱形ABOC中，∠A＝60°，它的一個(gè)頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝第二象限的圖象上．若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－6，0)，則反比例函數(shù)的表達(dá)式為(　D　)
A．y＝ B．y＝－
C．y＝ D．y＝－
9．某市舉行中學(xué)生黨史知識(shí)競(jìng)賽．如圖，用四個(gè)點(diǎn)分別描述甲、乙、丙、丁四所學(xué)校競(jìng)賽成績(jī)的優(yōu)秀率(該校優(yōu)秀人數(shù)與該校參加競(jìng)賽人數(shù)的比值)y與該校參加競(jìng)賽人數(shù)x的情況，其中描述乙、丁兩所學(xué)校情況的點(diǎn)恰好在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，則這四所學(xué)校在這次黨史知識(shí)競(jìng)賽中成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)最多的是(　C　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：根據(jù)題意可知xy的值即為該校的優(yōu)秀人數(shù)．
∵描述乙、丁兩所學(xué)校情況的點(diǎn)恰好在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，
∴乙、丁兩學(xué)校的優(yōu)秀人數(shù)相同．
∵點(diǎn)丙在反比例函數(shù)圖象上面，點(diǎn)甲在反比例函數(shù)圖象下面，
∴丙學(xué)校的xy的值最大，即優(yōu)秀人數(shù)最多，甲學(xué)校的xy的值最小，即優(yōu)秀人數(shù)最少．
10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在函數(shù)y＝－(x＜0)的圖象上，點(diǎn)B在函數(shù)y＝(x＞0)的圖象上．若AO＝2BO，∠AOB＝90°，則k的值為(　A　)
A．1 B．2
C．1.5 D．0.25
解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D.
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠AOC＋∠OAC＝90°.
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝∠OAC，
∴△AOC∽△OBD，
∴S△AOC∶S△BOD＝.
∵AO＝2BO，
∴S△AOC∶S△BOD＝4.
∵點(diǎn)A在函數(shù)y＝－(x＜0)的圖象上，點(diǎn)B在函數(shù)y＝(x＞0)的圖象上，
∴S△AOC＝×|－4|＝2，S△BOD＝k，
∴2＝4×k，解得k＝1.
第Ⅱ卷(非選擇題　共80分)
二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分)
11．如果點(diǎn)(2，5)在反比例函數(shù)y＝的圖象上，那么k＝　10　.
12．如果反比例函數(shù)y＝(a是常數(shù))的圖象在第一、三象限，那么a的取值范圍是　a＞3　．
13．若點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且滿(mǎn)足當(dāng)x1＞x2＞0時(shí)y1＜y2，則m的取值范圍為　m＜3　．
14．反比例函數(shù)y1＝，y2＝在第一象限的圖象如圖所示，過(guò)y1上的任意一點(diǎn)A，作x軸的平行線(xiàn)交y2于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，則△AOB的面積為　1　．
15．在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的邊均平行于坐標(biāo)軸，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，a)，如圖．若雙曲線(xiàn)y＝(x＞0)與此正方形的邊有交點(diǎn)，則a的取值范圍是　≤a≤＋1　．
16．如圖，點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)y＝(k＞0，x＞0)上，點(diǎn)B在直線(xiàn)l：y＝mx－2b(m＞0，b＞0)上，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)l與y軸交于點(diǎn)C，當(dāng)四邊形AOCB是菱形時(shí)，有以下結(jié)論：
①A(b，b)；②當(dāng)b＝2時(shí)，k＝4；③m＝；④S菱形AOCB＝2b2.
其中，正確結(jié)論的序號(hào)是　②③　．
三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共56分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17．(6分)如圖，已知反比例函數(shù)y1＝的圖象與一次函數(shù)y2＝ax＋b的圖象交于點(diǎn)A(1，4)和點(diǎn)B(m，－2)．
(1)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
(2)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出當(dāng)ax＋b≤時(shí)，x的取值范圍．
解：(1)把A(1，4)代入y1＝，得k＝4，
∴y1＝.
把B(m，－2)代入y1＝，得m＝－2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－2，－2)．
把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入y2＝ax＋b，
得解得
∴y2＝2x＋2.
(2)觀(guān)察圖象可知，使得ax＋b≤成立的自變量x的取值范圍是x≤－2或0＜x≤1.
18．(8分)如圖，在 OABC中，OA＝2，∠AOC＝45°，點(diǎn)C在y軸上，D是BC的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，D.求：
(1)k的值；
(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)．
解：(1)∵OA＝2，∠AOC＝45°，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，2)．
將A(2，2)代入y＝(x＞0)，得k＝4，
∴k的值為4.
(2)∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴OC∥AB，∴AB⊥x軸．
由(1)易得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2.
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，代入y＝(x＞0)，得y＝4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)．
19．(10分)如圖，直線(xiàn)y＝x＋2與雙曲線(xiàn)相交于點(diǎn)A(m，3)，與x軸交于點(diǎn)C．
(1)求雙曲線(xiàn)的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)P在x軸上，如果△ACP的面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解：(1)把A(m，3)代入y＝x＋2，
得m＋2＝3，
解得m＝2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，3)．
設(shè)雙曲線(xiàn)的表達(dá)式為y＝，
把A(2，3)代入y＝，得k＝6，
∴雙曲線(xiàn)的表達(dá)式為y＝.
(2)對(duì)于直線(xiàn)y＝x＋2，令y＝0，得x＝－4，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－4，0)．
設(shè)P(x，0)，可得PC＝|x＋4|.
∵△ACP的面積為3，∴|x＋4|×3＝3，
即|x＋4|＝2，解得x＝－2或x＝－6，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，0)或(－6，0)．
20．(10分)工匠制作某種金屬工具要進(jìn)行材料煅燒和鍛造兩個(gè)工序，即需要將材料煅燒到800 ℃，然后停止煅燒進(jìn)行鍛造操作．煅燒時(shí)溫度y(℃)與時(shí)間x(min)成一次函數(shù)關(guān)系；鍛造時(shí)，溫度y(℃)與時(shí)間x(min)成反比例函數(shù)關(guān)系(如圖)．已知該材料初始溫度是32 ℃，經(jīng)過(guò)8 min時(shí)，材料溫度降為600 ℃.
(1)求材料煅燒和鍛造時(shí)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；
(2)根據(jù)工藝要求，當(dāng)材料溫度低于480 ℃時(shí)，需停止操作，那么鍛造的操作時(shí)間有多長(zhǎng)？
解：(1)設(shè)材料鍛造時(shí)y與x的函數(shù)表達(dá)式為y＝(k≠0)．
將(8，600)代入，得600＝，
解得k＝4 800，
∴y＝.
把y＝800代入y＝，得＝800，
解得x＝6，
∴B(6，800)，函數(shù)自變量的取值范圍是x≥6，
∴材料鍛造時(shí)y與x的函數(shù)表達(dá)式為y＝(x≥6)．
設(shè)材料煅燒時(shí)y與x的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax＋32(a≠0)．
將(6，800)代入，得800＝6a＋32，
解得a＝128，
∴材料煅燒時(shí)y與x的函數(shù)表達(dá)式為y＝128x＋32(0≤x＜6)．
(2)把y＝480代入y＝，得x＝10，
10－6＝4(min)，
故鍛造的操作時(shí)間為4 min.
21．(10分)通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學(xué)課上聽(tīng)課注意力指標(biāo)隨上課時(shí)間的變化而變化，上課開(kāi)始時(shí)，學(xué)生興趣激增，中間一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開(kāi)始分散．學(xué)生注意力指標(biāo)y隨時(shí)間x(min)變化的函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng) 0≤x＜10和10≤x＜20時(shí)，圖象是線(xiàn)段；當(dāng)20≤x≤45時(shí)，圖象是反比例函數(shù)的一部分．
(1)求點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的指標(biāo)值．
(2)張老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學(xué)綜合題需要17 min，他能否經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)陌才牛箤W(xué)生在聽(tīng)這道綜合題的講解時(shí)，注意力指標(biāo)都不低于36？請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：(1)設(shè)當(dāng)20≤x≤45時(shí)，反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝，將C(20，45)代入，得
45＝，解得k＝900，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝.
當(dāng)x＝45時(shí)，y＝＝20，
∴D(45，20)，
∴A(0，20)，即點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的指標(biāo)值為20.
(2)能．理由如下：
設(shè)當(dāng)0≤x＜10時(shí)，直線(xiàn)AB的表達(dá)式為y＝mx＋n，將A(0，20)，B(10，45)代入，得
解得
∴直線(xiàn)AB的表達(dá)式為y＝x＋20.
當(dāng)y≥36時(shí)，x＋20≥36，解得x≥.
由(1)得反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝，
當(dāng)y≥36時(shí)，≥36，解得x≤25，
∴當(dāng)≤x≤25時(shí)，注意力指標(biāo)都不低于36，
而25－＝＞17，
∴張老師能經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)陌才牛箤W(xué)生在聽(tīng)這道綜合題的講解時(shí)，注意力指標(biāo)都不低于36.
22．(12分)如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別落在x軸、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B(2，2)，反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象與BC，AB分別交于點(diǎn)D，E，BD＝.
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(2)寫(xiě)出DE所在直線(xiàn)與直線(xiàn)AC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)點(diǎn)F在直線(xiàn)AC上，G是坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BCFG為菱形時(shí)，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)G是否在反比例函數(shù)的圖象上．
解：(1)∵B(2，2)，∴BC＝2.
∵BD＝，∴CD＝2－＝，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為.
將D代入y＝(x＞0)，得2＝，
解得k＝3，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝(x＞0)．
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，)．
(2)DE所在直線(xiàn)與直線(xiàn)AC平行．理由如下：
由(1)知，D(，2)，E(2，)，
B(2，2)，則BE＝，
∴＝＝＝＝，
∴＝，
∴DE所在直線(xiàn)與直線(xiàn)AC平行．
(3)①當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的下方、點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥y軸于點(diǎn)H．
∵四邊形BCFG為菱形，
∴BC＝CF＝FG＝BG＝2.
在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，OC＝AB＝2，
∴AC＝＝4，∴∠OCA＝30°，
∴FH＝FC＝1，CH＝＝，
∴F(1，)，則G(3，)．
將x＝3代入y＝，得y＝.
∴點(diǎn)G在反比例函數(shù)的圖象上．
②當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的上方時(shí)，圖略，同理可得，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1，3)，且在反比例函數(shù)的圖象上．
綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(3，)或(1，3)，都在反比例函數(shù)的圖象上．
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