資源簡介

課時分層訓練(四)　銳角三角函數
知識點一　正切
1．如圖，在由邊長為1的小正方形構成的網格中，點A，B，C都在格點上，則tan B的值為(　B　)
A． B．
C． D．
解析：由圖，得AC＝4，BC＝3.
∵∠C＝90°，
∴tan B＝＝.
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13 cm，BC＝5 cm，則tan B＝　　．
知識點二　坡度(坡比)與正切的關系
3．河堤橫斷面如圖所示，堤高BC＝5 m，迎水坡AB的坡比為1∶(坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比)，則AC的長是(　A　)
A．5 m B．10 m
C．15 m D．10 m
4．如圖，某山坡的坡面AB＝200 m，坡角∠BAC＝30°，則該山坡的高BC的長為　100　m.
知識點三　正弦與余弦
5．如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，則cos B＝等于(　C　)
A． B．
C． D．
6．如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sin B＝0.5.若AC＝6，則BC的長為(　C　)
A．8 B．12
C．6 D．12
知識點四　銳角三角函數
7．在Rt△ABC中，如果各邊長度都擴大為原來的2倍，那么銳角A的正弦值(　D　)
A．擴大為原來的2倍
B．縮小為原來的
C．擴大為原來的4倍
D．沒有變化
8．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝15.求：
(1)AB的長；
(2)sin A，cos A的值．
解：(1)由勾股定理，得AB＝＝3.
(2)sin A＝＝＝，cos A＝＝＝.
9．如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足為點E，cos ∠ADE＝，AB＝4，則AD的長為(　C　)
A．3 B．
C． D．
解析：∵DE⊥AC，
∴∠ADE＋∠CAD＝90°.
∵∠ACD＋∠CAD＝90°，
∴∠ACD＝∠ADE.
∵矩形ABCD的對邊AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠ADE.
∵cos ∠ADE＝，
∴cos ∠BAC＝，
∴＝，
∴AC＝AB＝.
由勾股定理，得BC＝
＝＝.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝.
10．在△ABC中，∠B，∠C 均為銳角，其對邊分別為b，c，求證：＝.
證明：如圖，過點A作AD⊥BC于點D.
在Rt△ABD中，sin B＝，
∴AD＝AB·sin B.
在Rt△ADC中，sin C＝，
∴AD＝AC·sin C，
∴AB·sin B＝AC·sin C，
即c sin B＝b sin C，
∴＝.
11．如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝10 cm，BC＝9 cm，△ABC的面積為.求tan B的值．
解：如圖，過點A作AH⊥BC于點H.
∵S△ABC＝27 cm2，
∴×9AH＝27，
∴AH＝6 cm.
∵AB＝10 cm，
∴BH＝＝
＝8(cm)，
∴tan B＝＝＝.
12．[實踐探究]
(1)如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan A的值．小明想構造包含∠A的直角三角形：延長CA至點D，使得DA＝AB，連接BD，得到∠D＝∠A，即轉化為求∠D的正切值．請按小明的思路求tan A的值．
[拓展延伸]
(2)如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tan A＝，求tan 2A的值．
解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝.
由題意知AD＝AB＝，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD＋AC＝2＋，
∴tan A＝tan ∠BAC＝tan D＝＝＝－2.
(2)如圖，作AB的垂直平分線EF，交AB于點F，交AC于點E，連接BE.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tan A＝＝，
∴BC＝AC·tan A＝3×＝1.
設CE＝x，則AE＝BE＝3－x.
在Rt△BEC中，由勾股定理，
得BE2＝CE2＋BC2，
即(3－x)2＝x2＋12，
解得x＝.
在Rt△BEC中，tan ∠BEC＝＝＝.
∵EF是AB的垂直平分線，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE，
∴∠BEC＝∠A＋∠ABE＝2∠A，
∴tan 2A＝tan ∠BEC＝.
【創新運用】
13．如圖，在邊長相同的小正方形網格中，點A，B，C，D都在這些小正方形的頂點上，AB，CD相交于點P，求的值和 tan ∠APD的值．
解：如圖，連接BE交CD于點F.
∵四邊形BCED是正方形，
∴DB∥AC，
∴△DBP∽△CAP，
∴＝＝3.
∵四邊形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF.
由△DBP∽△CAP，
得DP∶CP＝BD∶AC＝1∶3，
∴DP∶DF＝1∶2，
∴DP＝PF＝CF＝BF.
在Rt△PBF中，tan ∠BPF＝＝2.
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan ∠APD＝2.
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