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課時分層訓練(五)　30°，45°，60°角的三角函數值
知識點一　30°，45°，60°角的三角函數值
1．式子2cos 30°－tan 45°的值是(　C　)
A．1－ B．0
C．－1 D．
2．將如圖的三角尺的直角頂點放置在直線AB上的點O處，使斜邊CD∥AB，則∠α的余弦值為(　A　)
A． B．
C． D．1
3．計算：
(1)2cos 30°－tan 60°＋sin 45°cos 45°；
(2)(－1)2 025＋2sin 45°－cos 30°＋sin 60°＋tan260°.
解：(1)原式＝2×＝＝.
(2)原式＝－1＋2×＋()2＝－1＋＋3＝2＋.
知識點二　根據特殊角的三角函數值求相應銳角的度數
4．已知α為銳角，且sin(α－10°)＝，則α等于(　A　)
A．70° B．60°
C．50° D．30°
5．在△ABC中，若＋(－cos B)2＝0，∠A，∠B都是銳角，則∠C的度數是(　C　)
A．75° B．90°
C．105° D．120°
6．已知∠A是銳角，填空：
(1)若cos A＝，則∠A＝　60°　；
(2)若2sin A＝1，則∠A＝　30°　；
(3)若tan (A＋15°)＝，則∠A＝　15°　．
知識點三　三角函數的簡單實際應用
7．如圖，小明在公園里放風箏，拿風箏線的手B距離地面的高度AB為1.5 m，風箏飛到C處時的線長BC為30 m，這時測得∠CBD＝60°，求此時風箏距離地面的高度．(結果精確到0.1 m，參考數據：≈1.73)
解：在Rt△BCD中，sin ∠CBD＝，
∴CD＝BC·sin ∠CBD＝30×sin 60°＝15≈25.95(m)，
∴CE＝CD＋AB≈25.95＋1.5＝27.45≈27.5(m)．
答：此時風箏距離地面的高度約是27.5 m．
8．按如圖所示的運算程序，能使輸出的y值為的是(　C　)
A．α＝60°，β＝45° B．α＝30°，β＝45°
C．α＝30°，β＝30° D．α＝45°，β＝30°
解析：A．α＝60°，β＝45°，α＞β，則y＝sin α＝；
B．α＝30°，β＝45°，α＜β，則y＝cos β＝；
C．α＝30°，β＝30°，α＝β，則y＝sin α＝；
D．α＝45°，β＝30°，α＞β，則y＝sin α＝.
9．如圖，在一次龍卷風中，一棵大樹在距離地面若干米處折斷倒下，B為折斷處最高點，樹頂A落在距離樹根C的12 m 處，測得∠BAC＝30°，求BC的長．(結果保留根號)
解：∵BC⊥AC，
∴∠BCA＝90°.
在Rt△ABC中，∵tan ∠BAC＝，
∴BC＝AC·tan ∠BAC＝12×tan 30°＝12×＝4(m)．
10．在Rt△ABC中，已知∠B＝90°，AC＝10，AB＝5，求∠A的度數．
解：在Rt△ABC中，
∵∠B＝90°，AC＝10，AB＝5，
∴cos A＝＝＝，
∴∠A＝45°.
11．如圖，點A是一個半徑為600 m的圓形森林公園的中心，在森林公園附近有B，C兩個村莊，現要在B，C兩個村莊之間修一條長為2 000 m的筆直公路將兩村連通，現測得∠ABC＝45°，∠ACB＝30°.問：此公路是否會穿過該森林公園？請說明理由．(參考數據：≈1.73)
解：此公路不會穿過該森林公園．理由如下：
如圖，過點A作AH⊥BC于點H，則∠AHB＝∠AHC＝90°.
∵∠ABC＝45°，
∴tan ∠ABC＝＝tan 45°＝1，
∴BH＝AH.
∵∠ACB＝30°，
∴tan ∠ACB＝＝tan 30°＝，
∴CH＝AH.
∵BC＝BH＋CH＝2 000 m，
∴AH＋AH＝2 000 m，
∴AH＝1 000(－1)m.
∵1 000(－1)＞600，
∴此公路不會穿過該森林公園．
【創新運用】
12．閱讀材料，解答下列問題：
sin (α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β，
cos (α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β.
例：sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°·cos 45°＋cos 30°·sin 45°＝.
(1)試仿照例題，求出cos 75°的準確值；
(2)我們知道tan α＝，試求出 tan 75° 的準確值；
(3)根據材料及所學知識，請你巧妙地構造一個合適的直角三角形，求出tan 75° 的準確值(要求分母有理化)，并和(2)中的結果進行比較．
解：(1)∵cos (α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β，
∴cos 75°＝cos(30°＋45°)＝cos 30°·cos 45°－sin 30°·sin 45°＝＝.
(2)∵tan α＝，
∴tan 75°＝＝＝2＋.
(3)如圖，tan 75°＝tan∠CBD＝＝＝＋2.
與(2)中的結果相同．
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