資源簡介

課時分層訓練(六)　解直角三角形
知識點一　已知兩邊解直角三角形
1．在Rt△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊．若∠C＝90°，a＝3，b＝3，則∠A＝　30°　，∠B＝　60°　，c＝　6　．
2．在Rt△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊．已知∠C＝90°，a＝19，c＝19，解這個直角三角形．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝19，c＝19，
∴b＝＝19.
∵tan A＝＝1，
∴∠A＝45°，
∴∠B＝90°－∠A＝45°，
∴b＝19，∠A＝∠B＝45°.
知識點二　已知一邊一銳角解直角三角形
3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝10，則△ABC的面積為(　A　)
A．24 B．30
C．40 D．48
解析：∵∠C＝90°，sin A＝，AB＝10，
∴BC＝AB sin A＝10×＝6，
∴AC＝＝＝8，
∴△ABC的面積為＝＝24.
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，根據下面的條件解直角三角形．
(1)b＝10，∠B＝60°；
(2)a＋b＝3＋，∠A＝30°.
解：(1)∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴c＝2a.
∵b＝10，
∴(2a)2＝a2＋102，
解得a1＝，a2＝－(舍去)，
∴c＝.
由上可得∠A＝30°，a＝，c＝.
(2)∵a＋b＝3＋，∠A＝30°，∠C＝90°，
∴c＝2a，b＝3＋－a，∠B＝60°，
∴(2a)2＝a2＋(3＋－a)2，
解得a1＝，a2＝－3－2(舍去)，
∴b＝3，c＝2.
由上可得a＝，b＝3，c＝2，∠B＝60°.
知識點三　解簡單的斜三角形
5．在正方形網格中，∠AOB如圖放置，則sin ∠AOB的值為(　B　)
A． B．
C．1 D．
解析：如圖，連接AD，CD.
設正方形的網格邊長是1，則根據勾股定理可得OD＝AD＝，OC＝AC＝.
在△ODA中，由等腰三角形三線合一，得∠OCD＝90°，則CD＝＝，
∴sin ∠AOB＝＝＝.
6．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，sin B＝.求：
(1)邊BC的長度；
(2)cos A的值．
解：(1)如圖，過點A作AD⊥BC于點D.
∵AB＝AC＝10，∴BC＝2BD.
在Rt△ABD中，sin ∠ABD＝，
∴AD＝AB·sin ∠ABD＝10×＝8，
∴BD＝＝＝6，
∴BC＝2BD＝12.
(2)如圖，過點B作BH⊥AC于點H.
∵S△ABC＝AC·BH＝BC·AD，
∴BH＝＝＝，
∴AH＝＝＝，
∴cos ∠BAH＝＝＝，
即cos A的值為.
知識點四　構造直角三角形求面積
7．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，則這個四邊形的面積是(　C　)
A． B．
C． D．2
8．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夾邊BC的長為6.求△ABC的面積．
解：如圖，過點C作CD⊥AB于點D.
∵∠B＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝45°.
∵BC＝6，
∴CD＝BD＝3.
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°－45°＝30°，
∴tan 30°＝，
∴AD＝3＝，
∴S＝×(3)×3＝9＋3，
∴△ABC的面積是9＋3.
9.如圖，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，則AC的長為(　B　)
A． B．
C． D．2
10．四邊形具有不穩定性，對于四條邊長確定的四邊形，當內角度數發生變化時，其形狀也會隨之改變．如圖，改變邊長為2的正方形ABCD的內角，變為菱形ABC′D′.若∠D′AB＝45°，則陰影部分的面積是(　D　)
A． B．5－5－
C． D．5－2
解析：設BC與C′D′交于點E，則BE⊥C′D′，
∴C′E＝BC′ cos C′.
∵四邊形ABC′D′為菱形，
∴∠C′＝∠D′AB＝45°，
∴C′E＝BC′ cos C′＝2×＝.
同理BE＝BC′ sin C′＝，
∴D′E＝2－，
∴梯形D′EBA的面積S′＝(D′E＋AB)·BE＝2－1，
∴陰影部分的面積S＝S正方形ABCD－S′＝2×2－(2－1)＝5－2.
11．我們給出定義：如果兩個銳角的和為45°，那么稱這兩個角互為半余角．如圖，在△ABC中，∠A，∠B互為半余角，且＝，則tan A＝　　．
解析：如圖，過點B作BD⊥AC，交AC的延長線于點D.
∵＝，
∴設BC＝2a，AC＝3a.
∵∠A，∠B互為半余角，
∴∠A＋∠B＝45°，
∴∠DCB＝∠A＋∠B＝45°.
在Rt△CDB中，BD＝BC·sin 45°＝2a ＝2a，CD＝BC·cos 45°＝2a ＝2a.
∵AC＝3a，∴AD＝AC＋CD＝3a＋2a＝5a.
在Rt△ABD中，tan A＝＝＝.
12．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，tan A＝2cos ∠BCD.
(1)求證：BC＝2AD；
(2)若cos B＝，AB＝10，求△ABC的面積．
(1)證明：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°.
在Rt△ACD中，tan A＝.
在Rt△CDB中，cos ∠BCD＝.
∵tan A＝2cos ∠BCD，
∴＝，
∴BC＝2AD.
(2)解：在Rt△CDB中，cos B＝＝.
∵BC＝2AD，∴＝.
∵AB＝10，
∴BD＝AB＝6，
∴BC＝＝＝8，
∴CD＝＝＝2，
∴△ABC的面積為AB·CD＝×10×2＝10，
∴△ABC的面積為10.
【創新運用】
13．[引入]在直角三角形中，已知任意兩邊長就能求出第三邊，也可以已知一邊和一個銳角，利用直角三角形中已知銳角的大小得出三邊的比例關系，求出剩余兩邊的大小，這類內容稱為解直角三角形．
(1)如圖，在圖1中，三邊a∶b∶c＝　1∶∶2　，在圖2中，三邊a∶b∶c＝　1∶1∶　．
[探究]
(2)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，求△ABC的三條邊長之比．
[應用]
(3)如圖4，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝120°，CD＝2，BC＝3，求四邊形ABCD的面積．
　　
圖1　　　　　　　圖2
　
圖3　　　　　　　圖4
解：(2)如圖1，過點A作AD⊥BC于點D.
圖1
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴BD＝AB，
∴BC＝AB，
∴△ABC的三條邊長之比1∶1∶.
(3)如圖2，延長AD，BC交于點E.
　圖2
∵∠B＝∠ADC＝90°，
∠BCD＝120°，
∴∠A＝60°，
∴∠E＝30°，
∴EC＝2CD＝4，
∴DE＝2，BE＝BC＋CE＝7，
∴AB＝BE＝，
∴四邊形ABCD的面積為
S△EAB－S△EDC＝×7－×2×2＝.
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