資源簡介

課時分層訓練(七)　三角函數的應用
知識點一　仰角、俯角
1．從一艘船上測得海岸上高為42 m的燈塔頂部的仰角為30°時，船離燈塔的水平距離是(　A　)
A．42 m B．14 m
C．21 m D．42 m
2．如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟高樓頂部B的仰角為30°，看這棟高樓底部C的俯角為60°，熱氣球A與高樓的水平距離為120 m，這棟高樓BC的高度為(　D　)
A．40 m B．80 m
C．120 m D．160 m
知識點二　方向角
3．如圖，小明在一條東西走向公路的O處測得圖書館A在他的北偏東60°方向，且與他相距200 m，則圖書館A到公路的距離AB為(　A　)
A．100 m B．100 m
C．100 m D． m
4．如圖，一艘船由A港沿北偏東65°方向航行30 km至B港，然后沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏東20°方向，則A，C兩港之間的距離為(　B　)
A．(30＋30)km
B．(30＋10)km
C．(10＋30)km
D．30 km
解析：根據題意，得∠CAB＝65°－20°＝45°，∠ACB＝40°＋20°＝60°，AB＝30 km.
如圖，過點B作BE⊥AC于點E.
∴∠AEB＝∠CEB＝90°.
在Rt△ABE中，∠ABE＝45°，
AB＝30 km，
∴AE＝BE＝AB＝30 km.
在Rt△CBE中，∠ACB＝60°，
∴CE＝BE＝10 km，
∴AC＝AE＋CE＝(30＋10)km，
∴A，C兩港之間的距離為(30＋10)km.
知識點三　解直角三角形的應用
5．如圖，AB是伸縮式的遮陽棚，CD是窗戶，要想在夏至的正午時刻陽光剛好不能射入窗戶，則AB的長度是　　m.(假設夏至的正午時刻陽光與地平面的夾角為60°)
6．如圖是矗立在高速公路邊水平地面上的交通警示牌，經過測量得到如下數據：AM＝4 m，AB＝8 m，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，則CD的長為　(4－4)　m.(結果保留根號)
知識點四　坡度(坡比)
7．小明去爬山，在山腳測得山頂的仰角為30°，他在坡比為5∶12的山坡上走了1 300 m，此時測得山頂的仰角為60°，則山的高度為(　B　)
A．(600－250)m
B．(600－250)m
C．(350＋350)m
D．500 m
8．如圖，在外力的作用下，一個滑塊沿坡比i＝1∶3的斜坡向上移動了10 m．此時滑塊上升的高度是(　A　)
A． m B． m
C．3 m D．10 m
9．如圖是某橋簡圖．已知主塔AB垂直橋面BC于點B，其中兩條斜拉索AD，AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點D，C之間的距離約為33 m，求主塔AB的高度．(結果保留整數，參考數據：≈1.41，≈1.73)
解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，
tan∠ADB＝，
∴BD＝＝.
在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan C＝，
∴BC＝＝AB.
∵BC－BD＝CD＝33 m，
∴AB－＝33，
∴AB＝≈78(m)，
∴主塔AB的高約為78 m．
10．如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高CD＝20 m，背水坡BC的坡比i1＝1∶1.為了對水庫大壩進行升級加固，降低背水坡的傾斜程度，設計人員準備把背水坡的坡比改為i2＝1∶，求背水坡新起點A與原起點B之間的距離．(結果精確到0.1 m，參考數據：≈1.41，≈1.73)
解：在Rt△BCD中，
∵BC的坡比i1＝1∶1，
∴＝1，
∴BD＝CD＝20 m.
在Rt△ACD中，
∵AC的坡比i2＝1∶，
∴＝，
∴AD＝CD＝20 m，
∴AB＝AD－BD＝20－20≈14.6(m)，
∴背水坡新起點A與原起點B之間的距離約為14.6 m．
11．小明學了解直角三角形的內容后，對一條東西走向的隧道AB進行實地測量．如圖所示，他在地面上點C處測得隧道一端點A在他的北偏東15°方向上，他沿西北方向前進100 m后到達點D，此時測得點A在他的東北方向上，點B在他的北偏西60°方向上(點A，B，C，D在同一平面內)．求：
(1)點D與點A之間的距離；
(2)隧道AB的長度．(結果保留根號)
解：(1)由題意可知∠ACD＝15°＋45°＝60°，∠ADC＝180°－45°－45°＝90°.
在Rt△ADC中，
AD＝DC·tan ∠ACD＝100×tan 60°＝100＝300(m)，
∴點D與點A之間的距離為300 m.
(2)如圖，過點D作DE⊥AB于點E.
∵AB是東西走向，
∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°.
在Rt△ADE中，
DE＝AE＝AD·sin ∠ADE＝300×sin 45°＝300×＝150(m)．
在Rt△BDE中，
BE＝DE·tan ∠BDE＝150×tan 60°＝150＝150(m)，
∴AB＝AE＋BE＝(150＋150)m，
∴隧道AB的長為(150＋150)m.
12．為了測量高速公路某橋的橋墩高度，某數學興趣小組在同一水平地面C，D兩處實地測量．如圖所示，在C處測得橋墩頂部A處的仰角為60°、橋墩底部B處的俯角為40°，在D處測得橋墩頂部A處的仰角為30°，測得C，D兩點之間的距離為80 m，直線AB，CD在同一平面內，請你用以上數據，計算橋墩AB的高度．(結果保留整數，參考數據：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，≈1.73)
解：如圖，延長DC交AB于點E，則DE⊥AB.
設CE＝x m，
在Rt△AEC中，∠ACE＝60°，
∴AE＝EC·tan 60°＝x m.
在Rt△BEC中，∠BCE＝40°，
∴BE＝EC·tan 40°≈0.84x m.
在Rt△AED中，∠D＝30°，
∴DE＝＝＝3x(m)．
∵CD＝80 m，DE－CE＝CD，
∴3x－x＝80，
∴x＝40，
∴AB＝AE＋BE≈40×(1.73＋0.84)＝102.8≈103(m)，
∴橋墩AB的高度約為103 m．
【創新運用】
13．某市政府為實現5G網絡全覆蓋，擬加快建設5G基站．如圖，在斜坡CB上有一建成的基站塔AB，斜坡CB的坡比為1∶2.4.小芳在坡腳C處測得塔頂A的仰角為45°，然后她沿坡面CB行走了13 m到達D處，在D處測得塔頂A的仰角為53°.(點A，B，C，D均在同一平面內，AB與地平線垂直．參考數據：sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈)
(1)求D處的豎直高度；
(2)求基站塔AB的高．
解：(1)如圖，過點C，D分別作AB的垂線，交AB的延長線于點E，F，過點D作DM⊥CE，垂足為點M.
∵斜坡CB的坡比為1∶2.4，
∴＝，即＝.
設DM＝5k m，則CM＝12k m.
在Rt△CDM中，CD＝13 m，
由勾股定理，得DM2＋CM2＝CD2，
即(5k)2＋(12k)2＝132，
解得k＝1(負值舍去)，
∴DM＝5 m，CM＝12 m，
∴D處的豎直高度為5 m.
(2)設DF＝12a m，則ME＝12a m，BF＝5a m.
∵∠ACE＝45°，∴∠CAE＝∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝(12＋12a)m，
∴AF＝AE－EF＝AE－DM＝12＋12a－5＝(7＋12a)m.
在Rt△ADF中，DF＝12a m，AF＝(7＋12a)m，∠ADF＝53°，
∴tan ∠ADF＝＝＝，
解得a＝，
∴AF＝7＋12a＝7＋12×＝28(m)，BF＝5a＝5×＝(m)，
∴AB＝AF－BF＝28－＝(m)，
∴基站塔AB的高為 m．
1 / 1

展開更多......

收起↑