資源簡介

課時分層訓練(八)　利用三角函數測高
知識點一　測量傾斜角
1．如圖，在綜合實踐活動中，小明在學校門口的點C處測得樹的頂端A的仰角為37°，同時測得BC＝20 m，則樹的高AB為(　A　)
A．20tan 37° m B． m
C． m D．20sin 37° m
2．如圖，圖1、圖2分別表示用測傾器測量觀測目標P的仰角和俯角，鉛垂線所指的度數分別為α，β，那么我們就說觀察目標P的仰角為α，俯角為β，這種說法對嗎？請說明原因．
圖1　　　　　　　　圖2
解：對．原因如下：
如題圖1，∵BA為水平線，AC為鉛垂線，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋α＝90°.
∵∠PAB＋∠BAD＝90°，
∴∠PAB＝α.
如題圖2，∵AP⊥AD，
∴β＋∠CAP＝90°.
∵∠PAB＋∠CAP＝90°，
∴∠PAB＝β.
綜上可得，α，β就是觀察目標P時的仰角和俯角，題干說法正確．
知識點二　測量底部可以到達的物體的高度
3．如圖，數學活動小組利用測角儀和皮尺測量學校旗桿的高度，在點D處測得旗桿頂端A的仰角∠ADE為55°，測角儀CD的高度為1 m，其底端C與旗桿底端B之間的距離為6 m，設旗桿AB的高度為x m，則下列表達式正確的是(　B　)
A．tan 55°＝
B．tan 55°＝
C．sin 55°＝
D．cos 55°＝
4．如圖，在距離鐵塔200 m的A處，用測傾儀測得塔頂的仰角為α，測傾儀AD的高為 1.5 m，則鐵塔BC的高為(　C　)
A．(1.5＋200sin α)m
B．(1.5＋200cos α)m
C．(1.5＋200tan α)m
D．m
5．如圖，小王在高臺上的點A處測得塔底點C的俯角為α，塔頂點D的仰角為β，已知該高臺與塔的水平距離AB＝a，則此時塔高CD的長為(　B　)
A．asin α＋asin β　 B．atan α＋atan β
C．　 D．
知識點三　測量底部不可以到達的物體的高度
6．如圖，已知點B，D，C在同一條直線上，在點C處測得建筑物AB的頂端A的仰角為α，在點D處測得建筑物AB的頂端A的仰角為β，CD＝a，則建筑物AB的高度為(　D　)
A． B．
C． D．
解析：設AB＝x.
由題意，得∠ACB＝α，∠ADB＝β，
∴BD＝，BC＝.
∵CD＝BC－BD，
∴＝a，
∴x＝，即AB＝.
7．如圖，學校環保小組成員想測量斜坡CD旁一棵樹AB的高度，他們
先在點C處測得樹頂B的仰角為60°，然后在坡頂D處測得樹頂B的仰角為30°，已知斜坡CD的長度為20 m，DE的長為10 m，則樹AB的高度是(　B　)
A．20 m B．30 m
C．30 m D．40 m
解析：在Rt△CDE中，
∵CD＝20 m，DE＝10 m，
∴sin ∠DCE＝＝，
∴∠DCE＝30°.
∵∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝30°，∠BCD＝90°.
∵DF∥AE，
∴∠CDF＝30°.
∴∠BDC＝60°，
∴BC＝CD·tan 60°＝20 m，
∴AB＝BC·sin 60°＝20＝30(m)．
8．某數學興趣小組去測量一座小山的高度，在小山頂上有一高度為20 m的發射塔AB，如圖所示．在山腳平地上的D處測得塔底B的仰角為30°，向小山前進80 m到達點E處，測得塔頂A的仰角為60°，求小山BC的高度．
解：設BC為x m，則AC＝(20＋x)m，
由條件知∠DBC＝∠AEC＝60°，DE＝80 m.
在Rt△DBC中，tan 60°＝＝，
則DC＝x m，
∴CE＝(x－80)m.
在Rt△ACE中，tan 60°＝＝＝，
解得x＝10＋40，
∴小山BC的高度為(10＋40)m.
9．如圖是一種太陽能路燈的簡圖，它由燈桿和燈管支架兩部分構成，AB是燈桿，CD是燈管支架，燈管支架CD與燈桿間的夾角∠BDC＝60°.綜合實踐小組的同學想知道燈管支架CD的長度，他們在地面的點E處測得燈管支架底部D的仰角為60°，在點F處測得燈管支架頂部C的仰角為30°，測得AE＝3 m，EF＝9 m(點A，E，F在同一條直線上)．求燈管支架CD的長度．
解：如圖，延長FC交AB于點G.
在Rt△ADE中，tan ∠AED＝＝tan 60°＝，
∴AD＝AE＝3 m.
∵AE＝3 m，EF＝9 m，
∴AF＝AE＋EF＝12 m.
在Rt△AFG中，tan F＝＝tan 30°＝，
∴AG＝4 m.
∵∠A＝90°，∠F＝30°，
∴∠AGF＝60°，
∴∠BDC＝∠AGF＝60°，
∴△DGC是等邊三角形，
∴CD＝DG＝AG－AD＝4－3
＝(m)，
即燈管支架CD的長度為 m．
10．如圖，在數學綜合實踐活動課上，兩名同學要測量小河對岸大樹BC的高度，甲同學在點A處測得大樹頂端B的仰角為45°，乙同學從點A出發沿斜坡走6 m到達斜坡上點D處，在此處測得樹頂端點B的仰角為26.7°，且斜坡AF的坡比為1∶2.
(1)求乙同學從點A到點D的過程中上升的高度；
(2)依據他們測量的數據求出大樹BC的高度．(參考數據：sin 26.7°≈0.45，cos 26.7°≈0.89，tan 26.7°≈0.50)
解：(1)如圖，過點D作DH⊥AE于點H.
在Rt△ADH中，＝，
∴AH＝2DH.
∵AH2＋DH2＝AD2，
∴(2DH)2＋DH2＝(6)2，
∴DH＝6 m，
∴乙同學從點A到點D的過程中上升的高度為6 m.
(2)如圖，過點D作DG⊥BC于點G，設BC＝x m．
在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，
∴AC＝BC＝x m.
由(1)，得AH＝2DH＝12m.
在矩形DGCH中，CG＝DH＝6 m，DG＝CH＝AC＋AH＝(x＋12)m.
在Rt△BDG中，BG＝BC－CG＝BC－DH＝(x－6)m.
∵tan ∠BDG＝，
∴≈0.50，
解得x≈24，
∴大樹BC的高度約為24 m．
【創新運用】
11．小宇與小航準備測量某塔的高度，如圖，小宇在點A處觀測到該塔最高點P的仰角為45°，再沿正對該塔的方向前進10 m，在B處測得最高點P的仰角為60°.小航先在點C處豎立長為2.6 m 的標桿FC，再后退至其眼睛點D、標桿頂端F、最高點P在同一條直線上的位置處，此時測得最高點P的仰角為30°，已知兩人身高均為 1.6 m.(頭頂到眼睛的距離忽略不計)
(1)求該塔PQ的高度．(結果保留一位小數)
(2)測量結束時小宇站在點E處(點E在點B的正下方)，小航站在點C處，兩人相約在塔底見面，小宇的速度為1.5 m/s，小航速度是其2倍，誰先到達塔底？請說明理由．(參考數據：≈1.732)
解：(1)如圖，設PQ與AD相交于點G.
由題意，得AB＝10 m，BE＝GQ＝1.6 m.
設BG＝x m，∴AG＝AB＋BG＝(x＋10)m.
在Rt△BPG中，∠PBG＝60°，
∴PG＝BG·tan 60°＝x m．
在Rt△APG中，∠PAG＝45°，
∴tan 45°＝＝1，
∴PG＝AG，
∴x＝x＋10，
∴x＝5＋5，
∴PG＝x＝(15＋5)m，
∴PQ＝PG＋GQ＝15＋5＋1.6≈25.3(m)，
∴該塔PQ的高度約為25.3 m.
(2)小宇先到達塔底．理由如下：
設FC與AD相交于點H.
由題意，得CH＝BE＝1.6 m.
∵FC＝2.6 m，
∴FH＝FC－CH＝1 m.
在Rt△PGD中，PG＝(15＋5)m，∠PDG＝30°，
∴DG＝PG＝(15＋15)m.
在Rt△DFH中，DH＝FH＝ m，
∴GH＝DG－DH＝(14＋15)m.
∵小宇的速度為1.5 m/s，小航速度是其2倍，
∴小航的速度為3 m/s，
∴＝≈9.1(s)，
＝≈13.1(s)．
∵9.1＜13.1，
∴小宇先到達塔底．
1 / 1

展開更多......

收起↑