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第二章成果展示　直角三角形的邊角關系
(時間：120分鐘　滿分：120分)
第Ⅰ卷(選擇題　共40分)
一、選擇題(本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)
1．在Rt△ABC中，若各邊長度都擴大為原來的2倍，則銳角∠A的余弦值的變化情況是(　C　)
A．縮小為原來的
B．擴大為原來的2倍
C．沒有變化
D．不能確定
解析：設在Rt△ABC中∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且∠C＝90°，則cos A＝，若把各邊擴大為原來的2倍，則各邊為2a，2b，2c，且由三角形相似，可知△ABC仍是直角三角形，那么cos A＝＝，所以∠A的余弦值不變．
2．如圖，梯子跟地面的夾角為α，關于α的三角函數值與梯子的傾斜程度之間的關系，下列敘述正確的是(　B　)
A．sin α的值越小，梯子越陡
B．cos α的值越小，梯子越陡
C．tan α的值越小，梯子越陡
D．陡緩程度與α的函數值無關
第2題圖　　　　　　　第3題圖
3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AB＝10，則AC的長是(　B　)
A．3 B．6
C．9 D．12
4．若0°＜α＜90°，則下列說法不正確的是(　B　)
A．sin α隨α的增大而增大
B．cos α隨α的減小而減小
C．tan α隨α的增大而增大
D．sin α＝cos (90°－α)
5．利用我們數學課本上的計算器計算sin 52°，正確的按鍵順序是(　D　)
A．
B．
C．
D．
6．爬坡時坡面與水平面的夾角為α，則每爬1 m耗能(1.025－cos α)J.若某人爬了1 000 m，該坡角為30°(如圖)，則他耗能(參考數據：≈1.732)(　B　)
A．58 J B．159 J
C．1 025 J D．1 732 J
解析：由題意，得耗能為1 000×(1.025－cos 30°)＝1 000×(1.025－)≈159(J)．
7．如圖，在6×7的網格中，每個小正方形的邊長均為1.若點A，B，C都在格點上，則sin B的值為(　A　)
A． B．
C． D．
解析：如圖，連接格點A，D.
∵AB2＝52＋12＝26，AD2＝22＋22＝8，BD2＝32＋32＝18，
∴AB2＝AD2＋BD2，∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°.
∵AD＝2，AB＝，
∴sin B＝＝＝.
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，則Rt△ABC的三邊a，b，c的比為(　A　)
A．2∶∶3 B．1∶∶
C．1∶2∶3 D．2∶∶
9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cos A＝，則BD的長度為(　C　)
A． B．
C． D．4
10．小明想測量一棵樹的高度，他發現樹的影子恰好落在地面和一斜坡上，如圖．此時測得地面上的影長為 8 m，坡面上的影長為4 m，已知斜坡的坡角為30°.同一時刻，一根長為1 m且垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2 m，則樹的高度為(　A　)
A．(6＋)m B．12 m
C．(4－2)m D．10 m
第Ⅱ卷(非選擇題　共80分)
二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)
11．銳角A滿足3tan A＝，則∠A＝　30°　．(填度數)
12．如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡的坡角為α，sin α＝，堤壩高BC＝30 m，則迎水坡面AB的長度為　50　m.
13．如圖，以點O為圓心、任意長為半徑畫弧，與射線OA交于點B，再以點B為圓心、BO的長為半徑畫弧，兩弧交于點C，畫射線OC，則sin ∠AOC的值為　　．
解析：如圖，連接BC.
由題意可得OB＝OC＝BC，則△OBC是等邊三角形，故sin ∠AOC＝sin 60°＝.
14．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3.若cos A＝，則BC的長為　4　．
15．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC.若AD＝1，CD＝3，則sin ∠ABD＝　　．
16．定義一種運算：
sin (α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β，
sin (α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β．
例如，當α＝45°，β＝30°時，sin(45°＋30°)＝＝，則sin 15°的值為　　．
三、解答題(本大題共6個小題，共56分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(6分)計算：
(1)2sin 30°－3cos 60°；
(2)sin245°＋cos230°－tan260°.
解：(1)原式＝2×－3×＝－.
(2)原式＝＋－()2＝－3＝－.
18．(8分)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin A＝，求BC的長和∠B的正切值．
解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，sin A＝，
∴BC＝AB·sin A＝8.
由勾股定理，得AC＝＝＝6，
∴tan B＝＝＝.
19．(10分)為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩．如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面坡比i＝3∶4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比．已知斜坡CD的長為20 m，∠C＝18°，求斜坡AB的長．(結果精確到0.1 m，參考數據：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
解：如圖，過點D作DE⊥BC，垂足為點E.
由題意，得AF⊥BC，DE＝AF.
∵斜面AB的坡比i＝3∶4，
∴＝.
設AF＝3x m，則BF＝4x m.
在Rt△ABF中，AB＝＝＝5x(m)．
在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20 m，
∴DE＝CD·sin 18°≈20×0.31＝6.2(m)，
∴AF＝DE＝6.2 m，
∴3x＝6.2，解得x＝，
∴AB＝5x＝≈10.3(m)，
∴斜坡AB的長約為10.3 m．
20．(10分)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝2，∠A＝∠C＝60°，DB⊥AB于點B，∠DBC＝45°，求BC的長．
解：如圖，過點D作DE⊥BC于點E.
∵DB⊥AB，AB＝2，
∠A＝60°，
∴BD＝AB·tan 60°＝2.
∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴BE＝DE＝BD·sin 45°＝.
∵∠C＝∠A＝60°，∠DEC＝90°，
∴CE＝＝，
∴BC＝CE＋BE＝.
21．(10分)如圖，根據圖中數據完成填空，再按要求答題：
(1)sin2A1＋sin2B1＝　1　；＝　1　；sin2A3＋sin2B3＝　1　．
觀察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，都有sin2A＋sin2B＝　1　．
(2)如圖4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，利用三角函數的定義和勾股定理，證明你的猜想．
(3)已知∠A＋∠B＝90°，且sin A＝，求sin B的值．
解：(1)由題圖可知sin2A1＋sin2B1＝()2＋()2＝1，sin2A2＋sin2B2＝()2＋()2＝1，sin2A3＋sin2B3＝()2＋()2＝1，觀察上述等式可猜想：sin2A＋sin2B＝1.
故答案為1；1；1；1.
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°.
∵sinA＝，sin B＝，
∴sin2A＋sin2B＝.
∵∠C＝90°，
∴a2＋b2＝c2，
∴sin2A＋sin2B＝1.
(3)∵sinA＝，sin2A＋sin2B＝1，
∴sinB＝＝.
22．(12分)如圖是處于工作狀態的某型號手臂機器人的示意圖，OA是垂直于工作臺的移動基座，AB，BC為機械臂，OA＝1 m，AB＝5 m，BC＝2 m，∠ABC＝143°.機械臂端點C到工作臺的距離CD＝6 m．求：
(1)A，C兩點之間的距離；
(2)OD的長．
(結果精確到0.1 m，參考數據：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈2.24)
解：(1)如圖，過點A作AE⊥CB，垂足為點E.
∵∠ABC＝143°，
∴∠ABE＝37°.
在Rt△ABE中，
∵AB＝5 m，∠ABE＝37°，
sin ∠ABE＝，cos ∠ABE＝，
∴≈0.60，≈0.80，
∴AE≈3 m，BE≈4 m，
∴CE＝BC＋BE≈6 m.
在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC≈＝3≈6.7(m)．
∴A，C兩點之間的距離約為6.7 m.
(2)如圖，過點A作AF⊥CD，垂足為點F，
∴FD＝OA＝1 m，
∴CF＝CD－FD＝5 m.
在Rt△ACF中，由勾股定理，得AF＝＝2(m)．
∴OD＝AF＝2≈4.5(m)．
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