資源簡介

綜合質量評價(一)
(時間：120分鐘　滿分：150分)
第Ⅰ卷(選擇題　共48分)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)
1．若反比例函數y＝的圖象經過點(3，－5)，則它的圖象一定還經過點(　D　)
A．(3，5) B．(－1，16)
C．(－3，－5) D．(－15，1)
解析：由題意，得k－1＝3×(－5)＝－15.∵－15×1＝－15，∴反比例函數y＝一定還經過點(－15，1)．
2．如圖，雙曲線y＝的一個分支為(　D　)
A．① B．②
C．③ D．④
3．已知矩形的面積是40 m2，設它的一條邊長為x(m)，則矩形的另一條邊長y(m)關于x(m)的函數表達式是(　C　)
A．y＝20－x B．y＝40x
C．y＝ D．y＝
4．已知實數a＝tan 30°，b＝sin 45°，c＝cos 60°，則下列說法正確的是(　A　)
A．b＞a＞c B．a＞b＞c
C．b＞c＞a D．a＞c＞b
解析：a＝tan 30°＝，b＝sin 45°＝，c＝cos 60°＝.∵＜＜，∴b＞a＞c.
5．已知反比例函數y＝－，下列說法中錯誤的是(　D　)
A．圖象經過點(1，－4)
B．圖象位于第二、四象限
C．圖象關于直線y＝x對稱
D．y隨x的增大而增大
解析：∵在反比例函數y＝－中，k＝－4＜0，∴圖象在第二、四象限內，故B選項正確，不符合題意．∵－4×1＝－4，∴圖象必經過點(1，－4)，故A選項正確，不符合題意．圖象關于直線y＝x對稱，故C選項正確，不符合題意．∵在反比例函數y＝－中，k＝－4＜0，∴在每個象限內，y隨x的增大而增大，故D選項錯誤，符合題意．
6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，cos A＝，則AC的長為(　A　)
A．5 B．8
C．12 D．13
7．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，BC＝10.若用科學計算器求邊AC的長，則下列按鍵順序正確的是(　D　)
8．河堤橫斷面如圖所示，斜坡AB的坡比為1∶，AB＝6 m，則BC的長是(　B　)
A． m B．3 m
C．3 m D．6 m
9．如圖，某貨船以24 n mile/h的速度從A處向正東方向的D處航行，在點A處測得某島C在北偏東60°的方向上．該貨船航行30 min后到達B處，此時測得該島在北偏東30°的方向上，則貨船在航行中離小島C的最短距離是(　B　)
A．12 n mile B．6 n mile
C．12 n mile D．24 n mile
10．如圖，滿足函數y＝k(x－1)和y＝(k≠0)的大致圖象是(　B　)
A．①② B．②③
C．②④ D．①④
解析：∵y＝k(x－1)，∴函數y＝k(x－1)過點(1，0)，故①④不合題意．當k＞0時，函數y＝k(x－1)過第一、三、四象限，函數y＝(k≠0)在第一、三象限；當k＜0時，函數y＝k(x－1)過第一、二、四象限，函數y＝(k≠0)在第二、四象限，故②③符合題意．
11．若直線y＝kx＋4與函數y＝的圖象有且只有一個公共點，則k的值為(　B　)
A．2 B．－2
C．－1 D．±2
12．如圖，在平面直角坐標系中有菱形OABC，點A的坐標為(5，0)，對角線OB，AC相交于點D，雙曲線 y＝(x＞0)經過AB的中點F，交BC于點E，且OB·AC＝40.有下列四個結論：
①雙曲線的表達式為y＝(x＞0)；②直線OE的表達式為y＝x；③tan ∠CAO＝；④AC＋OB＝6.
其中，正確的結論有(　D　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
第Ⅱ卷(非選擇題　共102分)
二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)
13．若反比例函數y＝的圖象不經過第二象限，則k的取值范圍是　k＞0　．
14．已知在△ABC中，AB＝13，AC＝12，∠C＝90°，則sin A＝　　.
15．如圖，面積為6的矩形OABC的頂點B在反比例函數y＝(x＜0)的圖象上，則k＝　－6　．
16．已知函數y＝16x與y＝的圖象有一個交點坐標是，則另一個交點坐標是　　．
17．如圖，為了測量樓CD的高度，小明在A處仰望樓頂，測得仰角為30°，再往該樓的方向前進60 m至B處，測得仰角為60°，那么此樓的高度是　30　m．(小明的身高忽略不計，結果保留根號)
18．如圖，已知第一象限內的點A在反比例函數y＝的圖象上，第二象限的點B在反比例函數y＝的圖象上，且OA⊥OB，＝，則k的值為　－　．
三、解答題(本大題共8個小題，共78分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
19．(6分)計算：
(1)3tan 30°＋4cos 45°－2sin 60°；
(2)sin 60°－cos 30°＋tan 45°.
解：(1)原式＝3×＋4×－2×
＝2.
(2)原式＝＋1＝1.
20．(8分)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在邊BC上，∠ADC＝45°，BD＝3，tan B＝，求BC的長．
解：∵tan B＝，∴＝.
設AC＝4x，BC＝5x.
∵BD＝3，
∴CD＝BC－BD＝5x－3.
∵∠ADC＝45°，∴∠DAC＝45°，
∴CD＝CA，∴5x－3＝4x，
解得x＝3，
∴BC＝15.
21．(8分)已知直線y＝mx與反比例函數y＝的圖象相交于A，B兩點，且點A的坐標為(－2，3)．
(1)求常數m，k的值；
(2)寫出點B的坐標．
解：(1)把點A的坐標(－2，3)分別代入直線y＝mx與反比例函數y＝，
得3＝－2m，k＝－2×3＝－6，
∴m＝－，k＝－6.
(2)根據正比例函數、反比例函數的對稱性可得，點A與點B關于原點對稱，
∴點B的坐標為(2，－3)．
22．(12分)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y1＝kx＋b(k≠0)的圖象與反比例函數y2＝(m≠0)的圖象相交于第一、三象限內的A(3，5)，B(a，－3)兩點，與x軸交于點C．
(1)求該反比例函數和一次函數的表達式；
(2)直接寫出當y1＞y2時，x的取值范圍；
(3)在y軸上找一點P，使PB－PC最大，求PB－PC的最大值及點P的坐標．
解：(1)把A(3，5)代入y2＝(m≠0)，
可得m＝3×5＝15，
∴反比例函數的表達式為y2＝.
把B(a，－3)代入y2＝，可得a＝－5，
∴B(－5，－3)．
把A(3，5)，B(－5，－3)代入y1＝kx＋b，
得解得
∴一次函數的表達式為y1＝x＋2.
(2)當y1＞y2時，x的取值范圍為－5＜x＜0或x＞3.
(3)一次函數的表達式為y1＝x＋2，令x＝0，得y1＝2，
∴一次函數與y軸的交點為P(0，2)，
此時，PB－PC＝BC最大，點P即為所求．
令y1＝0，得x＝－2，∴C(－2，0)，
∴PB－PC＝BC＝＝3.
23．(10分)如圖，湖邊A，B兩點由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連．為了計算A，B兩點之間的距離，經測量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80 m．求A，B兩點之間的距離．(參考數據：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)
解：如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為點D.
在Rt△ACD中，
∵∠DAC＝37°，AC＝80 m，
∴sin ∠DAC＝，cos ∠DAC＝，
∴CD＝AC·sin 37°≈80×0.60＝48(m)，
AD＝AC·cos 37°≈80×0.80＝64(m)．
在Rt△BCD中，
∵∠CBD＝58°，CD＝48 m，
∴tan ∠CBD＝，
∴BD＝≈＝30(m)，
∴AB＝AD＋BD＝64＋30＝94(m)，
∴A，B兩點之間的距離約為94 m．
24．(10分)某人乘車從A地去B地．如圖，B地在A地的正北方向，且距離A地 9 km，但A，B兩地之間道路維修無法通過．按導航指示，車輛沿正西方向行駛至C地，再沿北偏東26°方向行駛到達B地，求車輛繞行之后比沿AB段多行駛多少千米．(結果精確到0.1 km，參考數據sin 26°≈0.44，cos 26°≈0.90，tan 26°≈0.49)
解：根據題意，得∠B＝26°，AB＝9 km.
在Rt△ABC中，tan B＝，cos B＝，
∴AC＝AB·tan B≈9×0.49＝4.41(km)，
BC＝≈＝10(km)，
∴AC＋BC－AB＝4.41＋10－9＝5.41≈5.4(km).
故車輛繞行之后比沿AB段多行駛 5.4 km.
25．(12分)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx＋b(k≠0)與反比例函數y＝(m≠0)的圖象相交于A，B兩點，過點A作AD⊥x軸于點D，AO＝5，OD∶AD＝3∶4，點B的坐標為(－6，n)．
(1)求一次函數和反比例函數的表達式；
(2)求△AOB的面積；
(3)點P是y軸上一點，且△AOP是等腰三角形，請寫出所有符合條件的點P的坐標．
解：(1)在Rt△AOD中，
∵AO＝5，OD∶AD＝3∶4，
∴設OD＝3a，AD＝4a，
則AO＝5a＝5，解得a＝1，
故A(3，4)，則m＝3×4＝12，
∴反比例函數的表達式為y＝.
故B(－6，－2)．
將點A，B的坐標代入y＝kx＋b，
得
解得
∴一次函數的表達式為y＝x＋2.
(2)易知一次函數交y軸于點M(0，2)，
S△AOB＝OM·(xA－xB)＝×2×(3＋6)＝9.
(3)設P(0，m)，而點A，O的坐標分別為(3，4)，(0，0)，
AP2＝9＋(m－4)2，AO2＝25，PO2＝m2.
當AP＝AO時，9＋(m－4)2＝25，
解得m＝8或m＝0(舍去)；
當AO＝PO時，同理可得m＝±5；
當AP＝PO時，同理可得m＝.
綜上，點P的坐標為(0，8)或(0，5)或(0，－5)或.
26．(12分)在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分別以OB，OA所在直線為x軸、y軸，建立如圖1所示的平面直角坐標系．F是邊BC上的一個動點(不與點B，C重合)，過點F的反比例函數y＝(k＞0)的圖象與邊AC交于點E.
(1)當點F運動到邊BC的中點時，點E的坐標為　(2，3)　；
(2)連接EF，求∠EFC的正切值；
(3)如圖2，將△CEF沿EF折疊，點C恰好落在邊OB上的點G處，求BG的長度．
圖1　　　　　　　　　　　圖2
解：(1)∵OB＝4，OA＝3，
∴點A，B，C的坐標分別為(0，3)，(4，0)，(4，3)，
∴點F運動到邊BC的中點時，坐標為.
將點F的坐標代入y＝，解得k＝6.
故反比例函數的表達式為y＝.
當y＝3時，x＝＝2，∴E(2，3)．
故答案為(2，3)．
(2)∵點F的橫坐標為4，點F在反比例函數圖象上，
∴F，
∴CF＝BC－BF＝3－＝(0＜k＜12)．
∵點E的縱坐標為3，
∴E，
∴CE＝AC－AE＝4－＝(0＜k＜12)．
在Rt△CEF中，tan ∠EFC＝＝.
(3)如圖，過點E作EH⊥OB于點H.
由(2)知，CF＝，CE＝＝，
∴EH＝OA＝3，∠EHG＝∠GBF＝90°，
∴∠EGH＋∠HEG＝90°.
由折疊知，EG＝CE，FG＝CF，∠EGF＝∠C＝90°，
∴∠EGH＋∠BGF＝90°，
∴∠HEG＝∠BGF，
∴△EHG∽△GBF，
∴ ＝＝，
∴ ＝，解得BG＝.
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