資源簡介

課時分層訓練(十)　二次函數
知識點一　二次函數的定義
1．下列函數關系中，y是x的二次函數的是(　C　)
A．y＝ax2＋bx＋c
B．y＝
C．y＝50＋x2
D．y＝(x＋2)(x－3)－x2
2．若函數y＝(m－2)x|m|＋1(m是常數)是關于x的二次函數，則m的值是　－2　．
知識點二　二次函數的一般形式
3．對于二次函數y＝－1的二次項系數a、一次項系數b和常數項c描述正確的是(　C　)
A．a＝－1，b＝－1，c＝0
B．a＝－1，b＝0，c＝1
C．a＝－1，b＝0，c＝－1
D．a＝1，b＝0，c＝－1
4．若二次函數y＝(2x－1)2＋1的二次項系數為a，一次項系數為b，常數項為c，則 b2－4ac?。肌?.(填“＞”“＜”或“＝”)
知識點三　在實際問題中列二次函數表達式
5．下列函數關系中，是二次函數的是(　D　)
A．在彈性限度內，彈簧的長度y與所掛物體質量x之間的關系
B．當距離一定時，火車行駛的時間t與速度v之間的關系
C．等邊三角形的周長C與邊長a之間的關系
D．圓的面積S與半徑r之間的關系
6．九年級共有x名同學，在開學見面時每兩名同學都握手一次，共握手y次，則y與x之間的函數關系式是　x2－x　，　是　二次函數(填“是”或“不是”)．
知識點四　在幾何圖形中列二次函數表達式
7．已知正方形的面積為y(cm2)，周長為x(cm).
(1)請寫出y(cm2)與x(cm)之間的函數關系式；
(2)判斷y是否為x的二次函數．
解：(1)∵正方形的周長為x，
∴正方形的邊長為x，
∴y(cm2)與x(cm)之間的函數關系式為
y＝＝x2.
(2)利用二次函數的定義得出y是x的二次函數．
8．如圖，在△ABC中，BC＝12，邊BC上的高AH＝8，矩形DEFG的邊EF在邊BC上，頂點D，G分別在邊AB，AC上．設DE＝x，矩形DEFG的面積為y，求y關于x的函數表達式．(不需寫出x的取值范圍)
解：∵四邊形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，
解得DG＝，
∴y＝＝－x2＋12x.
9．如圖，正方形ABCD和⊙O的周長之和為20 cm，設圓的半徑為x cm，正方形的邊長為y cm，陰影部分的面積為S cm2.當x在一定范圍內變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數關系分別是(　B　)
A．一次函數關系，一次函數關系
B．一次函數關系，二次函數關系
C．二次函數關系，二次函數關系
D．二次函數關系，一次函數關系
解析：由題意，得4y＋2πx＝20，
∴2y＋πx＝10，
∴y＝，
即y與x是一次函數關系．
把y＝代入S＝y2－πx2，
得S＝x2－5πx＋25，
即S與x是二次函數關系．
10．已知關于x的函數y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1.
(1)當m為何值時，此函數是一次函數？
(2)當m為何值時，此函數是二次函數？
解：(1)∵函數y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1是一次函數，
∴m2＋2m＝0，m≠0，解得m＝－2.
(2)∵函數y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1是二次函數，∴m2＋2m≠0，
解得m≠－2且m≠0.
11．某公司的生產利潤原來是a萬元，經過連續兩年的增長達到了y萬元，如果每年增長率都是x，寫出利潤y與增長的百分率x之間的函數關系式，它是二次函數嗎？如果是，請寫出二次項系數、一次項系數和常數項．
解：依題意，得y＝a(1＋x)2＝ax2＋2ax＋a，
是二次函數，二次項系數為a，一次項系數為2a，常數項為a.
12．(原創題)“一面杭扇，多少江南”，杭扇承載著千年歷史長河的余溫，記錄著杭州這座古城的歷史人文．某“杭扇”專賣店購進了一批同一款式的“杭扇”，進價為每件100元，現在的售價為每件120元，每星期可賣出300件．經市場調查發現，若每件漲價1元，則每星期要少賣出10件．求每星期售出商品的利潤y(元)與每件漲價x(元)之間的函數關系式．
解：由題意，得每件漲價x元時，銷售每件獲得的利潤為(120－100＋x)＝(20＋x)元，每星期的銷售量為(300－10x)件，
∴每星期售出商品的利潤y＝(300－10x)·(20＋x)＝－10x2＋100x＋6 000.
13．如圖，圓柱的高為10 cm，圓柱的底面直徑為x cm，圓柱的表面積為S cm2.
(1)求圓柱的表面積S與圓柱的底面直徑x之間的函數關系式，并判斷這個函數是否為二次函數；
(2)當圓柱的底面直徑從4 cm增加到10 cm 時，圓柱的表面積增加了多少？(最后結果保留π)
解：(1)由題意，得圓柱的表面積S＝2πrh＋2πr2＝2π××10＋2π×＝＋10πx，
∴圓柱的表面積S與圓柱的底面直徑x之間的函數關系式為S＝πx2＋10πx.
∵π≠0，
∴函數S＝πx2＋10πx是二次函數．
(2)∵π×102＋10π×10－＝150π－48π＝102π(cm2)，
∴圓柱的表面積增加了102π cm2.
【創新運用】
14．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，動點P從點A開始沿邊AB向終點B以每秒2個單位的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC以每秒4個單位的速度向終點C移動．如果點P，Q分別從點A，B同時出發，那么△PBQ的面積S隨出發時間t(s)如何變化？寫出函數關系式及t的取值范圍．
解：△PBQ的面積S隨出發時間t(s)成二次函數關系變化．
∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，
∴BP＝12－2t，BQ＝4t，
∴△PBQ的面積S與出發時間t(s)之間的函數關系式為S＝(12－2t)·4t＝＋24t(0＜t＜6)．
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