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課時分層訓練(十一)　二次函數y＝ax2的圖象與性質
知識點一　二次函數y＝x2，y＝－x2的圖象與性質
1．下列關于二次函數y＝x2的性質不正確的是(　D　)
A．對稱軸是y軸
B．經過點(－1，1)
C．函數有最小值
D．無論x取何值，y的值總為正
2．拋物線y＝x2與y＝－x2共有的性質是(　B　)
A．開口向下
B．對稱軸是y軸
C．都有最低點
D．y隨x的增大而減小
3．若點A(x1，y1)，B(x2，y2)都在拋物線y＝－x2上，則下列結論正確的是(　D　)
A．當x1＜x2時，y1＜y2
B．當x1＜x2時，y1＞y2
C．當0＜x1＜x2時，y1＜y2
D．當0＜x1＜x2時，y1＞y2
知識點二　利用二次函數y＝x2，y＝的圖象與性質解決問題
4．如圖，⊙O的半徑為2，C1是函數y＝的圖象，C2是函數y＝－x2的圖象，則陰影部分的面積是　2π　．
5．當m取何值時，拋物線y＝x2與直線y＝x＋m的圖象有以下特征．
(1)有公共點；
(2)沒有公共點．
解：由題意，得x2＝x＋m，
整理，得x2－x－m＝0.
Δ＝(－1)2－4(－m)＝4m＋1.
(1)4m＋1≥0，
解得m≥－.
(2)4m＋1＜0，
解得m＜－.
知識點三　二次函數y＝ax2(a≠0)的圖象和性質
6．若二次函數y＝mx2(m≠0)的圖象經過點(2，－5)，則它也經過(　A　)
A．(－2，－5) B．(－2，5)
C．(2，5) D．(－5，2)
7．如圖是四個二次函數的圖象，則a，b，c，d的大小關系為(　B　)
A．d＜c＜a＜b B．d＜c＜b＜a
C．c＜d＜a＜b D．c＜d＜b＜a
解析：如圖，作直線x＝1.
∵直線x＝1與四條拋物線的交點從上到下依次為(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，
∴d＜c＜b＜a.
8．已知a＜－1，點(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函數y＝－x2的圖象上，則(　A　)
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
9．下列說法錯誤的是(　C　)
A．在二次函數y＝3x2中，當x＞0時，y隨x的增大而增大
B．在二次函數y＝－6x2中，當x＝0時，y有最大值0
C．在二次函數y＝ax2中，a越大圖象開口越小，a越小圖象開口越大
D．不論a是正數還是負數，拋物線y＝ax2(a≠0)的頂點一定是坐標原點
10.對于二次函數y＝ax2與y＝bx2，其自變量與函數值的兩組對應值如表所示，根據二次函數圖象的相關性質可知m＝　1　，d－c＝　3　．
x －1 m(m≠－1)
y＝ax2 c c
y＝bx2 c＋3 d
解析：由表格可知x＝－1和x＝m時的函數值相等．
∵表格中的兩個函數的對稱軸都是直線x＝0，
∴m＋(－1)＝0，c＋3＝d，
∴m＝1，d－c＝3.
11．已知拋物線y＝－x2與直線y＝3x＋m都經過點(2，n)．
(1)畫出y＝－x2的圖象，并求出m，n的值．
(2)兩個圖象是否存在另一個交點？若存在，請求出這個點的坐標．
解：(1)畫圖略．把(2，n)代入y＝－x2中，
得n＝－22，∴n＝－4.
把(2，－4)代入y＝3x＋m中，
得－4＝3×2＋m，∴m＝－10.
(2)存在．由題意，得
解得或
∴存在另一個交點，其坐標為(－5，－25)．
12．已知拋物線y＝ax2經過點A(－2，－8)．
(1)求此拋物線的函數表達式；
(2)說出這個二次函數圖象的頂點坐標、對稱軸、開口方向和圖象的位置；
(3)判斷點B(－1，－4)是否在此拋物線上；
(4)求出此拋物線上縱坐標為－6的點的坐標．
解：(1)把A(－2，－8)代入函數表達式y＝ax2，得－8＝a·(－2)2，∴a＝－2，
故此拋物線的函數表達式為y＝－2x2.
(2)頂點坐標為(0，0)，對稱軸為y軸(或直線x＝0)．
∵a＜0，∴二次函數的圖象開口向下，頂點是圖象上的最高點，圖象在x軸下方．
(3)把x＝－1代入函數表達式y＝－2x2，得y＝－2×(－1)2＝－2≠－4，
故點B(－1，－4)不在此拋物線上．
(4)當y＝－6時，－6＝－2x2，∴x＝±，
∴縱坐標為－6的點的坐標為(，－6)，(－，－6).
【創新運用】
13．有一城門洞呈拋物線形，拱高為4 m(最高點到地面的距離)．如圖，把它放在平面直角坐標系中，其函數表達式為 y＝－x2．
(1)求城門洞最寬處AB的長．
(2)現在有一輛高2.6 m、寬2.2 m的小貨車，問：它能否完全通過此城門洞？請說明理由．
解：(1)令拋物線y＝－x2＝－4，
解得x＝±2，
故城門洞最寬處AB的長為4 m.
(2)能．理由如下：
如圖，設小貨車行駛到城門正中間．
用矩形CDEF表示小貨車的橫截面，
則ED，FC均垂直于AB，點E，F到AB的距離均為2.6 m，點F的橫坐標為1.1.
設CF的延長線交拋物線于點G，則點G的橫坐標為1.1，代入函數表達式y＝，得y＝－1.12＝－1.21，
∴點G的縱坐標為－1.21，
∴點G到AB的距離為4－1.21＝2.79＞2.6，
故小貨車能完全通過此城門洞．
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