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課時分層訓練(十三)　確定二次函數的表達式
知識點一　已知圖象上兩點求二次函數的表達式
1．一個二次函數的圖象的頂點坐標為(3，－1)，與y軸的交點坐標為(0，－4)，則該二次函數的表達式是(　B　)
A．y＝x2－2x＋4
B．y＝－x2＋2x－4
C．y＝－(x＋3)2－1
D．y＝－x2＋6x－12
2．若拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點是A(2，1)，且經過點B(1，0)，則拋物線的函數表達式為　y＝－x2＋4x－3　．
3．若拋物線的對稱軸為直線x＝2，且經過點(1，4)和(5，0)，求該拋物線的函數表達式．
解：∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，∴設此二次函數的表達式為y＝a(x－2)2＋c.
將(1，4)和(5，0)代入y＝a(x－2)2＋c，
得{4＝a(1－2)2＋c，
0＝a(5－2)2＋c，
解得
∴該拋物線的函數表達式為y＝－(x－2)2＋，即y＝－x2＋2x＋.
知識點二　已知圖象上三點求二次函數的表達式
4．已知二次函數的圖象經過(－1，0)，(2，0)，(0，2)三點，則該函數的表達式為(　D　)
A．y＝－x2－x＋2
B．y＝x2＋x－2
C．y＝x2＋3x＋2
D．y＝－x2＋x＋2
5．已知二次函數的圖象經過點(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，則該二次函數的表達式為(　D　)
A．y＝－6x2＋3x＋4
B．y＝－2x2＋3x－4
C．y＝x2＋2x－4
D．y＝2x2＋3x－4
6．若y＝ax2＋bx＋c，則由表格中的信息可知，y與x之間的函數關系式是(　A　)
x －1 0 1
ax2 1
ax2＋bx＋c 8 3
A．y＝x2－4x＋3
B．y＝x2－3x＋4
C．y＝x2－3x＋3
D．y＝x2－4x＋8
7．二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象經過點(－1，12)，(0，5)，且當x＝2時，y＝－3，則a＋b＋c的值為　0　．
8．已知一個二次函數圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如表所示，求該二次函數的表達式．
x … －3 －2 －1 0 1 …
y … 0 3 4 3 0 …
解：由表格中的數據易知二次函數與x軸的交點坐標為(－3，0)，(1，0)．
設二次函數的表達式為y＝a(x＋3)(x－1)．
將點(0，3)代入y＝a(x＋3)(x－1)，
得3＝a(0＋3)(0－1)，解得a＝－1，
∴該二次函數的表達式為y＝－(x＋3)(x－1)，
即y＝－x2－2x＋3.
9．已知二次函數y＝ax2＋bx＋c，當x＝1時，有最大值8，其圖象的形狀、開口方向與拋物線y＝－2x2相同，則這個二次函數的表達式為　y＝－2x2＋4x＋6　．
10．如圖，拋物線y＝ax2＋bx－3與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，OB＝OC＝3OA，則該拋物線的表達式為　y＝x2－2x－3　．
11．拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于點A(－3，0)，對稱軸為直線x＝－1，頂點C到x軸的距離為2，求此拋物線的表達式．
解：由題意，得①
②
解方程組①，得
∴y＝－x2－x＋.
解方程組②，得
∴y＝x2＋x－，
∴該拋物線的表達式為 y＝－x2－x＋或 y＝x2＋x－.
12．小穎同學想用描點法畫二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象，取自變量x的6個值，分別計算出對應的y值，如表：
x … －2 －1 0 1 2 3 …
y … 11 2 －1 2 5 m …
由于粗心，小穎算錯了其中的一個y值．
(1)求該二次函數的表達式；
(2)請你指出表中算錯的y值；
(3)通過計算求m的值．
解：(1)由表格可知，對稱軸為直線x＝0，
∴x＝2或x＝－2時，對應的y值有一個是錯誤的．
將(0，－1)，(1，2)，(－1，2)代入y＝ax2＋bx＋c，
得解得
∴y＝3x2－1.
(2)當x＝2時，y＝11，
∴算錯的y值為5.
(3)當x＝3時，y＝26，∴m＝26.
【創新運用】
13．如圖，已知二次函數的圖象經過點B(2，0)，C(0，2)，D(1，2).
(1)求該二次函數的表達式；
(2)求△ABC的面積；
(3)若P是拋物線上一點且S△ABP＝2S△ABC，這樣的點P有幾個？請寫出它們的坐標．
解：(1)設該二次函數的表達式為y＝ax2＋bx＋c，
由題意，得
解得
∴該二次函數的表達式為y＝－x2＋x＋2.
(2)∵y＝－x2＋x＋2＝－＋，
∴對稱軸為直線x＝，
∴點B(2，0)關于對稱軸的對稱點為A(－1，0)，
∴AB＝3，
∴S△ABC＝×3×2＝3.
(3)設點P到x軸的距離為h，
∵S△ABP＝2S△ABC，
∴×3×h＝6，
∴h＝4.
∵h＞，
∴－x2＋x＋2＝－4，
解得x1＝3，x2＝－2，
∴這樣的點P有2個，點P的坐標為(－2，－4)或(3，－4)．
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