資源簡介

課時分層訓練(十四)　二次函數的應用
知識點一　利用二次函數解決面積的最值問題
1．用長為8 m的鋁合金條制成如圖所示形狀的矩形窗框，使窗戶的透光面積最大，那么這個窗戶的最大透光面積是(　C　)
A． m2 B． m2
C． m2 D．4 m2
2．將一條長為20 cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形，則這兩個正方形面積之和的最小值是　12.5　cm2.
知識點二　利用二次函數解決利潤最大問題
3．某超市銷售一種商品，發現一周利潤y(元)與銷售單價x(元)之間的關系滿足y＝－2(x－20)2＋1 558，由于某種原因，銷售單價只能為 15≤x≤22，那么一周可獲得的最大利潤是(　A　)
A．1 558 元 B．1 550元
C．1 508元 D．20元
4．李阿姨試營一家有80間套房的旅館．經調查得知，若把每日租金定價為160元，則可客滿；而租金每漲20元，就會失去3位客人．每間住了人的客房每日所需服務、維修等各項支出共計40元．那么定價為________時，才能獲得最大收益．(　C　)
A．160元 B．240元
C．360元　 D．450元
5．某賓館有150間標準房，當標準房價格為100元時，每天都客滿．市場調查表明單間房價在100～200元之間(含100元、200元)浮動時，每提高 10元，日均入住數減少6間．如果不考慮其他因素，為使客房的日營業收入最大，賓館可將標準房價格提高(　B　)
A．100元 B．75元
C．50元 D．25元
解析：設賓館標準房單間房價提高x個10元，則日均入住數減少6x間，日營業收入為y元．
由題意，得y＝(100＋10x)(150－6x)(0≤x≤10)，
整理，得y＝－60(x＋10)(x－25)，∴函數的對稱軸為直線x＝(25－10)＝7.5，
∴當x＝7.5時，函數取得最大值．
10x＝75，
∴為使客房的日營業收入最大，賓館可將標準房價格提高75元．
6．將進貨單價為70元的某種商品按零售價100元售出時，每天能賣出20個；若這種商品的零售價在一定范圍內每降價1元，其日銷售量就增加2個．設單價降低x元，則每天的利潤y與x之間的函數關系式是　y＝＋40x＋600　；最大利潤為　800　元．
7.某旅行社組團去外地旅游，30人起組團，每人單價800元．旅行社對超過30人的團給予優惠，即旅行團每增加一人，每人的單價就降低10元．請你幫助分析一下，當旅行團的人數是多少時，旅行社可以獲得最大營業額．
解：設一個旅行團的人數是x人，營業額為y元．
根據題意，得y＝x[800－10(x－30)]＝＋1 100x＝－10(x－55)2＋30 250，
故當一個旅行團的人數是55人時，旅行社可以獲得最大的營業額．
知識點三　拋物線形實際問題
8．某地刀削面堪稱一絕，傳統的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接將面削到開水鍋里．如圖，面剛被削離時與開水鍋的高度差h＝0.8 m，與鍋的水平距離L＝0.5 m，鍋的半徑R＝0.5 m.若將削出的面的運動軌跡視為拋物線，要使其落入鍋中(鍋的厚度忽略不計)，則其水平初速度v0不可能為(提示：h＝gt2，g＝10 m/s2，水平移動距離＝v0t)(　D　)
A．2.5 m/s B．3 m/s
C．3.5 m/s D．5 m/s
9．如圖，一名學生推鉛球，鉛球行進高度y(m)與水平距離 x(m)之間的關系是y＝－(x－10)(x＋4)，則鉛球推出的水平距離OA＝　10　m.
解析：令y＝0，則－(x－10)(x＋4)＝0，
解得x＝10或x＝－4(不合題意，舍去)，
∴A(10，0)，
∴OA＝10 m．
10．如圖，某大學的校門是一拋物線形水泥建筑物，大門的地面寬度為8 m，兩側距地面4 m高處各有一個掛校名橫匾用的鐵環，兩鐵環間的水平距離為6 m．求校門的高．(結果精確到0.1 m，水泥建筑物厚度忽略不計)
解：以大門地面為x軸、以它的垂直平分線為 y軸建立平面直角坐標系，則拋物線過(－4，0)，(4，0)，(－3，4)三點．
∵拋物線關于y軸對稱，可設表達式為y＝ax2＋c，則
解得
∴表達式為y＝－x2＋，
∴頂點坐標為，
即校門的高為 m≈9.1 m．
11．從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(m)與小球運動時間t(s)之間的函數關系如圖所示．下列結論：①小球在空中經過的路程是40 m；②小球拋出3 s后，速度越來越快；③小球拋出3 s時速度為0；④小球的高度h＝30 m 時，t＝1.5 s．其中正確的是(　D　)
A．①④ B．①②
C．②③④ D．②③
12．如圖，用長為18 m的籬笆(虛線部分)，兩面靠墻圍成矩形的苗圃．
(1)設矩形的一邊長為x(m)，面積為y(m2)，求y關于x的函數表達式，并寫出自變量x的取值范圍．
(2)當x為何值時，所圍苗圃的面積最大？最大面積是多少？
解：(1)由已知，得矩形的另一邊長為(18－x)m，
則y＝x(18－x)＝－x2＋18x，
自變量x的取值范圍是0＜x＜18.
(2)∵y＝－x2＋18x＝－(x－9)2＋81，
∴當x＝9時(0＜x＜18)，苗圃的面積最大，最大面積是81 m2.
13．一次足球訓練中，小明從球門正前方8 m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當球飛行的水平距離為6 m時，球達到最高點，此時球離地面3 m.已知球門高OB為2.44 m，現以O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系．
(1)求拋物線的函數表達式，并通過計算判斷球能否射進球門；(忽略其他因素)
(2)對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經過點O正上方2.25 m 處？
解：(1)∵8－6＝2，
∴拋物線的頂點坐標為(2，3)．
設拋物線的函數表達式為y＝a(x－2)2＋3.
將A(8，0)代入，得
36a＋3＝0，解得a＝－，
∴拋物線的函數表達式為y＝－(x－2)2＋3，即y＝－x2＋x＋.
當x＝0時，y＝＞2.44，
∴球不能射進球門．
(2)設小明帶球向正后方移動m m，則移動后的拋物線的表達式為y＝－(x－2－m)2＋3.
將(0，2.25)代入，得2.25＝－(0－2－m)2＋3，
解得m＝－5(舍去)或m＝1，
∴當時他應該帶球向正后方移動1 m射門，才能讓足球經過點O正上方2.25 m處．
14．某縣某旅行社推出“一日游”項目，團隊人均報名費用y(元)與團隊報名人數x(人)之間的函數關系如圖所示，旅行社規定團隊人均報名費用不能低于88元．旅行社收到的團隊總報名費用為w(元)．
(1)求出當x≥20時，y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．
(2)當一個團隊有多少人報名時，旅行社收到的總報名費最多？總報名費最多是多少元？
解：(1)設y＝kx＋b.
把(20，120)和(32，96)代入，
得{20k＋b＝120，
32k＋b＝96，
解得
∴y與x之間的函數關系式為y＝－2x＋160.
∵旅行社規定團隊人均報名費用不能低于88元，
當y≥88時，－2x＋160≥88，解得x≤36，
∴y與x之間的函數關系式為y＝－2x＋160(20≤x≤36)．
(2)由題意，得w＝xy
＝x(－2x＋160)
＝－2x2＋160x
＝－2(x2－80x＋1 600－1 600)
＝－2(x－40)2＋3 200.
∵－2＜0，
∴當x＜40時，w隨x的增大而增大，
而20≤x≤36，
∴當x＝36時，w有最大值，為－2×(36－40)2＋3 200＝3 168，
∴當一個團隊有36人報名時，旅行社收到的總報名費最多，總報名費最多是3 168元．
15．如圖，雜技團進行雜技表演，一名演員從蹺蹺板右端A處恰好彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體(看成一點)的路線是拋物線的一部分，跳起的演員距點A 所在y軸的水平距離為2.5 m時，身體離地面最高為4.75 m，已知OA＝1 m.
(1)求該拋物線的函數表達式；
(2)若人梯到起跳點A的水平距離為4 m，求人梯BC的高．
解：(1)由題意可知，拋物線的頂點坐標為(2.5，4.75).
設此拋物線的函數表達式為y＝a(x－2.5)2＋4.75.
把A(0，1)代入y＝a(x－2.5)2＋4.75，得
1＝a×(0－2.5)2＋4.75，
解得a＝－，
∴該拋物線的函數表達式為y＝－(x－2.5)2＋4.75，即y＝－x2＋3x＋1.
(2)當x＝4時，
y＝－(x－2.5)2＋4.75
＝－×(4－2.5)2＋4.75
＝，
∴人梯BC的高為 m．
【創新運用】
16．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，點P從點A開始沿邊AB向點B以1 cm/s的速度移動，同時點Q從點B開始沿邊BC向點C以2 cm/s的速度移動，且當其中一點到達終點時，另一個點也隨之停止移動．
(1)P，Q兩點出發2 s時，△PBQ的面積是多少？
(2)設P，Q兩點同時出發，移動的時間為t s，△PBQ的面積為S cm2，請寫出S與t之間的函數關系式，并求出△PBQ面積的最大值．
解：(1)∵P，Q移動t s時，AP＝t cm，BQ＝2t cm，
則BP＝AB－AP＝(6－t)cm，
∴S△PBQ＝BP·BQ＝(6－t)·2t＝t(6－t)cm2，
∴P，Q兩點出發2 s時，S△PBQ＝2×(6－2)＝8(cm2)．
(2)∵S△PBQ＝BP·BQ＝(6－t)·2t＝t(6－t)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9(0＜t≤4)，
∴在移動過程中，△PBQ面積的最大值是9 cm2.
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