資源簡介

課時分層訓練(十五)　二次函數與一元二次方程
知識點一　二次函數與一元二次方程的關系
1．拋物線y＝x2＋2x－3與x軸的交點個數有(　C　)
A．0個 B．1個
C．2個 D．3個
2．拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的位置如圖所示，則關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的情況是(　D　)
A．有兩個不相等的實數根
B．有兩個相等的實數根
C．有一個實數根
D．沒有實數根
3．拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A(2，0)，B(4，0)兩點，則關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根是　x1＝2，x2＝4?。?br/>4.已知拋物線y＝ax2＋bx－10(a≠0)的對稱軸是直線x＝2，
(1)求證：4a＋b＝0；
(2)若關于x的一元二次方程ax2＋bx－10＝0有一個根為x＝5，求方程的另一個根．
(1)證明：∵拋物線y＝ax2＋bx－10(a≠0)的對稱軸是直線x＝2，
∴－＝2，
∴－b＝4a，即4a＋b＝0.
(2)解：∵關于x的方程ax2＋bx－10＝0有一個根為x＝5，
∴拋物線y＝ax2＋bx－10(a≠0)與x軸的一個交點坐標為(5，0)．
∵拋物線的對稱軸是直線x＝2，
∴拋物線y＝ax2＋bx－10(a≠0)與x軸的另一個交點坐標為(－1，0)，
∴關于x的方程ax2＋bx－10＝0的另一個根為x＝－1.
知識點二　求一元二次方程的近似根
5．根據下表中二次函數y＝ax2＋bx＋c的自變量x與函數值y的對應值，判斷方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c為常數)一個根x的范圍是(　C　)
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y －0.03 －0.01 0.02 0.04
A．6B．6.17C．6.18D．6.196．如圖，以(1，－4)為頂點的二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸負半軸交于點A，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的正數根的取值范圍是(　C　)
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4
C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
7．(1)請在如圖的平面直角坐標系中畫出二次函數y＝x2－2x的大致圖象；
(2)根據方程的根與函數圖象的關系，將方程x2－2x＝1的根在圖上近似地表示出來(描點)；
(3)觀察圖象，直接寫出方程x2－2x＝1的根．(結果精確到0.1)
解：(1)如圖即為y＝x2－2x的大致圖象．
(2)如圖，點M，N即為所求．
(3)根據圖象，可得x2－2x＝1的根約為x1＝－0.4，x2＝2.4.
知識點三　二次函數的綜合應用
8．如圖，若被擊打的小球飛行高度h(m)與飛行時間t(s)具有的函數關系為h＝20t－5t2，則小球從飛出到落地所用的時間為(　B　)
A．3 s B．4 s
C．5 s D．6 s
9．已知二次函數y＝a(x－x1)(x－x2)與x軸的交點是(1，0)和(3，0)，關于x的方程a(x－x1)(x－x2)＝m(其中m＞0)的兩個根分別是－1和5，關于x的方程a(x－x1)(x－x2)＝n(其中0＜n＜m)也有兩個整數根，這兩個整數根分別是(　C　)
A．1和4 B．2和5
C．0和4 D．0和5
10．在籃球比賽中，東東投出的球在點A處反彈，反彈后球運動的路線為拋物線的一部分(如圖所示建立平面直角坐標系)，拋物線頂點為B.
(1)求該拋物線的函數表達式；
(2)當球運動到點C時被東東搶到，CD⊥x軸于點D，CD＝2.6 m．求OD的長．
解：(1)設y＝a(x－0.4)2＋3.32(a≠0)，
把x＝0，y＝3代入上式，得3＝a(0－0.4)2＋3.32，
解得a＝－2，
∴拋物線的函數表達式為y＝－2(x－0.4)2＋3.32，即y＝－2x2＋1.6x＋3.
(2)把y＝2.6代入y＝－2(x－0.4)2＋3.32，
化簡，得(x－0.4)2＝0.36，
解得x1＝－0.2(舍去)，x2＝1，
∴OD＝1 m．
11．已知關于x的二次函數y＝x2－x＋a－1的圖象與 x軸有兩個交點，則實數a的值可能是(　A　)
A．1 B．1.5
C．2 D．2.5
解析：∵關于x的二次函數y＝x2－x＋a－1的圖象與x軸有兩個交點，
∴Δ＞0，∴1－4(a－1)＞0，
∴a＜，∴a的值可能是1.
12．已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，下列結論：①a＞0；②b2－4ac＞0；③4a＋b＝0；④不等式ax2＋(b－1)x＋c＜0的解集為1＜x＜3.其中正確的有(　B　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
13．(原創題)二次函數y＝ax2＋bx＋c自變量x與函數值y的部分對應值如表所示．
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … m－4.5 m－2 m－0.5 m m－0.5 m－2 m－4.5 …
若1＜m＜1.5，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根x1，x2的取值范圍是(　D　)
A．－1≤x1≤0，2＜x2＜3
B．－1＜x1＜0，2≤x2≤3
C．－1≤x1＜0，2＜x2≤3
D．－1＜x1＜0，2＜x2＜3
解析：∵1＜m＜1.5，
∴－1＜m－2＜－0.5，0.5＜m－0.5＜1．
由表中數據可知y＝0在y＝m－2與y＝m－0.5之間，
∴對應的x的值分別在－1與0和2與3之間，
即－1＜x1＜0，2＜x2＜3.
14．可以用如下方法求方程x2－2x－2＝0的實數根的范圍：
由函數y＝x2－2x－2的圖象可知，
當x＝0時，y＜0，
當x＝－1時，y＞0，
∴方程有一個根在－1和0之間．
(1)參考上面的方法，求方程x2－2x－2＝0的另一個根在哪兩個連續整數之間；
(2)若方程x2－2x＋c＝0有一個根在0和1之間，求c的取值范圍．
解：(1)由函數y＝x2－2x－2的圖象可知，
當x＝2時，y＜0，當x＝3時，y＞0，
∴方程的另一個根在2和3之間．
(2)函數y＝x2－2x＋c的圖象開口向上，且對稱軸為直線x＝1，
由題意，得
解得0＜c＜1.
15．如圖，在一次足球比賽中，守門員在地面O處將球踢出，一運動員在離守門員8 m的A處發現球在自己頭的正上方 4 m 處達到最高點M，球落地后又一次彈起．據試驗測算，足球在空中運行的路線是一條拋物線，在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．
(1)求足球第一次落地之前的運動路線的函數表達式及第一次落地點B到守門員(點O)的距離；
(2)運動員(點A)要搶到第二個落點C，他應再向前跑多少米？(假設點O，A，B，C在同一條直線上，結果保留根號)
解：(1)根據拋物線頂點為(8，4)，設足球第一次落地之前的運動路線的函數表達式為y＝＋4，由過點O(0，0)，得0＝64a＋4，
解得a＝－，
∴y＝－(x－8)2＋4，即y＝－x2＋x.
當y＝0時，－x2＋x＝0，
解得x1＝0(舍去)，x2＝16，
∴足球第一次落地之前的運動路線的函數表達式為y＝－x2＋x，第一次落地點B到守門員(點O)的距離為16 m.
(2)設第一次落地之后的運動路線的最高點為(m，2)，且函數表達式可設為y＝＋2，
由題意，得0＝－(16－m)2＋2，
解得m1＝16＋4，m2＝16－4(舍去)，
∴y＝－(x－16－4)2＋2.
當y＝0時，
0＝－(x－16－4)2＋2.
解得x＝16＋8或x＝16，
∴運動員應從點A再向前跑的距離為16＋8－8＝(8＋8)m.
【創新運用】
16．在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2－2x＋c(c為常數)的對稱軸如圖所示，且拋物線過點C(0，c).
(1)當c＝－3時，點(x1，y1)在拋物線y＝x2－2x＋c上，求y1的最小值；
(2)若拋物線與x軸有兩個交點，自左向右分別為點A，B，且OA＝OB，求拋物線的表達式；
(3)當－1＜x＜0時，拋物線與x軸有且只有一個公共點，求c的取值范圍．
解：(1)當c＝－3時，y＝x2－2x－3，
∴拋物線開口向上，當x＝1時，y有最小值，
∴y1的最小值為－4.
(2)拋物線與x軸有兩個交點，分情況求解如下：
①如圖1，當點A，B都在原點的右側時，設A(m，0)．
圖1
∵OA＝OB，∴B(2m，0)．
二次函數y＝x2－2x＋c的對稱軸為直線x＝1，由拋物線的對稱性，得1－m＝2m－1，
解得m＝，∴A.
∵點A在拋物線y＝x2－2x＋c上，
∴0＝＋c，解得c＝.
此時拋物線的表達式為y＝x2－2x＋.
②如圖2，當點A在原點的左側，點B在原點的右側時，設A(－n，0)．
圖2
∵OA＝OB，且點A，B在原點的兩側，
∴B(2n，0)．
由拋物線的對稱性，得n＋1＝2n－1，
解得n＝2，∴A(－2，0)．
∵點A在拋物線y＝x2－2x＋c上，
∴0＝4＋4＋c，解得c＝－8.
此時拋物線的表達式為y＝x2－2x－8.
綜上所述，拋物線的表達式為y＝x2－2x＋或y＝x2－2x－8.
(3)∵拋物線y＝x2－2x＋c與x軸有公共點，
∴b2－4ac＝4－4c≥0，
∴c≤1.
當x＝－1時，y＝3＋c；
當x＝0時，y＝c.
∵拋物線的對稱軸為x＝1，且當－1＜x＜0時，拋物線與x軸有且只有一個公共點，
∴3＋c＞0且c＜0，解得－3＜c＜0，
∴c的取值范圍為－3＜c＜0.
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