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2025年全國中學生數學奧林匹克競賽（預賽）加試(A卷)
一。（本題滿分40分）如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點，延長AD交△ABC的外接圓于點P,過點
B,P作一個圓與邊AC相切于點E,過點C,P作一個圓與邊AB相切于點F。證明：AD,BE,CF三線共
點。（答題時請將圖畫在答卷紙上）
二，（本題滿分40分)設m,n,k都是正整數，m≥2，且n≥k≥2，實數c1≥2≥…≥xn≥0，滿足以
下兩個條件：
(i)xm+x呀+…十x≥1；
(ii)1十x2十…+xn≤k.
證明：1十x2十…十ck≥1.
三。（本題滿分50分）求具有下述性質的所有正整數：存在n的一個倍數N,其在十進制表示下不含
數碼0，但含有1,2，·，9中每一個數碼，并且對任意i∈{1,2，…，9}，可以刪去N的十進制表示中的一個
數碼i,使所得的數仍是n的倍數.
四。（本題滿分50分）給定整數t>10000.甲乙兩人玩如下的游戲，猜一個滿足x(N)≤2+t+100的
正整數N,這里x(N)是N的正約數個數.規則如下：
先由甲確定一個正整數k,并告知乙。然后乙想一個滿足要求的N,并且：
(i)告訴甲x(N)的值：
(ii)給出N的k個不同的正約數（若x(N)≤k,則乙只需給出N的所有正約數：若x(N)>k,則乙可以選
擇性地給出N的k個正約數).
求最小的k,使得甲一定能猜出N.
數學試題第1頁共1頁
2025年全國中學生數學奧林匹克競賽（預賽)
暨2025年全國高中數學聯合竟賽
如試(A卷)參考答案及評分標準
說明：
1。評閱試卷時，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分。
2。如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可
參考本評分標準適當劃分檔次評分，10分為一個檔次，不得增加其他中間檔次.
一。（本題滿分40分）如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點，延長AD交
△ABC的外接圓于點P,過點B,P作一個圓與邊AC相切于點E,過點C,P作一
個圓與邊AB相切于點F,證明：AD,BE,CF三線共點.
(答題時清將圖畫在答卷紙上)
證法1：如圖，延長CP,AB交于點X,延長BP,AC交于點Y.
由圓冪定理知XF2=P,XC=XA·XB,結合比例性質得
AF_XM-XF_XM-√M·XB_X4
①
FBXF-XB√XA·XB-XBVXB
同理有
AE
YA
EC
②
…20分
對△ABC及點P用塞瓦定理，得
AX BD.CY=1,
XB DC YA
1

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