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第二十一章 一元二次方程 練習(xí)
一、單選題
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．關(guān)于一元二次方程根的情況，下列說法正確的是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．無實(shí)數(shù)根 D．無法確定
3．解方程時(shí)，若設(shè)，則原方程可化為關(guān)于y的整式方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．設(shè)，則方程可變形為（ ）
A． B．
C． D．
5．某市2022年底森林覆蓋率為，2024年底森林覆蓋率已達(dá)到．如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為，則符合題意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于的分式方程的解為正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是（ ）
A． B． C． D．
7．對于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“ ”為，例如：，則關(guān)于x的方程的根的情況，下列說法正確的為（ ）
A．有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根
8．關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（ ）
A．且 B． C． D．且
9．某小區(qū)計(jì)劃在一塊長、寬的長方形空地上修建三條同樣寬的道路(如圖)，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為．設(shè)道路的寬為，則下面所列方程正確的是( )
A． B．
C． D．
10．對于一元二次方程，下列說法：
①若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；
②若是一元二次方程的根，則；
③存在實(shí)數(shù)，使得；
④若是方程的一個(gè)根，則一定有成立
其中正確的有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③
二、填空題
11．若a，b是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是 ．
12．已知，且，則的值為 ．
13．關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
14．有一個(gè)人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81個(gè)人患流感．每輪傳染中平均一個(gè)人傳染幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染x個(gè)人，可列方程為 ．
15．《代數(shù)學(xué)》中記載，形如的方程，求正數(shù)解的幾何方法是：“如圖1，先構(gòu)造一個(gè)面積為的正方形，再以正方形的邊長為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為的矩形，得到大正方形的面積為，則該方程的正數(shù)解為．”小聰按此方法解關(guān)于x的方程時(shí)，構(gòu)造出如圖2所示的圖形，已知陰影部分的面積為36，則該方程的正數(shù)的解為
三、解答題
16．解方程：
(1)；
(2)．
17．某地發(fā)生禽類疫情，當(dāng)?shù)卣推髽I(yè)迅速進(jìn)行了疫情排查和處置．在疫情排查過程中，某農(nóng)場第一天發(fā)現(xiàn)3只雞發(fā)病，到第三天時(shí)共有192只雞發(fā)病．
(1)每只發(fā)病的雞平均每天傳染多少只雞？
(2)若疫情得不到控制，則3天后雞的發(fā)病數(shù)會超過1500只嗎？
18．復(fù)習(xí)課上，老師展示了兩道解方程的題目，如表所示：
習(xí)題1 習(xí)題2
…………第一步 …第二步 …………．第三步 ……………．第四步 整理，得……………第一步 ∵，…………第二步 ，…第三步 ∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， 即第四步
(1)分別寫出習(xí)題1和習(xí)題2的解答過程是從第幾步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的；
(2)從以上兩道習(xí)題中任選一題，寫出解答過程．
19．已知：如圖所示，在中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
(1)如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，的面積等于？
(2)在（1）中，的面積能否等于？請說明理由．
20．【知識技能】
材料：若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根為，，則，．
材料：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，求的值．
解：∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，∴，，
則．
【數(shù)學(xué)理解】
（1）一元二次方程的兩個(gè)根為，，則_____，______．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程的兩根分別為，，求的值．
（3）已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值．
《第二十一章 一元二次方程 練習(xí)2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C D A A D C D
1．D
【分析】本題考查了一元二次方程的定義，根據(jù)一元二次方程的定義“等號兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的方程，叫做一元二次方程”依次進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、，不是一元二次方程，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、化簡為，不是一元二次方程，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、不是一元二次方程，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，是一元二次方程，選項(xiàng)正確，符合題意；
故選：D．
2．A
【分析】本題考查了根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況．
先分別寫出各項(xiàng)系數(shù)，，，再求出，根據(jù)其符號判斷根的情況．
【詳解】解：，
，，，
，
∴一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選：A．
3．B
【分析】此題考查了換元法解分式方程，設(shè)，將原方程中的分式項(xiàng)用表示，通過代數(shù)變形消去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程．
【詳解】解：設(shè)，則，
因?yàn)椋?br/>所以，
兩邊同乘，消去分母：，
移項(xiàng)整理得：．
故選：B．
4．C
【分析】本題考查了分式化簡，解分式方程，換元法就是把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代替它，進(jìn)行等量代換．將原方程中的換成，再去分母化簡即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，得，
兩邊同乘，消去分母：，
移項(xiàng)整理得：．
故選：C．
5．D
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用．設(shè)年平均增長率為x，根據(jù)2024年底森林覆蓋率2022年底森林覆蓋率，據(jù)此即可列方程求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
即，
故選：D．
6．A
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，以及分式方程的解，熟練掌握一元二次方程根的判別式與方程解的情況之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．由一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得到根的判別式大于，求出的范圍，表示出分式方程的解，由解為正整數(shù)確定出的值，再求出所有滿足條件的整數(shù)的值之和即可．
【詳解】解：由條件可知：，解得，
分式方程，
去分母得，
解得，
分式方程的解為正整數(shù)，
為負(fù)整數(shù)，
，
，
或或，
整數(shù)或或，
當(dāng)時(shí)，，則有，產(chǎn)生增根，故舍去，
當(dāng)或時(shí)，，滿足條件
則所有滿足條件的整數(shù)的值之和為．
故選：A．
7．A
【分析】本題考查了新定義，根的判別式，根據(jù)新定義，轉(zhuǎn)化得到一元二次方程，再根據(jù)方程的根的判別式判斷即可．
【詳解】解：，
，
，
，
，
原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
故選A．
8．D
【分析】本題主要考查了一元二次方根的判別式，解不等式，一元二次方程的定義等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式．
根據(jù)根的情況和一元二次方程的定義，列出不等式，然后進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得，，
解得，
當(dāng)，即時(shí)，不符合題意，
∴，
綜上，且，
故選：D．
9．C
【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，利用平移和長方形的面積公式，列出一元二次方程即可．
【詳解】解：設(shè)道路的寬為，由題意，得：；
故選C．
10．D
【分析】此題考查了一元二次方程綜合．熟練掌握方程解的含義，根與判別式的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．
一元二次方程的有關(guān)性質(zhì)．一元二次方程解的含義，代數(shù)變形，一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，逐一分析每個(gè)命題的正確性，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】命題①：∵方程有兩個(gè)不等實(shí)根，
∴根判別式．
∴原方程的判別式為，
原方程必有兩個(gè)不等實(shí)根．
∴①正確．
命題②：∵是方程的根，
∴，
∴．
∴．
∴②正確．
命題③：∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴．
存在實(shí)數(shù)m、n滿足此條件（如取，）．
∴③正確．
命題④：∵c是方程的根，
∴，
∴．
當(dāng)時(shí)，方程成立但不一定為0．
∴④錯(cuò)誤．
綜上，正確的命題為①②③，
故選：D．
11．
【分析】本題考查的是一元二次方程的解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系，以及整體的思想，熟練掌握一元二次方程的解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
【詳解】解：∵a，b是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴
∴
∵a，b是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，
∴
故答案為：．
12．或
【分析】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程以及換元法的應(yīng)用，熟練掌握因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．將方程兩邊同時(shí)除以（，若，代入方程得，則，與矛盾），轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，再求解．
【詳解】解：∵，，
∴，方程兩邊同時(shí)除以得：
，
設(shè)，則方程變?yōu)椋?br/>，
∴或，
解得或，即或，
故答案為：或．
13．
【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式．
利用一元二次方程根的判別式列出不等式，然后求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得，
，
解得，
故答案為：．
14．
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，分別求出第一輪和第二輪傳染后患流感的人數(shù)，即得方程．
【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，第一輪傳染后患流感的人數(shù)為：，第二輪傳染后患流感的人數(shù)為：，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感，可列方程為：．
故答案為：．
15．/
【分析】本題考查了利用圖形求一元二次方程的解，先把方程化為指定的形式，根據(jù)題意，得，確定，繼而得到大正方形的面積為，從而得到方程的正數(shù)解為計(jì)算即可．
【詳解】解：由得，
∵陰影部分的面積為，
∴，
根據(jù)題意，得，
∴，
∴大正方形的面積為，
∴方程的正數(shù)解為，
故答案為：．
16．(1)，
(2)，
【分析】本題考查了公式法求解一元二次方程，因式分解法求解一元二次方程，解題關(guān)鍵是掌握上述一元二次方程求解方法．
（1）用公式法求解；
（2）用因式分解法求解．
【詳解】（1）解：，
，，，
，
，
即，；
（2），
移項(xiàng)，得，
所以，
所以或，
解得：，．
17．(1)每只發(fā)病的雞平均每天傳染7只雞
(2)若疫情得不到控制，3天后雞的發(fā)病數(shù)會超過1500只
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)每只發(fā)病雞平均每天傳染只雞，根據(jù)“第一天發(fā)現(xiàn)3只雞發(fā)病．到第三天共有192只雞發(fā)病”，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)3天后雞的發(fā)病數(shù)天后雞的發(fā)病數(shù)，即可求出3天后雞的發(fā)病數(shù)，再將其與1500進(jìn)行比較即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)每只發(fā)病雞平均每天傳染只雞，
依題意，得：，
解得：， （不合題意，舍去）．
答：每只發(fā)病的雞平均每天傳染7只雞．
（2）解：（只），．
答：若疫情得不到控制，3天后雞的發(fā)病數(shù)會超過1500只．
18．(1)習(xí)題1從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；習(xí)題2從第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；
(2)見解析．
【分析】此題考查了解一元一次方程和解一元二次方程，熟練掌握解方程的步驟和方法是關(guān)鍵．
（1）根據(jù)解方程的步驟進(jìn)行判斷即可；
（2）按照正確的步驟和方法解方程即可．
【詳解】（1）解：習(xí)題1去分母時(shí)常數(shù)項(xiàng)沒有乘以分母的最小公倍數(shù)，即從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；習(xí)題2常數(shù)項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，即從第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；
（2）
…………第一步
…第二步
…………．第三步
……………．第四步
整理，得……………第一步
∵，…………第二步
，…第三步
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則
即第四步．
19．(1)1秒后的面積等于
(2)的面積不可能等于，理由見解析
【分析】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，的面積等于，根據(jù)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，表示出和的長可列方程求解．
（2）通過根的判別式即可判定能否達(dá)到，即可作答．
【詳解】（1）解：∵其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)
∴
設(shè)經(jīng)過x秒以后面積為，
則，
整理得：，
∴
解得：（舍去），
答：1秒后的面積等于；
（2）解：的面積不能等于，理由如下：
設(shè)經(jīng)過t秒以后面積為，
則，
整理得：，
，
∴此方程無解，
故的面積不能等于．
20．（），；（）；（）．
【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，通過完全平方公式進(jìn)行變形求值，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
（）利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解；
（）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，由，再代入即可求解；
（）根據(jù)題意可得、可看作方程的兩根，則，，由，再代入即可求解．
【詳解】解：（）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，；
故答案為：，；
（）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，
∴
；
（）∵實(shí)數(shù)，滿足，，且，
∴、可看作方程的兩根，
∴，，
∴
，
∴．

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