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2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．在空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于軸的對稱點為點，若點關(guān)于平面的對稱點為點，則（ ）
A． B． C． D．
2．若平面的法向量為，平而的法向量為，直線的方向向量為，則（ ）
A. 若，則1 B. 若，則2
C. 若，則 D. 若，則
3．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，，，若三點共線，則的值為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，空間四邊形OABC中，，點M在OA上，且，點N為BC中點，則等于（ ）
A. B.
C. D.
5．若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（ ）
A． B． C． D．
6．，，是從點P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，，，分別是射線，，上的點，且，，，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點，則點E到直線的距離為（ ）．
A． B． C． D．
7．如圖，在正方體中，是中點，點在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，在直三棱柱中，，，是線段的中點，在內(nèi)有一動點（包括邊界），則的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．下列給出的命題正確的是（ ）
A．若為空間的一組基底，則也是空間的一組基底
B．點為平面上的一點，且，則
C．若直線的方向向量為，平面的法向量，則或
D．兩個不重合的平面的法向量分別是，，則
10．已知四面體滿足，則（ ）
A．直線與垂直
B．二面角平面角的余弦值為
C．向量在向量上的投影為
D．四面體的體積為
11．已知正方體的棱長為分別為棱的中點，則（ ）
A．直線與所成的角為
B．
C．二面角的余弦值為
D．點到平面的距離為
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知平面經(jīng)過點，且向量是平面的法向量，則點到平面的距離為 ．
13．如圖，二面角的棱上有兩個點，線段與分別在這個二面角兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱．若二面角的平面角為，且，，則 ．
14．在空間直角坐標(biāo)系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是平面與平面的交線，則直線與平面所成角的正弦值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）已知向量，，．
（1）若，求；
（2）若三個向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，求實數(shù)的值．
16.（15分）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，為的中點．
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積；
(3)求二面角的余弦值．
17.（15分）如圖，等腰梯形中，，于點，且．沿把折起到的位置，使．
(1)求證：平面．
(2)線段上是否存在點，使得平面．若存在，指出點的位置并證明；若不存在，請說明理由．
18.（17分）如圖，在四棱錐中，底面，，，.
(1)求證：平面平面.
(2)若為的中點，且，
（ⅰ）求證：四棱錐的各個頂點都在一個球的球面上，并求該球的半徑；
（ⅱ）求二面角的余弦值.
19.（17分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，底面為等邊三角形，平面平面，點分別是的中點.
(1)證明：平面平面；
(2)若，點在直線上，且平面與平面的夾角的余弦值為，求線段的長.
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D A B C C A C CD AD ACD
6.
如圖所示，為的中點，則，，又，
，，，點E到直線DF的距離為．
7.【解析】如圖，設(shè)正方體棱長為1，，則，
以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則，故，
又，則，所以.
在正方體中，可知體對角線平面，
所以是平面的一個法向量，所以.
所以當(dāng)時，取得最大值，當(dāng)或1時，取得最小值.所以.
8.【詳解】以為原點，所在直線為軸，過點且平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，所以，，．
設(shè)A關(guān)于平面的對稱點為，，則，．
設(shè)平面的法向量，則，令，則，，所以，
所以A與到平面的距離，
即 ①．又，所以，即 ②．
由①②得，由可得，，，
所以，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線時取等號，
所以的最小值為．
10.【詳解】如圖，構(gòu)造長方體，因，
則可得，此時四面體符合題目條件.
建立空間直角坐標(biāo)系，則，
對于A，由長方體的特征可知，又底面為正方形，即，
所以，故A正確；
對于B，易知，
設(shè)平面和平面的法向量分別為，
則故可取；
則，故可取.
設(shè)銳二面角的平面角為，則，故B錯誤；
對于C，易知，
則在上的投影為，故C錯誤；
對于D，由圖易知四面體的體積等于長方體的體積減去四個大小相同的小三棱錐的體積，
即，故D正確.
故選：AD
11.對于A，如圖（1），連接分別為棱的中點，，
則直線與所成的角為，而為等邊三角形，則，
故直線與所成的角為，故A正確.
對于B，設(shè)為的中點，連接，如圖（1），由于，而與相交，
直線異面，故B錯誤；對于C，如圖（2），記，則，連接，
.又四邊形為正方形，，
故為二面角的平面角，又，在中，，故C正確.對于D，平面即平面，顯然⊥平面，又平面，所以平面平面，
故點到平面的距離等于點到的距離，即，
在正方形中易得此距離為，故D正確.
12.，由點到平面的距離公式，可知．
13.
14.【詳解】由題意可知平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，
平面的一個法向量為，設(shè)直線的方向向量為，則，
故，即，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，故答案為：
15.（13分）【解析】（1）已知，，可得,解得.
所以，則.
根據(jù)向量模的計算公式可得.
（2）已知，，,
先求出. 因為三個向量不能構(gòu)成空間的一個基底，所以這三個向量共面. 即存在實數(shù)，使得，.
由此可得方程組由可得，將其代入中，得到，解得. 把代入，可得. 再把，代入，可得，解得.
16.【詳解】（1）取中點，連接，
為的中點，為中點，所以，且，
又，，，，
所以有，且，
所以四邊形為平行四邊形，
則，又平面，平面，所以//平面．
（2）底面是直角梯形，，平面，平面，
所以//平面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，
所以三棱錐的體積，
又為的中點，則點到平面的距離等于點到平面的距離的一半，
所以，又，，，所以，故，
又，，所以，平面平面，且平面平面，
又平面，所以平面，故.
（3）因為平面平面，且其交線為，又平面，，
所以平面，取的中點，連接，在中，，分別為，的中點，
所以，,則平面，過作于，連接，則有，
所以為二面角的平面角， 在直角梯形中，，，所以，所以，又，所以，在中，，所以，即二面角的余弦值為．
17.【詳解】（1）證明：∵，∴．
∵在等腰梯形中，，∴在四棱錐中，．又，平面，∴平面．又∵平面，∴．∵在等腰梯形中，，，且，∴，，，由勾股定理得，故，∴，∴由勾股定理逆定理得．∵，平面，∴平面．
（2）∵，平面，∴．
（3）線段上存在一點，使得平面，為的中點，證明如下：
證明：取的中點，的中點，連結(jié)，，．
∵，分別為，的中點，∴且．
∵且，∴且，
∴且，∴四邊形為平行四邊形，
∴．又∵平面，平面，∴平面．
18.【詳解】（1）證明：因為，所以.
因為底面，平面，所以.
因為，平面，平面，所以平面.
因為平面，所以平面平面.
（2）（ⅰ）證明：連接，，因為平面，平面，所以，因為為的中點，所以，同理，有，因為底面，平面，所以，因為為的中點，所以，因此，所以為四棱錐的外接球的球心.按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，取的中點，連接，易知為底面四邊形外接圓的圓心.則，設(shè)，則，，，，，
由，得，即，得，故，.
故四棱錐的外接球半徑為.

（ⅱ）解：由（ⅰ）知，，
設(shè)平面的法向量為，由得
則，取，，得平面的一個法向量為，
設(shè)平面的法向量為，，，由得解得，令，得，故.
設(shè)二面角的平面角為，則.
故二面角的余弦值為.
19.【詳解】（1）如圖，取的中點，連接，因為側(cè)面為菱形，，
所以.又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.又因為是的中點，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面.又平面，所以平面平面.
（2）連接，因為為等邊三角形，則.
所以兩兩垂直.則以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，因為AB=2，所以.故，.設(shè)，則，即.，.設(shè)平面的一個法向量為，則則，取，則，.
故平面的一個法向量為.又由（1）可知平面的一個法向量為，由題意可得，即.
解得.又，所以，線段CF的長為2.

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