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第一章 勾股定理 單元試卷
學校:___________姓名:___________班級:___________考號:___________
一、單選題
1．下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．如圖，有一塊三角形空地，它的三條邊線分別長和，已知長的邊線為南北向，則長的邊線方向為（ ）
A．東西向 B．東北向 C．東南向 D．西北向
3．“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖，大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為，，那么的值是（ ）
A．25 B．20 C．16 D．12
4．汕尾城區“網紅打卡景點”——小島漁村（嶼仔島），為便于市民、游客通行，物流交往，現已在小島與湖濱大道碼頭之間修建一座橋（如圖），在與方向成角的方向上的點處測得，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，在中，，，，以為邊作正方形，則正方形的面積是（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，分別以線段兩端點為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點和點，作直線，在直線上任取一點，使得，連接，過點作的垂線交延長線于點，若，則的長是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
7．在如圖所示的圖形中，所有四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面積依次為5、9、6，則正方形D的面積是（ ）
A．8 B．14 C．20 D．25
8．如圖，小麗在公園里蕩秋千，在起始位置處擺繩與地面垂直，擺繩長，向前蕩起到最高點處時距地面高度，擺動水平距離為，然后向后擺到最高點處.若前后擺動過程中繩始終拉直，且與成 角，則小麗在處時距離地面的高度是（ ）
A. B. C. D.
9．古算趣題：“笨人執竿要進屋，無奈門框攔住竹．橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭．有個鄰居聰明者，教他斜竿對兩角，笨伯依言試一試．不多不少剛抵足．借問竿長多少數，誰人算出我佩服，”大意是：一人拿著一根竹桿進屋內，竹桿比門寬多4尺，比門高多2尺，如果竹桿斜著進門，恰好通過．若設竹桿的長為x尺，則可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
10．如圖，圓柱底面半徑為，高為,點,分別是圓柱兩底面圓周上的點，且點在點的正上方，用一根棉線從點順著圓柱側面繞3圈到點，則這根棉線的長度最短為（ ）
（第4題圖）
A. B. C. D.
二、填空題
11．若三角形的三邊長、、滿足，則這個三角形是 三角形．
12．如圖，在中，，為邊上一點，且滿足，若的面積為24，則的長為 ．
13．學校需要測量旗桿的高度，同學們發現系在旗桿的繩子垂到了地面，并多出了一段，經測量繩子垂直落地后還剩1米（如圖1）．將繩子拉直，繩子末端在地面上離旗桿底部的距離米（如圖2），則旗桿的高度為 ．
14．《九章算術）是我國古代數學名著，書中有下列問題：“今有戶高多于廣六尺，兩隅相去適一丈．問戶高、廣各幾何？”其意思為：今有一門，高比寬多6尺，門對角線距離恰好為1丈，問門高、寬各是多少？（1丈=10尺）如圖，設門高AB為x尺，根據題意，可列方程為 （將方程化簡并寫成一般形式）．
15．如圖，在中，，，分別以為一邊向外部作正方形，它們的面積分別為、，則的值為 ．
16．一棵樹在離地面處折斷，樹的頂端落在離樹干底端處，這棵樹折斷之前的高度是 ．
17．如圖，某公園小山坡有一處草坪風景欣賞區．坡頂到水平面的高度為20米，坡底到點的距離為100米．為方便游人觀賞，公園需要在之間修建一條小路．方案一：在之間修建一條筆直的小路；方案二：在之間沿著斜坡修建折線小路．方案二比方案一線路長 米．
18．古代著作《九章算術》中記載：今有池方一丈，臀生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，水深幾何？如圖，其大意是：有一個邊長為8尺的正方形池塘，一棵蘆葦生長在它的正中央，高出水面1尺．如果把該蘆葦拉向岸邊，那么蘆葦的頂部恰好碰到岸邊，則水深 尺．
三、解答題
19．如圖，在中，是上的點，連接，，，，，求的長．
20．如圖所示的一塊地，已知米，米，，米，米，求這塊地的面積．
21．如圖，一根直立的旗桿高，因刮大風旗桿從點C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A的距離為．
(1)求旗桿在距地面多高處折斷；
(2)在折斷點C的下方的點P處，有一明顯裂痕，如果本次大風將旗桿從點P處吹斷，那么行人在距離旗桿底部處是否有被砸到的風險？
22．“兒童散學歸來早，忙趁東風放紙鳶”．又到了放風箏的最佳時節．某校八年級（1）班的小明和小亮學習了“勾股定理”之后，為了測得風箏的垂直高度，他們進行了如下操作：①測得水平距離的長為15米；②根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為25米；③牽線放風箏的小明的身高為米．
（1）求風箏的垂直高度；
（2）如果小明想風箏沿方向下降12米，則他應該往回收線多少米？
23．如圖，在中，，點在邊上運動，點在邊上，始終保持與相等，的垂直平分線，交于點，交于點，連接．
(1)求的度數．
(2)若，，，求線段的長．
24．定義：為正整數，若，則稱為“完美勾股數”，為的“伴侶勾股數”．如，則13是“完美勾股數”，5，12是13的“伴侶勾股數”．
（1）判斷填空：數__________“完美勾股數”（填“是”或“不是”）；
（2）已知的三邊滿足．求證：是“完美勾股數”．
參考答案
1．【答案】D
【分析】此題考查了三角形的三邊關系，勾股定理逆定理的運用，判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可，注意數據的計算．利用勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形．最長邊所對的角為直角．由此判定即可．
【詳解】解：A、∵，∴三條線段不能組成三角形，故A選項錯誤；
B、 ∵，∴三條線段不能組成直角三角形，故B選項錯誤；
C、 ∵，∴三條線段不能組成三角形，故C選項錯誤；
D、 ∵，∴三條線段能組成直角三角形，故D選項正確；
故選D．
2．【答案】A
【分析】靈活運用所學知識解決問題．利用勾股定理逆定理判斷即可．
【詳解】解∶如圖，，，
∴，，
∴，
∴，
∵長的邊線為南北向，
∴長的邊線方向為東西方向，
故選A．
3．【答案】A
【分析】根據大正方形的面積即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面積即可求得的值，根據即可求解．
【詳解】解：如圖，
∵大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊長為，較長直角邊長為，設大正方形邊長為，
，
，
∴直角三角形的面積是，
又∵直角三角形的較短直角邊長為，較長直角邊長為，
，
，
，
故選A．
4．【答案】D
【詳解】解：由題意得，
∴，
故選．
5．【答案】B
【分析】本題考查勾股定理，掌握相關知識解決問題的關鍵．根據勾股定理可求出，則題目可求．
【詳解】解：在中，，，，
，
．
故選B．
6．【答案】C
【分析】由作圖過程可知，直線為線段的垂直平分線，可得．由勾股定理得，則可得．
【詳解】解：由作圖過程可知，直線為線段的垂直平分線，
∴．
在中，由勾股定理得，，
∴．
故選C．
7．【答案】C
【分析】本題考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的幾何意義，知道直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
根據勾股定理得：，解得即可．
【詳解】解：根據勾股定理得：，
∵正方形A、B、C的面積依次為5、9、6，
∴，
∴正方形D的面積是20．
故選C
8．【答案】A
【詳解】如圖，過點作于點，擺繩所在直線與地面的交點為.由題意可知，，，，， ， ， ，.在和中，
，，，即小麗在處時距離地面的高度是，故選.
【關鍵點撥】
熟練掌握勾股定理以及全等三角形的性質與判定是解題的關鍵.
9．【答案】B
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用（與圖形有關的問題），勾股定理等知識點，讀懂題意，根據題中的等量關系正確列出方程是解題的關鍵．若設竹桿的長為尺，則由題意得，門高為尺，門寬為尺，然后根據勾股定理即可得出答案．
【詳解】解：若設竹桿的長為尺，
則由題意得：門高為尺，門寬為尺，
根據勾股定理可得：，
故選．
10．【答案】C
【詳解】將圓柱的展開圖平均分為3個小長方形,如圖所示,則用一棉線從點順著圓柱側面繞3圈到點的最短路線長是 圓柱底面半徑為， 圓柱的高為，， 在中，，.故選.
【關鍵點撥】
利用化曲面為平面的思想，準確畫出圓柱的側面展開圖并結合勾股定理進行計算是解題關鍵.
11．【答案】直角
【分析】本題考查了勾股定理的逆定理．先根據完全平方公式對已知等式進行化簡，再根據勾股定理的逆定理即可判定三角形是直角三角形．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴三角形是直角三角形.
12．【答案】
【分析】本題主要考查了勾股定理，解題的關鍵是掌握勾股定理，在任何一個直角三角形中，兩條直角邊的平方和一定等于斜邊的平方．
先根據面積公式求，再利用勾股定理求出，據此求解．
【詳解】∵，，
∴，
∴
在中，，即，
解得：，
∴.
13．【答案】12 米
【分析】此題考查了勾股定理的應用，設旗桿的高度為x米，則米，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解．
【詳解】解：設旗桿的高度為x米，則米，
在中，，米，
∴，
解得：，
即旗桿的高度為12米．
14．【答案】
【分析】先表示出的長，再利用勾股定理建立方程即可．
【詳解】解：由題可知 丈尺，門的對角線距離恰好為丈，
門的對角線距離恰好為尺，
∵高比寬多尺，設門高 為尺，
∴尺，
∴可列方程為：，
整理得：
15．【答案】
【分析】設，則，根據勾股定理可得，即可求解．
【詳解】解：設，
則
又∵在中，，，
∴
∴的值為.
16．【答案】
【分析】利用勾股定理求出，進而得到，據此可得答案．
【詳解】解：如圖所示，
在中，，，，
，
，
樹折斷之前高.
17．【答案】
【分析】根據題意可得：，在中，利用勾股定理可求出的長，然后利用平移的性質可得：方案二的線路長米，從而進行計算即可解答．
【詳解】解：由題意得：，
在中，米，米，
∴（米），
∴方案一的線路長為米；
由題意得：方案二的線路長（米），
∴方案二比方案一線路長米.
18．【答案】
【分析】設水深尺，則蘆葦的高度為尺，由勾股定理列出方程進行求解即可．
【詳解】解：設水深尺，則蘆葦的高度為尺，由題意，得：，
解得：，
答：水深尺.
19．【答案】的長為
【分析】本題考查勾股定理，勾股定理的逆定理．
根據勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，從而可得，用勾股定理解三角形，可得的長度，與相加，即可得的長．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
答：的長為．
20．【答案】這塊地的面積為24米
【分析】連接，利用勾股定理可以得出和是直角三角形，的面積減去的面積就是所求的面積．
【詳解】解：連接．
由勾股定理可知
（米．
又，
是直角三角形，
故所求面積的面積的面積（米）．
答：這塊地的面積為24米．
21．【答案】(1)旗桿距地面處折斷；
(2)行人在距離旗桿底部處沒有被砸傷的風險．
【分析】（1）設AC長為，則長，根據勾股定理即可得到結論；
（2）如圖，由題意可得，求得．根據勾股定理即可得到結論．
【詳解】（1）解：由題意得，，，
設AC長為，則長，
在中，由勾股定理可得，
，
解得．
答：旗桿在距地面處折斷；
（2）如圖，由題意可得，
∴．
在中，，
因為，
答：行人在距離旗桿底部處沒有被砸傷的風險．
22．【答案】（1）風箏的高度為米
（2）他應該往回收線8米
【分析】（1）利用勾股定理求出的長，再加上的長度，即可求出的高度；
（2）根據勾股定理即可得到結論．
【詳解】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（負值舍去），
所以，（米），
答：風箏的高度為米；
（2）解：由題意得，，
∴，
∴（米），
∴（米），
∴他應該往回收線8米．
23．【答案】(1)
(2)
【分析】（）由得，由等腰三角形和線段垂直平分線的性質可得，進而即可求解；
（）連接 ，由已知可得，，設，則，由勾股定理可得，代入計算即可求解
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是線段的垂直平分線，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：連接，
∵，，
∴，，
設，則，
∵，
∴，
即，
解得，
∴．
24．【答案】（1）是
（2）見詳解
【分析】（1）根據“完美勾股數”的定義判斷即可；
（2）根據完全平方公式求出的值，再根據“完美勾股數”的定義判斷即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴數是“完美勾股數”
（2）證明：
是“完美勾股數”
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