資源簡介

高中數學人教A版（2019）必修第一冊
第四章 指數函數與對數函數 檢測試卷
（總分150分，考試時間120分鐘）
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）
1.設，則的值為（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2.化簡的結果是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2025福建福州三中期中）已知是定義在上的奇函數，則的值為（ ）
A. -3
B. -1
C. 1
D. 3
4.（2025安徽滁州定遠三中開學測試）對數函數（且）與二次函數在同一坐標系內的圖象可能是（ ）
5.（2024江蘇無錫重點中學期中）已知函數（且）的圖象恒過定點M，則函數的圖象不經過（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
6.（2025江西宜春樟樹中學月考）函數的一個單調遞減區間是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.（2025重慶市第八中學校期中）已知函數與的零點分別為和，若存在使得，則實數的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.（2024新課標I，8）設函數，若恒成立，則的最小值為（ ）
A.
B.
C.
D. 1
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）
9.（2024山東省實驗中學階段練習）下列比較大小關系正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.（2025河北邢臺第一中學月考）已知函數，當的定義域為時，實數的取值范圍為集合；當的值域為時，實數的取值范圍為集合，則下列結論錯誤的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.（2025河南許昌期末）設函數，下列說法正確的是（ ）
A. 若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為
B. 若函數有3個不同零點，則實數的取值范圍為
C. 若函數有3個零點（），則的取值范圍為
D. 對任意，函數在上無最小值
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12.函數的定義域為________。
13.（2024北京市朝陽區期末）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，若，則實數的取值范圍為________。
14.已知函數，是不為零的常數，若在區間上的最大值是16，則的值為________。
四、解答題（本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（13分）（2024廣東東莞高級中學、東莞市第六高級中學聯考）
（1）計算：；
（2）計算：。
16.（15分）（2025陜西渭南期中）已知函數（且）。
（1）當時，求函數在上的值域；
（2）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；
（3）若關于的方程有解，求實數的取值范圍。
17.（15分）某學校鼓勵學生課余時間積極參加體育鍛煉，每天能用于鍛煉的課余時間有90 min，現需要制訂一個課余鍛煉考核評分制——每天得分與當天鍛煉時間（單位：min）的函數關系，要求：
①在區間上單調遞增；
②每天鍛煉時間為0 min時，當天得分為0分；
③每天鍛煉時間為30 min時，當天得分為3分；
④每天得分不超過6分。
現有三個函數模型：
（1）（）；
（2）（）；
（3）（）。
（1）請你從中選擇一個合適的函數模型并說明理由，再根據所給信息求出函數的解析式；
（2）若每天得分不少于4.5分，則至少需要鍛煉多少分鐘？（附：，最終結果保留整數）
18.（17分）（2024湖南長沙聯考）俄羅斯航天之父齊奧爾科夫斯基于1903年推導出火箭的理想速度公式為，其中為火箭的初始質量，為火箭燃燒完畢熄火后的剩余質量，稱為火箭的質量比，為火箭的發動機的噴氣速度。100多年來，所有的大小火箭都遵循齊奧爾科夫斯基公式的基本規律，已知某型號火箭的發動機的噴氣速度為第一宇宙速度7900 m/s。
（1）當該型號火箭的質量比為10時，求該型號火箭的理想速度；
（2）經過材料更新和技術改進后，某型號火箭的發動機的噴氣速度提高到了原來的2倍，質量比縮小為原來的，若要使火箭的理想速度至少增加3950 m/s，求在材料更新和技術改進前質量比的最小整數值。（參考數據：，，）
19.（17分）（2025河南省九校聯盟月考）定義：若對函數定義域內任意，都有（為正實數），則稱函數為“距”減函數。
（1）若，，判斷是否為“1距”減函數，并說明理由；
（2）若是“距”減函數，求實數的取值范圍；
（3）若，，其中，且是“2距”減函數，求實數的取值范圍及的最大值。
一、單選題
1.答案：C
解析：分段計算：
先算內層：，代入，得；
再算外層：，代入，得。
2.答案：B
解析：先統一根號內符號（，否則根號無意義）：
原式變形：；
因，故？ 修正：符號錯誤，，則，但根號內需，故結果為。
3.答案：B
解析：奇函數滿足（定義域為）：
；
驗證：，符合奇函數定義。
4.答案：A
解析：分和討論：
當時：對數函數遞增；二次函數開口向上，對稱軸；
當時：對數函數遞減；二次函數開口向下，對稱軸；
綜上，A正確。
5.答案：C
解析：先求定點：
指數函數恒過，故，即，；
函數，圖象為水平直線，不經過第三、四象限？ 原題選項C為第三象限，故答案為C（原解析誤算，修正后）。
6.答案：C
解析：根據題目，函數 （ 且 ）的圖像恒過定點 。
當 即 時，，所以定點 為 ，即 , 。
因此，函數 。
分析 的圖像：
當 ，，所以 （y > 0）。
當 ，，所以 （y < 0）。
方程 即 ，解得 ，所以圖像經過點 。
考慮象限：
當 ，（因為 ），所以圖像經過第二象限（x < 0, y > 0）。
當 ，，所以圖像經過第一象限（x > 0, y > 0）。
當 ，，所以圖像經過第四象限（x > 0, y < 0）。
對于第三象限（x < 0, y < 0），當 時 ，因此圖像從不經過第三象限。
7.答案：B
解析：根據圖中題目，函數 單調遞增，且 ，因此零點 。要求函數 的零點 滿足 ，即 。
令 ，則當 時，。方程 化為 。考慮函數 在 上的值域：
在 處取最小值 ，
，
。
因此， 的值域為 ，故實數 的取值范圍是 。
8.答案：C
解析：解法一：分情況討論
當 （即 ）時，需 ，即 ，所以 。
當 （即 ）時，需 ，即 ，所以 。
為了使不等式對所有 恒成立，必須有 ，即 。
代入 。
這是一個二次函數，當 時， 取最小值 。
解法二：圖像分析
令 和 ，兩者在定義域上均單調遞增。
由于 ，且 和 在公共定義域上的函數值同正、同負或同為零，它們的圖像應交于 x 軸上同一點。
設點 ，因為 。代入 得 ，即 。
同樣計算 ，最小值為 ，當 時取得。
綜上， 的最小值為 。
二、多選題
9.答案：BC
解析：逐一比較：
A：指數函數遞減，，故，錯誤；
B：對數函數（）遞增，故，正確；
C：，，故，正確；
D：由C知，錯誤。
10.答案：ABC
解析：當 的定義域為 ,這意味著 恒成立。
顯然 不合題意（因為此時為一次函數，不恒大于零），因此需要：
解得 ，即集合 。
當 的值域為 ,這意味著 應取遍所有正數（即值域包含 ）。
當 時， 的值域為 ，符合題意。
當 時，需要：
解得 。
綜上所述，集合 。
集合操作
因此，選項 D 正確，所以選ABC。
三、填空題
12.答案：
解析：定義域需滿足：
對數真數>0：；
分母根號內>0：；
綜上，。
13.答案：
解析：奇函數且單調遞增（時遞增，奇函數圖象關于原點對稱）：
；
單調遞增故。
14.答案：或14
解析：，分和討論：
當時，在遞增，最大值在：；
當時，在遞減，最大值在：。
四、解答題
15. 解：
(1) 首先，分解每個部分：
因此，
最后，
將這些結果代入原式中，得到：
(2) 逐步分析每個部分：
，這是因為 。
，這里利用了對數的換底公式 和 。
。
。
因此，原式可以簡化為：
16. 解：
(1) 分段分析：
時，遞減，值域；
時，遞減，值域；
整體值域。
(2) 時遞增，故；
同時需滿足分段函數在處連續（可選）：，矛盾，故僅需。
(3) 分兩段：
時，，或，故或；
時，，；
綜上，且。
17. 解：
(1) 選擇模型(3)，理由：
模型(1)：線性函數會超過6分（如時），不符合④；
模型(2)：指數函數增長過快，會超過6分，不符合④；
模型(3)：對數函數增長緩慢，符合所有條件。
代入條件求參數：
②時：；
③時：；
驗證④：時，符合；
解析式：。
(2) 列不等式：
，故；
至少鍛煉55分鐘。
18. 解：(1) 代入公式，，：
(2) 設改進前質量比為，改進后，：
改進前速度，改進后速度；
由：
化簡：；
最小整數值為7。
19. 解：(1) 需驗證（）：
因（），故，則；
即，故是“1距”減函數。
(2) 需對任意成立：
整理為關于的二次函數：；
需二次函數恒負，故（開口向下）且；
解得。
(3) 是“2距”減函數，需（）：
化簡：；
設，求其最大值，得；
在遞減，最大值為。

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