資源簡介

思想方法集錦
方法一　整體法
1．(4分)當x＝1時，ax4＋bx2＋2＝－3.當x＝－1時，ax4＋bx2－2的值為(　D　)
A．3 B．－3
C．－5 D．－7
2．(4分)若式子2a2－4b－5的值為59，則式子 a2－2b－5＝__27__．
3．(4分)若a，b互為相反數(b≠0)，c，d互為倒數，且b≠0，則(a＋b)2 022＋(cd)2 023＋的值為__2__．
4．(10分)有這樣一道題：“如果代數式5a＋3b的值為－4，那么代數式 2(a＋b)＋4(2a＋b)的值是多少？”愛動腦筋的小明同學解題過程如下：
原式＝2a＋2b＋8a＋4b
＝10a＋6b
＝2(5a＋3b)
＝2×(－4)
＝－8.
小明同學把5a＋3b作為一個整體求解．整體思想是中學數學解題中的一種重要思想方法．
請仿照上面的解題方法，完成下面的問題：
(1)若 a2＋a＝3，則2a2＋2a＋2 024＝__2_030__；
(2)若a－2b＝－3，則3(a－b)－7a＋11b＋2的值為__14__；
(3)已知 a2＋2ab＝－5，ab－2b2＝－3，求代數式 a2＋ab＋2b2的值．
解：(3)－2
方法二　分類討論法
5．(4分)已知|x|＝3，|y|＝2，x＜y，則x＋y的值為(　D　)
A．－1 B．－5
C．1或5 D．－1或－5
6．(8分)如圖，已知直角三角形ABC的兩條直角邊長分別為3 cm，2 cm，以該三角形的一條直角邊所在直線為軸，將其旋轉一周，形成什么幾何體？并求其體積．(結果保留π)
解：繞它的一條直角邊所在直線旋轉一周，形成的幾何體是圓錐，得到的幾何體的體積是4πcm3或6πcm3.
方法三　數形結合思想
7．(4分)數軸上與原點的距離為5的點有(　B　)
A．3個 B．2個
C．1個 D．0個
8．(4分)已知 a，b 在數軸上的位置如圖所示，則 a，b，－a，－b的大小關系為(　C　)
A．a>b>－a>－b
B．a>－a>－b>b
C．－b>a>－a>b
D．－b>a>b>－a
9．(4分)在解決數學實際問題時，常常用到數形結合思想，比如，|x＋1|的幾何意義是數軸上表示數x的點與表示數－1的點之間的距離，|x－2|的幾何意義是數軸上表示數x的點與表示數2的點之間的距離．當|x＋1|＋|x－2|取得最小值時，x的取值范圍是(　C　)
A．x≤－1 B．x≤－1或x≥2
C．－1≤x≤2 D．x≥2
解析：如圖，由＝，可得點A，B，P分別表示數－1，2，x，AB＝3.
因為|x＋1|＋|x－2|的幾何意義是線段PA與PB的長度之和，
所以當點P在線段AB上時，PA＋PB＝3，當點P在點A的左側或點B的右側時，PA＋PB>3.
所以|x＋1|＋|x－2|取得最小值時，x的取值范圍是－1≤x≤2.
10．(10分)數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法．如圖(1)，將一個邊長為1的正方形紙片分割成7個部分，①部分的面積是正方形面積的一半，②部分的面積是①部分的面積的一半．
依此類推，陰影部分的面積是＝，
所以＝1－．
第10題圖
如圖(2)，若按這樣的方式繼續分割下去，受上述材料的啟發計算＋…＋的值．
解：因為正方形邊長為1，
所以正方形面積為1．
因為①是邊長為1的正方形紙片面積的一半，
所以①的面積為．
依此類推，②的面積為＝，③的面積為＝，
……
所以求＋…＋的值，即為求將圖形分割下去剩余部分的面積．
所以此時剩余部分的面積為．
所以＋…＋＝1－.
方法四　統計思想
11．(10分)某中學六年級數學社團隨機抽取部分學生，對“錯題整理習慣”進行問卷調查．他們設計了“你對自己做錯的題目進行整理糾錯嗎？”這一問題，答案選項為“A：很少，B：有時，C：常常，D：總是”．將調查結果進行整理，并繪制成部分統計圖如圖．
請根據圖中信息，解答下列問題：
(1)本次參與調查的共有__200__名學生；
(2)補全條形統計圖，并求出“很少”所對應的扇形圓心角的度數為__43.2°__；
(3)若該校有3 000名學生，請你估計其中總是對做錯的題目進行整理糾錯的學生人數．
解：(2)“常常”所對應的人數為200×30%＝60(人).
補全條形統計圖如圖所示．
“很少”所對應的扇形圓心角的度數為×360°＝43.2°.
故答案為43.2°.
(3)3 000×＝1 080(人)．
答：總是對做錯的題目進行整理糾錯的學生有1 080人．
12．(10分)某市為調查學生的視力變化情況，從全市六年級學生中抽取了部分學生，統計了每個人連續三年視力檢查的結果，并將所得數據處理后，制成如下折線統計圖和扇形統計圖．
請根據圖中信息，解答下列問題：
(1)扇形D的圓心角度數是__36°__．
(2)該市共抽取了多少名六年級學生？
(3)若該市共有8萬名六年級學生，請你估計該市六年級視力較好(5.0及以上)的學生人數．
解：(2)因為抽取的六年級學生2024年的視力在4.9以下的人數為1 200人，占40%，
所以抽取了1 200÷40%＝3 000(人)．
(3)(10%＋20%)×80 000＝24 000(人)．
答：估計該市六年級視力較好(5.0及以上)的學生有24 000人．
方法五　轉化思想
13．(4分)若圓柱的底面圓半徑為5 cm，高為12 cm，則圓柱的側面展開圖的面積是__120π__cm2.
14．(12分)觀察下列等式＝1－，＝，＝，…．
(1)猜想并寫出＝____；
(2)探究并計算：＋…＋；
(3)探究并計算：＋…＋.
解：(2)＋…＋
＝1－＋…＋
＝1－
＝.
(3)＋…＋
＝
＝
＝
＝.
方法六　從特殊到一般的思想
15．(4分)觀察下列算式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，…，則 72 024的末位數字為(　A　)
A．1 B．3
C．7 D．9
解析：因為71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，…，
所以個位數字以7，9，3，1為一循環．
因為2 024÷4＝506，
所以 72 024的末位數字為1.
16．(4分)觀察下列一組等式：1×3＋1＝22；2×4＋1＝32；3×5＋1＝42；4×6＋1＝52……你發現了什么規律？請你把所發現的規律用含n的等式寫出來__n(n＋2)＋1＝(n＋1)2__．
解析：因為第1個等式為1×3＋1＝22，
第2個等式為2×4＋1＝32，
第3個等式為3×5＋1＝42，
第4個等式為4×6＋1＝52，
……
第n個等式為n(n＋2)＋1＝(n＋1)2．
方法七　類比思想
17．(4分)為了求1＋2＋22＋23＋…＋22 023的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22 023，則2S＝2＋22＋23＋…＋22 023＋22 024，因此2S－S＝22 024－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22 023＝22 024－1.請仿照以上推理計算：1＋4＋42＋43＋…＋42 023的值是(　D　)
A．42 100－1
B．
C．42 024－1
D．
解析：令S＝1＋4＋42＋43＋…＋42 023，
則4S＝4＋42＋43＋44＋…＋42 024．
因此4S－S＝42 024－1，
所以3S＝42 024－1，即S＝.
所以1＋4＋42＋43＋…＋42 023＝．
18．(12分)[問題發現]
(2×3)2＝36，22×32＝4×9＝36，于是(2×3)2＝22×32；
(－1×4)3＝－64，(－1)3×43＝－1×64＝－64，于是(－1×4)3＝(－1)3×43．
(1)填空：＝____，×52＝____．
[結論概括]
(2)當n為正整數時，(ab)n＝__anbn__．
[知識遷移]
(3)計算：－82 024×(－0.125)2 024＝__－1__．
(4)計算：－24－.
解：(4)原式＝－16－
＝－16－
＝－16－[－4＋7×(－1)]×
＝－16－(－11)×
＝－16＋
＝－14.
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