資源簡介

創新考向集訓
創新考向一　規律探究
1．(4分)用正方形按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有 5個正方形，第②個圖案中有9個正方形，第③個圖案中有13個正方形，第④個圖案中有17個正方形，按此規律排列下去，則第⑨個圖案中正方形的個數為(　C　)
A．32 B． 34
C． 37 D． 41
2．(4分)將正整數按如圖所示的位置順序排列：
根據排列規律，2 024應在(　C　)
A．A處 B． B處
C． C處 D． D處
解析：設第n個A位置的數為 An，第n個B位置的數為 Bn，第n個C位置的數為 Cn，第n個D位置的數為Dn，
觀察，發現規律：A1＝2，B1＝3，C1＝4，D1＝5，A2＝6，B2＝7，C2＝8，D2＝9，A3＝10，…，
所以An＝4n－2，Bn＝4n－1，Cn＝4n，Dn＝4n＋1(n為自然數)．
因為2 024＝506×4，所以2 024應在C處．
3．(4分)觀察下列單項式：，…，請寫出第8個單項式：__－2_187x8__．
解析：因為n為偶數時，單項式為負數；n為奇數時，單項式為正數，x的指數為n，(－3)的指數為n－1，
所以依題意得第8個式子是(－3)7x8＝.
故答案為－2 187x8.
創新考向二　傳統文化
4．(4分)中國古代數學著作《九章算術》中，將兩底面是直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”．將一個“塹堵”按如圖所示的方式擺放，則從左邊看該立體圖形得到的形狀圖為(　B　)
5．(4分)南宋數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了(a＋b)n(n為非負整數)展開式的項數及各項系數的有關規律，如表所示，后人也將此表稱為“楊輝三角”．
則(a＋b)7展開式中所有項的系數和是(　A　)
A．128 B．256
C．512 D．1 024
創新考向三　新定義
6．(8分)我們定義一種新運算：a※b＝a－b＋ab．
(1)求3※(－2)的值；
(2)求(－5)※[1※(－2)]的值．
解：(1)原式＝3－(－2)＋3×(－2)＝3＋2－6＝－1.
(2)1※(－2)＝1－(－2)＋1×(－2)＝1＋2－2＝1，則原式＝(－5)※1＝－5－1＋(－5)×1＝－6－5＝－11.
7．(10分)有理數a，b，c在乘法運算中，滿足①交換律：ab＝ba；②乘法對加法的分配律：c(a＋b)＝ca＋cb.現對a b這種新運算作如下定義，規定：a b＝ab＋a＋b．
(1)計算：(－2) 3和3 (－2)的值，想一想：這種運算是否滿足交換律？
(2)舉例說明：這種運算是否滿足對加法的分配律？
解：(1)根據題中的新定義，得(－2) 3＝－2×3－2＋3＝－5，3 (－2)＝3×(－2)＋3－2＝－5.這種運算滿足交換律．
(2)因為3 (－2＋1)＝3 (－1)＝3×(－1)＋3－1＝－1，3 (－2)＋3 1＝3×(－2)＋3－2＋3×1＋3＋1＝2，－1≠2，所以這種運算不滿足對加法的分配律．
創新考向四　閱讀感悟
8．(12分)給出定義如下：我們稱使等式a－b＝ab＋1成立的一對有理數a，b為“相伴有理數對”，記為(a，b)．
如：3－＝3×＋1，5－＝5×＋1，所以數對，都是“相伴有理數對”．
(1)在數對(－2，3)，(1，－1)中，是“相伴有理數對”的是__(－2，3)__；
(2) 若(a，b)是“相伴有理數對”，求3ab－a＋(a＋b－5ab)＋1的值．
解：(1)當a＝－2，b＝3時，
a－b＝－2－3＝－5，
ab＋1＝－2×3＋1＝－5，
則a－b＝ab＋1，
所以(－2，3)是“相伴有理數對”．
當a＝1，b＝－1時，
a－b＝1－(－1)＝1＋1＝2，
ab＋1＝1×(－1)＋1＝0，
則a－b≠ab＋1，
所以(1，－1)不是“相伴有理數對”．
所以在數對(－2，3)，(1，－1)中，是“相伴有理數對”的是 (－2，3)．
故答案為(－2，3)．
(2)3ab－a＋(a＋b－5ab)＋1
＝3ab－a＋a＋b－ab＋1
＝ab－a＋b＋1
＝ab－(a－b)＋1.
因為a－b＝ab＋1，
所以原式＝ab－(ab＋1)＋1
＝ab－ab－＋1
＝.
9．(10分)閱讀材料：計算÷.
分析：利用通分計算的過程很麻煩，可以采用以下方法進行計算．
解：原式的倒數是
÷
＝×30
＝×30－×30＋×30－×30
＝10．
故原式＝．
請你根據對材料的理解，選擇合適的方法計算：
÷.
解：原式的倒數是
÷
＝×48
＝4－9＋10＋32
＝37.
故原式＝.
10．(12分)[閱讀材料]用“割尾法”判斷一個三位數能否被7整除．
方法：三位數 割掉末位數字c得兩位數 ，再用 減去c的2倍所得的差為 －2c.若 －2c是7的倍數，則 能被7整除．
舉例：對于三位數364，割掉末位數字4得36，36－4×2＝28.因為28是7的倍數，所以364能被7整除．
[類比解決](1)嘗試用“割尾法”判斷455能否被7整除．
[推理驗證]已知三位數 .
(2)請用含a，b，c的代數式表示 和 －2c.
(3)現在對材料中的判斷方法“若 －2c是7的倍數，則 能被7整除”進行驗證，下面是思路分析．
分析：要證 能被7整除，需把 表示成7的倍數．
已知 ＝100a＋10b＋c＝10(10a＋b)＋c.①
因為 －2c是7的倍數，可設 －2c＝7k(k為整數)．②
只需把②式變形代入①式即可驗證．
請根據上述分析寫出驗證過程．
解：(1)能．理由如下：
對于三位數455，割掉末位數字5得45，45－5×2＝35.
因為35是7的倍數，
所以455能被7整除．
(2)＝100a＋10b＋c，
－2c＝10a＋b－2c.
(3)設 －2c＝10a＋b－2c＝7k，
所以10a＋b＝7k＋2c.
所以 ＝100a＋10b＋c＝10(10a＋b)＋c＝10(7k＋2c)＋c＝70k＋21c＝7(10k＋3c)．
所以 能被7整除．
創新考向五　方案設計
11．(10分)某商場銷售一種微波爐和電磁爐，微波爐每臺定價800元，電磁爐每臺定價200元．店慶期間，商場決定開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優惠方案．
方案一：買一臺微波爐送一臺電磁爐；
方案二：微波爐和電磁爐都按定價的90%付款．
現某客戶要到該商場購買10臺微波爐，x臺電磁爐(x＞10)．
(1)若該客戶按方案一購買，需付款__(200x＋6_000)__元；若該客戶按方案二購買，需付款__(180x＋7_200)__元．(均用含x的代數式表示)
(2)若x＝30，請通過計算說明此時按哪種方案購買較為合算．
(3)當x＝30時，你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？試寫出你的購買方法，并計算出需付款多少元．
解：(2)當x＝30時，方案一：200×30＋6 000＝12 000(元)；
方案二：180×30＋7 200＝12 600(元)．
因為12 000＜12 600，
所以按方案一購買較為合算．
(3)先按方案一購買10臺微波爐送10臺電磁爐，再按方案二購買20臺電磁爐，共需付款10×800＋200×20×90%＝11 600(元).
12．(10分)王叔叔10月的工資為8 000元，超過5 000元的部分需要繳3%的個人所得稅．
(1)王叔叔10月稅后的工資是多少元？
(2)王叔叔將該月稅后工資的一半存入銀行，然后打算用余額購買一部定價為3 000元的某品牌手機，恰好遇到手機店開展活動，若該款手機打八折，則買完手機后還剩下多少元？
(3)某家超市正在開展促銷活動，促銷方案如下：
商品原價 優惠方案
不超過500元 不打折
超過500元但不超過800元的部分 打八折
超過800元的部分 打七五折
若王叔叔在此次促銷活動中付款980元，問：他購買的商品原價是多少？
解： (1)5 000＋(8 000－5 000)×(1－3%)＝7 910(元)．
答：王叔叔10月稅后的工資是7 910元．
(2)7 910×＝3 955(元)，
3 955－3 000×80%＝1 555(元)．
答：買完手機后還剩下1 555元．
(3)超過500元但不超過800元部分的商品折后價格為(800－500)×0.8＝240(元)，
故王叔叔購物超過800元部分的商品折后價格為980－500－240＝240(元)，
王叔叔購物超過800元部分的商品原價為240÷0.75＝320(元)，
故王叔叔購買的商品原價為800＋320＝1 120(元).
答：他購買的商品原價是1 120元．
創新考向六　探究開放
13．(6分)代數式10x＋5y可以表示什么？請舉例說明．
解：10x＋5y可以表示門票的總費用，如：某景點的門票價格為成人票每張10元，學生票每張5元，一個旅游團有成人x人，學生y人，則該旅游團應付門票費用為(10x＋5y)元；
10x＋5y還可以表示購物的總費用，如：鋼筆每支10元，筆記本每本5元，則購買x支鋼筆和y本筆記本的費用為(10x＋5y)元．
(答案不唯一)
14．(10分)至少寫出兩個只含有字母x，y的多項式，且滿足下列條件：
(1)是五次三項式；
(2)每一項的系數均為1或－1；
(3)每一項必須同時含有字母x，y，但不能含有其他字母；
(4)不含常數項．
解：x3y2－x2y2＋xy2；－x2y3－xy－xy2．(答案不唯一)
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