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廣西欽州市第四中學 2025-2026 學年高三上學期開學考試數學試卷
注意事項:
1.答題前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，
2.四答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號。四答非選擇題時,將答案寫在簽題卡上。寫在本試卷上無效。
3.考試結來后,.將本試卷和答題卡一并交回
一、單選題(共8小題，每小題5分，共40分)
1．已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，則A與B的交集是（ ）
A． B． C． D．ABC均錯誤
3．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，則集合在實數集的補集是 （ ）
A． B．
C． D．
5．若“”是“”的必要不充分條件，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
7．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
8．下列說法正確的是（ ）
A．聯合國安理會常任理事國能組成一個集合
B．我校很喜歡足球的同學能組成一個集合
C．由不大于3的自然數組成的集合的所有元素為1，2，3
D．數1，0，5，，，，組成的集合中有6個元素
二、多選題(共3小題，每小題6分，共18分)
9．已知等比數列的前項和為，且為等差數列，且，記集合中元素的個數為，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
10．設正整數（m為常數），單調遞增數列各項均為正數，設集合{均為正整數}，對有限集S，記為S中元素的個數，則以下結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若是等差數列，則
C．的最大值為 D．若，且，則必有
11．（多選）已知，集合，則滿足中有個元素的的值可能為（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非選擇題）
三、填空題 (共3小題，每小題5分，共18分)
12．已知集合，則 .
13．已知，則集合 ．
14．設區間，則使成立的的取值范圍為 ．
四、解答題 (共5小題，共77分)
15．已知集合．
(1)當時，求，；
(2)若，求實數的取值范圍．
16．設全集，集合．
(1)若時，求；
(2)若，求實數的取值范圍；
(3)若，求實數的取值范圍．
17．一個學校只有三門課程：數學、語文、外語，已知修這三門課的學生分別有172，132，130人；同時修數學、語文兩門課的學生有48人，同時修數學、外語兩門課的學生有30人，同時修語文、外語兩門課的學生有21人；三門課全修的學生有5人.問：
(1)該校共有多少學生？
(2)只修一門課的學生有多少？
(3)正好修兩門課的學生有多少？
18．已知定義在上的函數滿足：①對任意，有；②當時，；③．
(1)求證：函數在上為單調減函數．
(2)若集合，，試問：是否存在的值，使？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
19．二進制是計算技術中廣泛采用的一種數制，二進制數據是用0和1兩個數碼來表示的數，它的基數為2，進位規則是“逢二進一”，借位規則是“借一當二”.記十進制下的自然數在二進制下的表示為，則，其中，若，則稱為“數”.記表示集合 中“數”的個數.
(1)計算；
(2)求；
(3)求證：，有，并求出使得的取值唯一的所有.
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D B C D D A ACD ACD
題號 11
答案 AC
12．根據題意可知,
若，可知，滿足題意；
若，即時，可知,
若，可知或，
解得或;
綜上可知或或.
故答案為：或或
13．由于集合是數集，集合是點集，
所以它們沒有公共元素，交集為空集.
故答案為：.
14．由可知，，
因，
故可得，，得.
故答案為：
15．（1）,
當時,,
所以，
（2）若，則，
又，
所以.
16．（1）因為，所以，又，
所以．
方法一 因為或，或，
所以或．
方法二 或．
（2）因為，所以，
又，所以解得，
所以的取值范圍是．
（3）因為，所以（，分為與兩種情況討論）．
若，則，可得，滿足；
若，要使，則不等式組無解．
綜上，的取值范圍是．
17．（1）設修數學、語文、外語的學生組成集合為，
則，
，
，
所以該校共有340人.
（2）只修一門課的學生有
,
所以只修一門課的學生有251人.
（3）正好修兩門課的學生有
，
所以正好修兩門課的學生有84人.
18．（1）取，則，故，
令，則，故，
任取且，則，
所以，函數在上為單調減函數；
（2）假設存在這樣的使，由題意，
所以，即①，
由①式，得②，而，
因為函數在上單調，所以③，
將③代入②，得，即，知，
所以假設錯誤，這樣的不存在.
19．（1）由題知，表示集合中“數”的個數，表示集合中“數”的個數，
由于，，故4不是“數”，
由于，，故5不是“數”，
由于，，故6不是“數”，
故；
由于，，故7是“數”，
由于，，故8不是“數”，
故.
（2）因為表示集合中在二進制表示下恰有3個1的所有元素的個數.
因為中在二進制表示下恰有3個1的數都是從右起第位數字是1，
再在后面位中找兩個位置放1，其余位置放0而得到的，故該集合中有個“數”.
又的二進制表示分別為
，，，，，
其中只有的二進制表示中恰有3個1，
所以當，時，.
（3）設表示所有的“數”組成的集合，因為在二進制表示下，
在的二進制表示的最右邊的數字后面添加一個0，恰為在二進制下表示的數，
故與同時屬于，或者同時不屬于，
集合 比恰少了一個，多了兩個數，
因此，
由，且對任意正整數，都存在正整數使得，
結合遞推關系可知存在正整數使得.
當時，易知，故不符合題意.
當，時，假設恰有一個使得，
則，
當且僅當時成立，
由二進制表示知必有的形式，
故.
故使得只有唯一解的全體由正整數給出，且唯一解為.

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