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第三章成果展示　勾股定理
(時間：120分鐘　滿分：120分)第Ⅰ卷(選擇題　共40分)
一、選擇題(本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)
1．已知一個三角形的三邊長分別為a，b，c，且它們滿足(a＋b)2－c2＝2ab，則該三角形的形狀為(　B　)
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．無法確定
解析：因為a，b，c為一個三角形的三邊長，
化簡(a＋b)2－c2＝2ab，得a2＋b2＝c2.
根據勾股定理的逆定理即可得出該三角形為直角三角形．
2．如圖是由兩個直角三角形和三個正方形組成的圖形，其中陰影部分的面積是(　B　)
A．16 B．25
C．144 D．169
解析：如圖，在Rt△ACB中，AC＝13，CB＝12，
所以根據勾股定理，得AB2＝AC2－BC2＝132－122＝25.所以AB＝5.
所以EF＝AB＝5.所以陰影部分的面積為PE2＋PF2＝EF2＝25.
3．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，且AB＝4，BD＝5，則點D到BC的距離是(　A　)
A．3　 B．4　
C．5　 D．6
解析：如圖，過點D作DE⊥BC于點E.
因為在△ABD中，∠A＝90°，AB＝4，BD＝5，
所以根據勾股定理，得AD2＝BD2－AB2＝52－42＝9.所以AD＝3.
因為BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，
所以AD＝DE＝3.
所以點D到BC的距離為3.
4．滿足下列條件的△ABC，不是直角三角形的為(　D　)
A．∠A＝∠B－∠C
B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2　
C．b2＝a2－c2
D．a∶b∶c＝2∶3∶4
解析：A．因為∠A＝∠B－∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以∠B＝90°.所以△ABC是直角三角形．
B．因為∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，所以∠C＝90°.所以△ABC是直角三角形．
C．由b2＝a2－c2，得b2＋c2＝a2，所以△ABC是直角三角形．
D．由a∶b∶c＝2∶3∶4，設a＝2x，那么b＝3x，c＝4x，則a2＋b2＝13x2，c2＝16x2，可得△ABC 不是直角三角形．
5．勾股定理是人類最偉大的科學發現之一，在我國古算書《周髀算經》中早有記載．如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大的正方形內．若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出(　C　)
圖1　　　圖2
A．直角三角形的面積
B．最大的正方形的面積
C．較小的兩個正方形重疊部分的面積
D．最大的正方形與直角三角形的面積和
6．如圖，一根長25 dm的梯子AB，斜立在一豎直的墻上，這時梯子底端距墻底端7 dm，如果梯子的頂端下滑4 dm，那么梯子將向外滑動(　B　)
A．7 dm　 B．8 dm
C．9 dm　 D．15 dm
解析：易知AB＝A′B′＝25 dm，OA＝7 dm，∠AOB＝∠A′OB′＝90°.
在Rt△AOB中，根據勾股定理，得OB2＝AB2－OA2＝252－72＝576，
所以OB＝24 dm.
所以OB′＝OB－BB′＝24－4＝20(dm)．
在Rt△A′OB′中，根據勾股定理，得OA′2＝A′B′2－OB′2＝252－202＝225，
所以OA′＝15 dm.
所以AA′＝OA′－OA＝15－7＝8(dm)．
所以梯子將向外滑動8 dm.
7．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，M為BC的中點，則點M到AC的距離為(　D　)
A．15　 B．
C．9　 D．
解析：如圖，連接AM，過點M作ME⊥AC于點E，ME的長即為所求．
因為AB＝AC，M為BC的中點，BC＝16，
所以AM⊥BC，BM＝MC＝8.
在Rt△AMB中，由勾股定理，得AM2＝AB2－BM2＝172－82＝225，所以AM＝15.
因為S△AMC＝AM·CM＝AC·ME，
所以×15×8＝×17·ME，
解得ME＝.
所以點M到AC的距離為.
8．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.若a＋b＝10，c＝8，則Rt△ABC的面積為(　A　)
A．9 B．18
C．24 D．36
解析：因為a＋b＝10，
所以將其兩邊平方，得(a＋b)2＝100.
因為△ABC是∠C＝90°的直角三角形，
所以a2＋b2＝c2＝64.
所以2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)＝100－64＝36，解得ab＝18.
所以Rt△ABC的面積為ab＝9.
9．如果正整數a，b，c滿足等式a2＋b2＝c2，那么正整數a，b，c叫作勾股數．某同學整理了自己探究勾股數的過程(如圖)，觀察圖中每列數的規律，可知x＋y的值為(　C　)
A．47　 B．62　
C．79　 D．98
解析：由題意，得3＝22－1，4＝2×2，5＝22＋1，…，
所以a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1.
當c＝n2＋1＝65時，n＝8，
所以x＝63，y＝16.
所以x＋y＝79.
10．如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7 m，頂端距離地面2.4 m．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2 m，則小巷的寬度為(　C　)
A．0.7 m　 B．1.5 m
C．2.2 m　 D．2.4 m
解析：如圖，在Rt△ACB中，因為∠ACB＝90°，BC＝0.7 m，AC＝2.4 m，
所以由勾股定理，得AB2＝0.72＋2.42＝6.25.
所以A′B2＝AB2＝6.25.
在Rt△A′BD中，因為∠A′DB＝90°，A′D＝2 m，
所以由勾股定理，得BD2＋A′D2＝A′B2.
所以BD2＋22＝6.25.
所以BD2＝2.25.
因為BD＞0，
所以BD＝1.5 m.
所以CD＝BC＋BD＝0.7＋1.5＝2.2(m)．
所以小巷的寬度為2.2 m．
第Ⅱ卷(非選擇題　共80分)
二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)
11．如圖，游泳運動員小明橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離計劃到達點B 60 m，結果他在水中實際游了100 m，則這條河寬為　80　m.
解析：根據圖中數據，由勾股定理，得AB2＝AC2－BC2＝1002－602＝6 400，所以AB＝80 m，所以這條河寬為80 m．
12．如圖的網格是正方形網格，則∠PAB＋∠PBA＝　45°　．(填度數，A，B，P均是網格線的交點)
解析：如圖，延長AP交格點于點D，連接BD.
則PD2＝BD2＝12＋22＝5，PB2＝12＋32＝10.
所以PD2＋DB2＝PB2.
所以∠PDB＝90°.
所以∠DPB＝∠DBP＝45°.
所以∠APB＝180°－∠DPB＝135°.
所以∠PAB＋∠PBA＝180°－∠APB＝45°.
13．如圖，點E在正方形ABCD的邊AB上．若EB＝1，EC＝2，則正方形ABCD的面積為　3　．
解析：在Rt△CBE中，由勾股定理，得BC2＝EC2－EB2＝22－12＝3，
所以正方形ABCD的面積為BC2＝3.
14．無蓋圓柱形杯子的表面展開圖如圖所示．將一根長為20 cm的細木筷斜放在該杯子內，木筷露在杯子外面的部分至少有　5　cm.
解析：由勾股定理，得筷子在杯子內部的最大長度為15 cm，
則木筷露在杯子外面的部分至少有20－15＝5(cm)．
15．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，以AC, BC為直徑的半圓的面積分別為S1，S2，則S1－S2＝　50π　．(結果保留π)
解析：易知S1＝π＝πAC2，S2＝π＝πBC2，
所以S1－S2＝π(AC2－BC2)＝π×AB2＝π×202＝50π.
16．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，過點B的直線把△ABC分割成兩個三角形，使其只有一個是等腰三角形，則這個等腰三角形的面積是　3.6或4.32或4.8　．
解析：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
所以由勾股定理，得AC＝5，S△ABC＝AB·BC＝6.
沿過點B的直線把△ABC分割成兩個三角形，使其中只有一個是等腰三角形，有三種情況：
①如圖1，當AB＝AP＝3時，S等腰三角形ABP＝·S△ABC＝×6＝3.6.
②如圖2，當AB＝BP＝3，且點P在AC上時，作△ABC的高BD，
則BD＝＝＝2.4，AD＝DP.
所以在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝1.8.
所以AP＝2AD＝3.6.
所以S等腰三角形ABP＝·S△ABC＝×6＝4.32.
③如圖3，當CB＝CP＝4時，S等腰三角形BCP＝·S△ABC＝×6＝4.8.
綜上所述，等腰三角形的面積是3.6或4.32或4.8.
三、解答題(本大題共6個小題，共56分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(8分)如圖，在一棵樹CD的10 m高的B處有兩只猴子．一只猴子爬下樹走到離樹20 m的池塘A處，另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算．如果兩只猴子所經過的距離相等，求這棵樹的高度．
解：設樹的高度為x m．因為兩只猴子所經過的距離相等，即都為30 m，
所以由勾股定理，得x2＋202＝[30－(x－10)]2，
解得x＝15.
故這棵樹的高度為15 m.
18．(8分)如圖，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積．某學習小組經過合作交流，給出了下面的解題思路，請按照他們的解題思路，完成解答過程．
(1)作AD⊥BC于點D，設BD＝x，用含x的代數式表示CD，則CD＝　14－x　；
(2)分別在Rt△ADC和Rt△ADB中根據勾股定理，利用AD作為“橋梁”建立方程，并求出x的值；
(3)求△ABC的面積．
解：(2)在Rt△ADC和Rt△ADB中，
根據勾股定理，得AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，
AD2＝AB2－BD2＝152－x2，
所以132－(14－x)2＝152－x2，解得x＝9.
(3)在Rt△ADC中，根據勾股定理，得AD2＝AC2－CD2＝132－(14－9)2＝144，
所以AD＝12.
所以△ABC的面積為BC·AD＝×14×12＝84.
19．(8分)如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝15，BC＝20，CD＝7，AD＝24.求：
(1)∠ADC的度數；
(2)四邊形ABCD的面積．
解：(1)連接AC，圖略．
在△ABC中，∠B＝90°，AB＝15，BC＝20，
由勾股定理，得AC＝25.
因為CD＝7，AD＝24，
所以AD2＋CD2＝AC2.
所以△ACD是直角三角形．
所以∠ADC＝90°.
(2)四邊形ABCD的面積＝S△ABC＋S△ADC
＝AB·BC＋AD·CD
＝×15×20＋×24×7
＝234.
20．(10分)學完勾股定理之后，同學們想利用升旗的繩子、卷尺測算出學校旗桿的高度．愛動腦筋的小亮設計了一個方案：如圖，小亮將升旗的繩子拉直到末端剛好接觸地面，測得此時繩子末端距旗桿底端1 m，然后將繩子末端拉直到距離旗桿5 m處，測得此時繩子末端距離地面的高度為1 m．如果設旗桿的高度為x m(滑輪上方的部分忽略不計)，求x的值．
解：如圖，由旗桿的高度為x m，可得AD＝x m，AB＝(x－1)m，BC＝5 m.
左圖，根據勾股定理，得繩長的平方＝x2＋12，
右圖，根據勾股定理，得繩長的平方＝(x－1)2＋52，
所以x2＋12＝(x－1)2＋52，解得x＝12.5，
即x的值為12.5.
21．(10分)如圖1，圓柱形容器高為18 cm，底面周長為24 cm，在杯內壁離杯底4 cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2 cm與蜂蜜相對的點A處．為了吃到蜂蜜，螞蟻從外壁A處沿著最短路徑到達內壁B處．
(1)圖2是杯子的側面展開圖，請在杯沿CD上確定一點P，使螞蟻沿A—P—B路線爬行，距離最短；
(2)求出螞蟻爬行的最短路徑長．
圖1　　　　　　　　圖2
解：(1)如圖，點P即為所求．
(2)如圖，過點B作BE⊥AC于點E.易知BE＝×24＝12(cm)，A1E＝18－4＋2＝16(cm).
在Rt△A1BE中，由勾股定理，得A1E2＋BE2＝A1B2，即162＋122＝A1B2，所以A1B＝20 cm，
即螞蟻爬行的最短路徑長是20 cm.
22．(12分)[材料閱讀]如圖1是弦圖的示意圖，它由4個全等的直角三角形與1個小正方形組成，恰好拼成一個大正方形．大正方形的面積等于c2，同時它的面積又等于4個全等的直角三角形和小正方形的面積之和，于是有4×ab＋(b－a)2＝c2，化簡即得a2＋b2＝c2，這就驗證了勾股定理．
[動手操作](1)請你利用2個或4個圖2所示的直角三角形設計出一個圖形，畫出來，并驗證勾股定理；
[定理應用](2)如圖3，在四邊形ABCD中，AC⊥BD于點O，AB＝6，BC＝5，CD＝2，請求出AD2的值．
解：(1)(方案一)如圖，當圖形為直角梯形時，面積的兩種求法如下：
①S梯形＝(a＋b)(a＋b)．
②S梯形＝ab×2＋c2.
所以(a＋b)(a＋b)＝ab×2＋c2，
整理，得a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2，
即a2＋b2＝c2.
故勾股定理成立．
(方案二)如圖，當圖形為大正方形時，面積的兩種求法如下：
①S大正方形＝(a＋b)2.
②S大正方形＝ab×4＋c2.
所以(a＋b)2＝2ab＋c2，
即a2＋b2＝c2.
故勾股定理成立．
(2)由題意，得△ABO，△BCO，△CDO，△ADO均為直角三角形．
由勾股定理，得AO2＋BO2＝AB2，CO2＋DO2＝CD2，AO2＋DO2＝AD2，BO2＋CO2＝BC2，
所以AO2＋BO2＋CO2＋DO2＝AB2＋CD2，AO2＋BO2＋CO2＋DO2＝AD2＋BC2，
即AB2＋CD2＝AD2＋BC2.
所以62＋22＝AD2＋52.
所以AD2＝15.
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