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課時分層訓練(十三)　無理數
知識點　無理數
1．下列四個數中，是無理數的是 (　C　)
A．0 B．
C．－π D．－0.101 001 000 1
2．下列各數：2 025，0.，，3.101 001 000 1…(每兩個1之間依次多一個0)，其中無理數有　2　個．
解析：無理數有，3.101 001 000 1…(每兩個1之間依次多一個0)，共有2個．故答案為：2.
3．如果設面積為3π的圓的半徑為r，那么r是有理數還是無理數？
解：根據題意，得r2＝3，故r是無理數．
4．除了π以外，還能再構造一個無理數嗎？若能，請說明構造方法．
解：符合題意的無理數為0.101 001 000 1…(每兩個1之間依次多一個0)．(答案不唯一)
構造方法：寫出一個特定結構的無限不循環小數．
5．你能舉出3個有關無理數的實例嗎？
解：①面積為2的正方形的邊長，是無理數；
②體積為3的正方體的棱長，是無理數；
③兩條直角邊長分別是1，2的直角三角形的斜邊的長，是無理數．(答案不唯一)
6．若一個正方形的面積增加9 cm2后，與一個邊長為4 cm的正方形的面積相等，求原正方形的面積，并判斷其邊長是有理數還是無理數．
解：原正方形的面積是42－9＝7(cm2)，其邊長是無理數．
7．已知半徑為1的圓．
(1)它的周長l是有理數還是無理數？請說明理由．
(2)①若π取3.141 59，估計l的值(結果精確到十分位)；
②如果結果精確到百分位呢？
解：(1)它的周長l＝2π，是無理數．理由：2π是無限不循環的小數．
(2)①結果精確到十分位為l＝2π≈6.3.
②結果精確到百分位為l＝2π≈6.28.
8．在下列4×4的網格圖中，每個小正方形的邊長都為1，請在每一個圖中分別畫出一條線段，且它們的長度均表示不等的無理數．
解：如圖，AB2＝2，CD2＝8，EF2＝18，AB，CD，EF的長度均為無理數．(答案不唯一)
9．下列說法中正確的是(　C　)
A．有理數都是有限小數
B．無限小數都是無理數
C．無理數都是無限小數
D．是分數
解析：A．無限循環小數也是有理數，故本選項不正確；
B．無限循環小數不是無理數，故本選項不正確；
C．無限不循環小數叫無理數，故本選項正確；
D．π是無理數，所以也是無理數，不是分數，故本選項不正確．
故選：C.
10．以下正方形的邊長是無理數的是(　D　)
A．面積為121的正方形
B．面積為36的正方形
C．面積為1.69的正方形
D．面積為π2的正方形
解析：A．面積為121的正方形的邊長是11，是整數，屬于有理數，故本選項不符合題意；
B．面積為36的正方形的邊長是6，是整數，屬于有理數，故本選項不符合題意；
C．面積為1.69的正方形的邊長是1.3，是有限小數，屬于有理數，故本選項不符合題意；
D．面積為π2的正方形的邊長是π，是無理數，故本選項符合題意．
故選：D.
11．下列說法中，正確的有(　B　)
①無限小數都是無理數；
②正數、負數統稱有理數；
③無理數的相反數還是無理數；
④無理數與無理數的和一定還是無理數；
⑤無理數與有理數的和一定是無理數；
⑥無理數與有理數的積一定仍是無理數．
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
解析：無限不循環小數是無理數，故①說法錯誤；
正有理數、0、負有理數統稱有理數，故②說法錯誤；
無理數的相反數還是無理數，故③說法正確；
無理數與無理數的和不一定是無理數，故④說法錯誤；
無理數與有理數的和一定是無理數，故⑤說法正確；
無理數與有理數的積一定仍是無理數，例如有理數為0時，最后的結果為0，故⑥說法錯誤．
故選：B.
12．下列各數：0.458 3，3.，－π，－，18，其中無理數的個數為m，有理數的個數為n，則n－m的值為　3　．
解析：無理數有－π，共1個，故m＝1；有理數有4個，故n＝4.所以n－m＝3.故答案為：3.
13．請設計兩個直角三角形，分別滿足下列條件：
(1)使其三邊長都能用有理數表示；
(2)使其三邊中兩邊是有理數，另一邊是無理數．
解：(1)三邊長分別為3，4，5的直角三角形．
(2)兩條直角邊長分別為1，1的等腰直角三角形．(答案不唯一)
【創新運用】
14．某數學家在研究1和2的比例中項時(若1∶x＝x∶2，則x叫1和2的比例中項)，他怎么也想不出這個比例中項的值．后來，他畫了一個邊長為1的正方形，設對角線為x，于是由勾股定理，得x2＝12＋12＝2.他想x代表對角線的長，而x2＝2，那么x必定是確定的數．
根據材料，解答下列問題．
(1)x是整數嗎？為什么？
(2)x可能是分數嗎？若是，找出x的值；若不是，請說明理由．
解：(1)不是，因為1＜2＜4，而x2＝2，
所以1＜x2＜4.若x＞0，則1＜x＜2.
因為在1和2之間不存在另外的整數，
所以x不是整數．
(2)不可能，因為任何分數的平方都不可能是整數．
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