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專項突破提升(一)　構造全等三角形的方法
方法一　補形法
1．(8分)如圖，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分線，且CE⊥BD，交BD的延長線于點E.試說明：BD＝2CE.
解：如圖，延長CE與BA的延長線相交于點F.
因為CE⊥BE，∠BAC＝90°，
所以∠ABD＋∠F＝90°，∠ACF＋∠F＝90°.
所以∠ABD＝∠ACF.
在△ABD和△ACF中，
所以△ABD≌△ACF(ASA)．
所以BD＝CF.
因為BD是∠ABC的平分線，
所以∠EBC＝∠EBF.
在△BCE和△BFE中，
所以△BCE≌△BFE(ASA)．
所以CE＝EF.
所以CF＝2CE.
所以BD＝CF＝2CE.
2．(8分)如圖，△ABC為等邊三角形，延長BC到點D，延長BA到點E，使AE＝BD，連接EC，ED.試說明：CE＝DE.
解：如圖，延長BD至點F，使DF＝BC，連接EF.
因為AE＝BD，△ABC為等邊三角形，
所以DF＝BC＝AB，∠B＝60°.
所以AE＋AB＝BD＋DF，即BE＝BF.
所以△BEF為等邊三角形．
所以∠F＝60°，BE＝EF.
在△ECB和△EDF中，
所以△ECB≌△EDF(SAS)．
所以CE＝DE.
方法二　截長補短法
3．(8分)如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，BD，CE相交于點O，試判斷BE，CD，BC的數量關系，并說明理由．
解：BE＋CD＝BC.理由如下：
如圖，在BC上取點G，使CG＝CD.
因為BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，
所以∠EBO＝∠GBO，∠DCO＝∠GCO.
所以∠BOC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－×(180°－60°)＝120°.
所以∠BOE＝∠COD＝60°.
在△COD和△COG中，
所以△COD≌△COG(SAS)．
所以∠COG＝∠COD＝60°.
所以∠BOG＝120°－60°＝60°＝∠BOE.
在△BOE和△BOG中，
所以△BOE≌△BOG(ASA)．
所以BE＝BG.
所以BE＋CD＝BG＋CG＝BC.
4．(8分)如圖，在△ABC中，∠A＝100°，AB＝AC，BE是∠ABC的平分線．試說明：AE＋BE＝BC.
解：如圖，延長BE到點F，使BF＝BC，連接FC，在BC上取CF′＝CF，連接EF′.
因為AB＝AC，∠A＝100°，
所以∠ABC＝∠ACB＝40°.
因為BE平分∠ABC，
所以∠ABE＝∠EBC＝20°.
因為BF＝BC，
所以∠F＝∠BCF＝80°.
所以∠FCE＝∠ACB＝40°.
在△FCE和△F′CE中，
所以△FCE≌△F′CE(SAS)．
所以EF＝EF′，∠EF′C＝∠F＝80°.
所以∠BF′E＝100°.
所以∠A＝∠BF′E.
在△ABE和△F′BE中，
所以△ABE≌△F′BE(AAS)．
所以AE＝EF′.所以AE＝EF.
所以AE＋BE＝EF＋BE＝BF＝BC.
5．(8分)如圖，在△ABC中，BE，CF分別是AC，AB兩邊上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延長線上截取CG＝AB，連接AD，AG.試說明：AD＝AG.
解：因為BE⊥AC，CF⊥AB，
所以∠HFB＝∠HEC＝90°.
又因為∠BHF＝∠CHE，
所以∠ABD＝∠GCA．
在△ABD和△GCA中，
所以△ABD≌△GCA(SAS)．
所以AD＝AG.
6．(8分)如圖，在△ABC(AB≠AC)中，點D，E在邊BC上，且DE＝EC，過點D作DF∥BA，交AE于點F，DF＝AC.試說明：AE平分∠BAC.
解：如圖，延長FE到點G，使EG＝EF，連接CG.
在△DEF和△CEG中，
所以△DEF≌△CEG(SAS)．
所以DF＝GC，∠DFE＝∠G.
因為DF∥AB，
所以∠DFE＝∠BAE.
所以∠G＝∠BAE.
因為DF＝AC，
所以GC＝AC.
所以∠G＝∠CAE.
所以∠BAE＝∠CAE，
即AE平分∠BAC.
7．(8分)如圖，在正方形ABCD中，E為BC上的一點，F為CD上的一點，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度數．
解：如圖，延長EB到點G，使得BG＝DF，連接AG.
易知在△ABG和△ADF中，
所以△ABG≌△ADF(SAS)．
所以∠DAF＝∠BAG，AF＝AG.
因為BE＋DF＝EF，所以BE＋BG＝EF，
即EG＝EF.
在△AEG和△AEF中，
所以△AEG≌△AEF(SSS)．
所以∠EAG＝∠EAF.
因為∠DAF＋∠EAF＋∠BAE＝90°，
所以∠EAG＋∠EAF＝90°.
所以∠EAF＝45°.
方法三　倍長中線法
8．(10分)如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，E是AD上一點，延長BE交AC于點F.
(1)若BE＝AC，試說明：AF＝EF；
(2)若AF＝EF，試說明：BE＝AC.
解：(1)如圖，延長AD到點G，使得AD＝DG，連接BG.
因為AD是邊BC上的中線，
所以DC＝DB.
在△ADC和△GDB中，
所以△ADC≌△GDB(SAS)．
所以∠CAD＝∠G，BG＝AC.
又因為BE＝AC，
所以BE＝BG.
所以∠BED＝∠G.
因為∠BED＝∠AEF，
所以∠AEF＝∠CAD，
即∠AEF＝∠FAE.
所以AF＝EF.
(2)如圖，延長AD到點G，使得AD＝DG，連接BG.
因為AD是邊BC上的中線，
所以DC＝DB.
在△ADC和△GDB中，
，
所以△ADC≌△GDB(SAS)．
所以∠CAD＝∠G，BG＝AC.
因為AF＝EF，
所以∠AEF＝∠EAF.
所以∠G＝∠AEF＝∠BEG.
所以BE＝BG.
所以BE＝AC.
9．(10分)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，連接BE，且BE⊥AF.試說明：
(1)FC＝AD；
(2)AB＝BC＋AD.
解：(1)因為AD∥BC，
所以∠ADE＝∠FCE.
因為E是CD的中點，
所以DE＝CE.
在△ADE和△FCE中，
所以△ADE≌△FCE(ASA)．
所以FC＝AD.
(2)因為△ADE≌△FCE，
所以AE＝FE.
又因為BE⊥AE，
所以∠AEB＝∠FEB＝90°，且BE＝BE，AE＝FE.
所以△AEB≌△FEB(SAS)．
所以AB＝BF.
所以AB＝BF＝BC＋CF.
因為AD＝FC，
所以AB＝BC＋AD.
方法四　旋轉法
10．(8分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為△ABC外一點，且∠CEA＝45°.試說明：AE⊥BE.
解：如圖，過點C作CF⊥CE交EA的延長線于點F.
因為∠CEA＝45°，
所以∠F＝45°＝∠CEA．
所以CF＝CE.
因為∠FCA＋∠ACE＝∠ACE＋∠ECB＝90°，
所以∠FCA＝∠ECB.
在△FCA和△ECB中，
所以△FCA≌△ECB(SAS)．
所以∠BEC＝∠F＝45°.
所以∠AEB＝∠AEC＋∠BEC＝90°，
即AE⊥BE.
11．(12分)如圖，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC，BD交于點M.
圖1
　
圖2
　
圖3
(1)如圖1，當α＝90°時，∠AMD的度數為　90°　．
(2)如圖2，當α＝60°時，求∠AMD的度數．
(3)如圖3，當△OCD繞點O旋轉任意角度時，∠AMD與α是否存在著某種確定的數量關系？若存在，請你用α表示∠AMD，并用圖3進行說明；若不存在，請說明理由．
解：(1)如圖1，設OA交BD于點K.
圖1
因為∠AOB＝∠COD＝α，
所以∠BOD＝∠AOC.
在△AOC和△BOD中，
，
所以△AOC≌△BOD(SAS)．
所以∠OAC＝∠OBD.
因為∠AKM＝∠BKO，
所以∠AMK＝∠BOK＝90°.
所以∠AMD＝180°－90°＝90°.
故答案為：90°.
(2)如圖2，設OA交BD于點K.
圖2
因為∠AOB＝∠COD＝α，
所以∠BOD＝∠AOC.
在△AOC和△BOD中，
所以△AOC≌△BOD(SAS)．
所以∠OAC＝∠OBD.
因為∠AKM＝∠BKO，
所以∠AMK＝∠BOK＝60°.
所以∠AMD＝180°－60°＝120°.
(3)存在．∠AMD＝180°－α.
如圖3，設AC交OB于點K.
圖3
因為∠AOB＝∠COD＝α，
所以∠BOD＝∠AOC.
在△AOC和△BOD中，
所以△AOC≌△BOD(SAS)．
所以∠OAC＝∠OBD.
因為∠AKO＝∠BKM，
所以∠BMK＝∠AOK＝α.
所以∠AMD＝180°－α.
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