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專項突破提升(二)　最短路程與折疊問題
(時間：90分鐘　滿分：98分)
類型一　三角形內距離最小
1．(4分)如圖，∠AOB＝60°，P為∠AOB內一點，點M，N分別在OA，OB上，當△PMN周長最小時，∠MPN的度數是(　B　)
A．120° B．60°
C．30° D．90°
解析：如圖，分別作點P關于OA，OB的對稱點P1，P2，連接P1，P2交OA于點M，交OB于點N.
所以OP1＝OP＝OP2，∠P1＝∠MPO，∠NPO＝∠P2.
根據軸對稱的性質，得MP＝P1M，PN＝P2N，
所以△PMN的周長的最小值為P1P2.
根據軸對稱的性質，得∠P1OP2＝2∠AOB，
所以在等腰三角形OP1P2中，∠P1＋∠P2＝180°－∠P1OP2＝180°－2∠AOB.
所以∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝∠P1＋∠P2
＝180°－2∠AOB
＝60°.
2．(4分)如圖，CD是△ABC的角平分線，△ABC的面積為12，BC的長為6，E，F分別是CD，AC上的動點，則AE＋EF的最小值是(　B　)
A．6 B．4
C．3 D．2
解析：如圖，作點A關于CD的對稱點H.
因為CD是△ABC的角平分線，
所以點H一定在BC上．
過點H作HF⊥AC于點F，交CD于點E，則AE＋EF的值最小，AE＋EF的最小值為HF.
過點A作AG⊥BC于點G，
因為△ABC的面積為12，BC的長為6，
所以AG＝4.
因為CD垂直平分AH，
所以AC＝CH.
所以S△ACH＝AC·HF＝CH·AG.
所以HF＝AG＝4.
所以AE＋EF的最小值是4.
3．(4分)如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，過點B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關于直線l對稱，D為線段BC′上一動點，則AD＋CD的最小值是(　C　)
A．4 B．6
C．8 D．4＋2
4．(4分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC.若M，N分別為BD，BC上的動點，則CM＋MN的最小值是(　B　)
A．4 B．4.8
C．5 D．6
解析：如圖，過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M，過點M作MN⊥BC于點N.
因為BD平分∠ABC，
所以ME＝MN.
所以CM＋MN＝CM＋ME＝CE.
因為在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，
所以S△ABC＝AB·CE＝AC·BC.
所以10CE＝6×8.
所以CE＝4.8，
即CM＋MN的最小值是4.8.
5．(4分)如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為3，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC，AB于點E，F.若D為邊BC的中點，M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為(　D　)
A．7.5 B．8.5
C．10.5 D．13.5
解析：如圖，連接AD.
因為△ABC是等腰三角形，D是邊BC的中點，
所以AD⊥BC.
所以S△ABC＝BC·AD＝×3×AD＝18，解得AD＝12.
因為EF是線段AC的垂直平分線，
所以點C關于直線EF的對稱點為點A．
所以AD的長為CM＋MD的最小值．
所以△CDM的周長的最小值為(CM＋MD)＋CD＝AD＋BC＝12＋×3＝12＋1.5＝13.5.
6．(4分)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BG平分∠ABC，交AC于點G.若CG＝1，P為AB上一動點，則GP的最小值為(　A　)
A．1 B．
C．2 D．無法確定
解析：如圖，過點G作GH⊥AB于點H.
因為GB平分∠ABC，∠C＝90°，即GC⊥BC，
所以GH＝GC＝1.
根據垂線段最短可知，GP的最小值為1.
7．(4分)如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，連接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是邊BC上一動點，則DP的最小值為(　B　)
A．4 B．6
C．3 D．12
解析：因為BD⊥CD，
所以∠BDC＝90°.
所以∠C＋∠CBD＝90°.
因為∠A＝90°，
所以∠ABD＋∠ADB＝90°.
因為∠ADB＝∠C，
所以∠ABD＝∠CBD，即BD平分∠ABC.
當DP⊥BC時，DP的長度最小．
因為AD⊥AB，
所以DP＝AD.
因為AD＝6，
所以DP的最小值是6.
8．(4分)如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于點D，EF垂直平分AB，交AB于點E，AC于點F，在EF上確定一點P，使PB＋PD的值最小，則這個最小值為　　(　C　)
A．10 B．11
C．12 D．13
解析：如圖，連接BP.
因為AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于點D，
所以AD＝12.
因為EF垂直平分AB，
所以點A，B關于直線EF對稱．
所以PA＝PB，PB＋PD＝PA＋PD.
所以EF與AD的交點即為P，AD的長度等于PB＋PD的最小值，
即PB＋PD的最小值為12.
類型二　作圖問題
9．(8分)如圖，已知兩點P，Q在銳角∠AOB內，分別在OA，OB上求作點M，N，使PM＋MN＋NQ最短．
解：如圖所示，點M，N即為所求．
類型三　路程最短問題
10．(12分)如圖1和圖2，P是直線m上一動點，A，B兩點在直線m的同側，且點A，B所在直線與m不平行．
(1)當點P運動到P1位置時，距離點A最近，在圖1中的直線m上畫出點P1的位置．
(2)當點P運動到P2位置時，與點A的距離和與點B的距離相等，請在圖2中畫出點P2的位置．
(3)在直線m上是否存在一點P3，使到點A的距離與到點B的距離之和最小？若存在，請在圖3中作出點P3；若不存在，請說明理由．(要求：不寫作法，請保留作圖痕跡)
圖1
　
圖2
圖3
解：(1)如圖1，過點A作直線m的垂線，垂足為點P1，則點P1即為所求．
圖1
(2)如圖2，作線段AB的垂直平分線交直線m于點P2，則點P2即為所求．
圖2
(3)存在．如圖3，作點A關于直線m的對稱點A′，連接BA′交直線m于點P3，則點P3即為所求．
圖3
類型四　折疊問題
11．(4分)如圖，將長方形ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點F處，BF交AD于點E.若∠BDC＝62°，則∠DEF的度數為　(　D　)
A．31° B．28°
C．62° D．56°
12．(4分)如圖，在△ABC中，∠BAC＞90°，D為BC的中點，E是AC上一點，將△CDE沿DE折疊，使得點C恰好落在BA延長線上的點F處，連接AD，CF，則圖中所有的等腰三角形的個數為(　D　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
13．(4分)如圖，將△ABC沿直線DE折疊后，使得點B與點A重合．已知AC＝5 cm，△ADC的周長為17 cm，則BC的長為(　C　)
A．7 cm B．10 cm
C．12 cm D．22 cm
14．(4分)將一個長方形紙片按如圖所示折疊，若∠1＝40°，則∠2的度數是(　D　)
A．40° B．50°
C．60° D．70°
解析：如圖．
根據題意可知，折疊后∠ABC＝∠EBC.
因為長方形對邊平行，根據兩直線平行，內錯角相等，得∠2＝∠DBC.
又因為∠2＋∠ABC＝180°，
所以∠EBC＋∠2＝180°，
即∠1＋2∠2＝180°.
因為∠1＝40°，
所以∠2＝70°.
15．(4分)如圖，將△ABC沿著過BC的中點D的直線折疊，使點B落在邊AC上的B1處，稱為第一次操作，折痕DE到AC的距離記為h1；還原紙片后，再將△BDE沿著過BD的中點D1的直線折疊，使點B落在邊DE上的B2處，稱為第二次操作，折痕D1E1到AC的距離記為h2；按上述方法不斷操作下去……經過第n次操作后得到折痕Dn－1En－1，到AC的距離記為hn.若h1＝1，則hn的值為(　C　)
A．1＋ B．1＋
C．2－ D．2－
解析：因為D是BC的中點，折痕DE到AC的距離為h1，
所以點B到DE的距離＝h1＝1.
因為D1是BD的中點，折痕D1E1到AC的距離記為h2，
所以點B到D1E1的距離＝h1，所以h2＝1＋h1＝1＋.
同理，得h3＝h2＋h1＝1＋，
h4＝h3＋h1＝1＋，
……
hn＝1＋＋…＋＝2－.
16．(4分)如圖，將長方形ABCD沿GH折疊，點C落在點Q處，點D落在邊AB上的點E處．若∠AGE＝32°，則∠GHC的度數為(　D　)
A．112° B．110°
C．108° D．106°
17．(4分)如圖，D為△ABC邊AB的中點，點E在AC上，將△ABC沿著DE折疊，使點A落在BC上的點F處．若∠B＝65°，則∠BDF的度數為(　B　)
A．65° B．50°
C．60° D．57.5°
18．(4分)已知一張三角形紙片ABC(如圖1)，其中AB＝AC＝10，BC＝6.將紙片沿DE折疊，使點A與點B重合(如圖2)時，CE＝a.再將紙片沿EF折疊，使得點C恰好與邊BE上的點G重合，折痕為EF(如圖3)，則△BFG的周長為(　B　)
圖1
圖2
圖3
A．6＋a B．16－2a
C．10 D．10－2a
19．(14分)數學活動課上，老師拿一張長方形紙片折疊一角，得到折痕EF，如圖1，同學們發現折痕有角平分線的作用．
(1)問題解決：若∠EFA′＝35°，則∠A′FB＝　110°　；(填度數)
(2)實踐探究：希望小組受此問題的啟發，將長方形紙片按圖2方式折疊，EF，FG為折痕，點A′，B′，F恰好在同一條直線上，求∠EFG的度數；
(3)拓展延伸：智慧小組將長方形紙片按圖3方式折疊，DE，CE為折痕，若∠A′EB′＝15°，請直接寫出∠DEC的度數．
圖1
圖2
圖3
解：(1)(2)解法1：根據題意，得∠A′FE＝∠AFE＝∠A′FA，∠B′FG＝∠GFB＝∠B′FB,
所以∠EFG＝∠A′FE＋∠B′FG＝(∠A′FA＋∠B′FB)＝×180°＝90°.
解法2：設∠AFE＝α.
根據題意，得∠A′FE＝∠AFE＝α，∠B′FB＝180°－∠AFE－∠A′FE＝180°－2α，
所以∠B′FG＝∠GFB＝∠B′FB＝(180°－2α)＝90°－α.
所以∠EFG＝∠A′FE＋∠B′FG＝α＋90°－α＝90°.
(3)根據題意，得∠AED＝∠DEA′，∠BEC＝∠CEB′.
因為∠A′EB′＝15°，
所以∠AED＋∠DEA′＋∠CEB′＋∠BEC＝180°＋15°＝195°.
所以∠AED＋∠BEC＝×195°＝97.5°.
所以∠DEC＝180°－(∠AED＋∠BEC)＝180°－97.5°＝82.5°.
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