資源簡介

專項突破提升(三)　實數的綜合運用
(時間：90分鐘　滿分：130分)
類型一　實數與轉化思想
1．(12分)如圖是一個無理數篩選器的工作流程圖．
(1)當x為16時，y的值為　　．
(2)是否存在輸入有意義的x值后，卻輸不出y值？如果存在，寫出所有滿足要求的x值；如果不存在，請說明理由．
(3)當輸出的y值是時，判斷輸入的x值是否唯一．如果不唯一，請寫出其中的兩個．
解：(2)存在．因為0，1的算術平方根是0，1，是有理數，所以當x的值為0，1時，始終輸不出y值．
(3)x的值不唯一．如x＝3或x＝9.
2．(12分)如圖是由5個邊長為1的小正方形組成的紙片，可以用下面的方法把它剪拼成一個正方形(圖1、圖2)．
(1)拼成的正方形的面積是　5　，邊長是　　．
(2)如圖3，你能在3×3的正方形方格中，連接4個點組成面積為5的正方形嗎？若能，請畫出示意圖．
(3)如圖4，你能把這10個小正方形組成的圖形，剪開并拼成一個大正方形嗎？若能，請畫出示意圖，并寫出正方形的邊長．
圖1　　　 圖2
圖3　　　　圖4
解：(2)能．如圖3.
(3)能．如圖4，正方形的邊長為.
類型二　實數與數形結合思想
3．(4分)實數a，b在數軸上的位置如圖所示，那么化簡|a－b|－的結果是(　C　)
A．2a－b　 B．b
C．－b D．－2a＋b
解析：由數軸可得a＞0，b＜0，|a|＜|b|，
所以原式＝a－b－|a|＝a－b－a
＝－b.
4．(10分)已知有理數a和b的對應點在數軸上如圖所示．
(1)比較大小：a，－a，b，－b，用“＜”連接；
(2)化簡：|a＋b|－|a－b|－2|b－1|.
解：(1)根據數軸上點的特點，得
a＜－b＜b＜－a.
(2)根據數軸給出的數據，得
a＋b＜0，a－b＜0，b－1＜0，
則|a＋b|－|a－b|－2|b－1|＝－a－b－(b－a)－2(1－b)＝－a－b－b＋a－2＋2b＝－2.
類型三　實數與分類討論思想
5．(8分)已知數軸上A，B兩點，且這兩點間的距離為4.若點A在數軸上表示的數是3，求點B表示的數．
解：設點B表示的數為x.
由題意，得|x－3|＝4，
則x－3＝4或x－3＝－4，
所以x＝7或x＝－.
所以點B表示的數為7或－.
類型四　實數的大小比較
6．(10分)比較大小：
(1)比較與0.5的大小；
(2)比較3，4，的大小．
解：(1)因為＜＜，
所以2＜＜3.
所以－1＞1.
所以＞0.5.
(2)易知＝4.
因為，
所以3＜＜4.
類型五　實數的化簡求值
7．(8分)若6－的整數部分為x，小數部分為y，求(2x＋)y的值．
解：因為9＜13＜16，
所以3＜＜4.
所以2＜6－＜3.
所以x＝2，y＝4－.
所以(2x＋)y
＝(4＋)(4－)
＝42－()2
＝16－13
＝3.
8．(10分)已知5a＋2的立方根是3，3a＋b－1的算術平方根是4，c是的整數部分．求：
(1)a，b，c的值；
(2)3a－b＋c的平方根．
解：(1)因為5a＋2的立方根是3，3a＋b－1的算術平方根是4，
所以5a＋2＝27，3a＋b－1＝16.
所以a＝5，b＝2.
因為3＜＜4，c是的整數部分，
所以c＝3.
(2)易知3a－b＋c＝15－2＋3＝16，16的平方根是±4，即3a－b＋c的平方根是±4.
類型六　實數的實際應用
9．(8分)已知電流通過導線時會產生熱量，滿足Q＝I2Rt，其中Q為產生的熱量(單位：J)，I為電流(單位：A)，R為導線電阻(單位：Ω)，t為通電時間(單位：s)．若導線電阻為5 Ω，通電2 s導線產生40 J的熱量，求電流的值．
解：由題意，得R＝5 Ω，t＝2 s，Q＝40 J，
所以40＝I2×5×2.
所以I2＝4.
所以I＝±2(負值不符合實際情況，舍去)．
所以電流的值是2 A．
10．(8分)交通警察通常根據剎車時后車輪滑過的距離估計車輛行駛的速度．在某高速公路上，常用的計算公式是v2＝256(df＋1)，其中v表示車速(單位：km/h)，d表示剎車后車輪滑過的距離(單位：m)，f表示摩擦系數，f＝1.25.在調查這條高速公路的一次交通事故中，測得d＝19.2 m，求肇事汽車的速度大約是多少．
解：將d＝19.2，f＝1.25代入v2＝256(df＋1)，得v2＝256×(19.2×1.25＋1)＝6 400，
所以v＝＝80.
所以肇事汽車的速度大約是80 km/h.
11．(8分)某市決定在一塊面積為1 100 m2的正方形空地上建一個足球場以供全民健身．已知足球場的面積為540 m2，其中長是寬的倍，足球場的四周必須留出1 m寬的空地．請通過計算說明這塊空地能否成功建一個符合規定的足球場．
解：設足球場的寬為x m，則長為x m.
由題意，得x2＝540，
解得x＝18或x＝－18(舍去)．
則x＝×18＝30，
即足球場的長為30 m，寬為18 m.
因為正方形空地的面積為1 100 m2，
所以正方形的邊長為 m.
因為332＝1 089，342＝1 156，
所以33＜＜34.
因為30＋2＝32＜33，
所以這塊空地可以建一個符合規定的足球場．
12．(10分)小李同學想用一塊面積為400 cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為384 cm2的長方形紙片，使它的長、寬之比為3∶2.他不知道能否裁得出來，正在發愁，這時小于同學見了說：“別發愁，一定能用這塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片．”
(1)這塊長方形紙片的長和寬分別是多少？
(2)你同意小于同學的說法嗎？請說明理由．
解：(1)設長方形紙片的長為3x(x＞0) cm，則寬為2x cm.
由題意，得3x·2x＝384，
解得x＝8或x＝－8(舍去)．
則3x＝3×8＝24，2x＝2×8＝16.
所以這塊長方形紙片的長是24 cm，寬是16 cm.
(2)不同意小于同學的說法．理由如下：
因為由正方形紙片的面積為400 cm2，可知其邊長為20 cm.
因為24＞20，
即長方形紙片的長大于正方形紙片的邊長，所以不能用這塊紙片裁出符合要求的長方形紙片．
類型七　實數與規律探究
13．(12分)觀察下列一組算式的特征及運算結果，探索規律：
＝＝3；
＝＝4；
＝＝5；
＝＝6；
……
(1)觀察算式規律，計算：＝　7　，＝　21　；
(2)用含正整數n的代數式表示上述算式的規律：　＝＝n＋2　；
(3)計算：＋…＋.
解：(1)＝＝7，
＝＝21.
故答案為：7；21.
(3)＋…＋
＝3－4＋5－6＋…＋2 023
＝(－1)×1 010＋2 023
＝－1 010＋2 023
＝1 013.
14．(10分)對于非負實數a，我們規定：用符號[]表示不大于的最大整數，稱[]為a的根整數，例如，[]＝3，[]＝3.
(1)仿照以上方法計算：[]＝　2　；[]＝　5　．
(2)若[]＝1，寫出滿足題意的x的一個整數值：　2(答案不唯一)　．如果我們對a連續求根整數，直到結果為1為止．例如，對10連續求根整數2次，[]＝3→[]＝1，這時候結果為1.
(3)對100連續求根整數，　3　次之后結果為1.
(4)只需進行3次連續求根整數運算后結果為1的所有正整數中，最大的數是　255　．
解：(3)[]＝10，[]＝3，[]＝1.
故答案為：3.
(4)因為[]＝15，[]＝3，[]＝1，所以對255需進行3次操作后變為1.
因為[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，所以對256需進行4次操作后變為1.
所以只需進行3次連續求根整數運算后結果為1的所有正整數中，最大的數是255.
故答案為：255.
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