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專(zhuān)項(xiàng)突破提升(四)　一次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
(時(shí)間：90分鐘　滿(mǎn)分：136分)
類(lèi)型一　一次函數(shù)與圖象信息
1．(12分)某周日上午8：00小宇從家出發(fā)，乘車(chē)1 h到達(dá)某活動(dòng)中心參加實(shí)踐活動(dòng)．上午11：00他在活動(dòng)中心接到爸爸的電話(huà)，因急事要求他在中午12：00前回到家．他即刻按照來(lái)活動(dòng)中心時(shí)的路線(xiàn)，以5 km/h的平均速度快步返回．同時(shí)，爸爸從家沿同一路線(xiàn)開(kāi)車(chē)接他，在距家20 km處接上了小宇，立即保持原來(lái)的車(chē)速原路返回．設(shè)小宇離家x h后，到達(dá)離家y km的地方，圖中折線(xiàn)OABCD表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系．
(1)活動(dòng)中心與小宇家相距　22　km，小宇在活動(dòng)中心活動(dòng)的時(shí)間為　2　h，他從活動(dòng)中心返回家時(shí)，步行用了　0.4　h；
(2)求線(xiàn)段BC所表示的y(km)與x(h)之間的關(guān)系式(不必寫(xiě)出x的取值范圍)；
(3)根據(jù)上述情況(不考慮其他因素)，請(qǐng)判斷小宇能否在中午12：00前回到家，并說(shuō)明理由．
解：(1)由題圖知，活動(dòng)中心與小宇家相距22 km，
小宇在活動(dòng)中心活動(dòng)的時(shí)間為3－1＝2(h)，
小宇從活動(dòng)中心返回家時(shí)，步行所用時(shí)間為(22－20)÷5＝0.4(h)．
故答案為：22；2；0.4.
(2)根據(jù)題意，得y＝22－5(x－3)＝－5x＋37.
(3)能．理由如下：
因?yàn)榘职謴募议_(kāi)車(chē)接上小宇，立即保持原來(lái)的車(chē)速原路返回，
所以小宇從活動(dòng)中心返回家所用時(shí)間為
0．4＋0.4＝0.8(h)．
因?yàn)?.8<1，
所以小宇能在中午12：00前回到家．
類(lèi)型二　一次函數(shù)表達(dá)式與圖象的性質(zhì)
2．(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象由函數(shù)y＝x的圖象平移得到，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，2)．
(1)求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若當(dāng)x＞1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝mx(m≠0)的值大于一次函數(shù)y＝kx＋b的值，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的取值范圍．
解：(1)因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象由函數(shù)y＝x的圖象平移得到，
所以k＝1.
將點(diǎn)(1，2)代入y＝x＋b，得1＋b＝2，
解得b＝1.
所以一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x＋1.
(2)把點(diǎn)(1，2)代入y＝mx，得m＝2.
因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝mx(m≠0)的值大于一次函數(shù)y＝x＋1的值，所以結(jié)合如圖的圖象可得m≥2.
類(lèi)型三　一次函數(shù)與面積運(yùn)算
3．(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角尺ABC放在第三象限，其中B，C兩點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－4)，直角頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－1，0)，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，交x軸于點(diǎn)D.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)求直線(xiàn)AC與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．
解：(1)如圖，作AE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E.
易知∠ABC＝90°，BA＝BC，BO＝1，OC＝4，所以∠ABE＋∠CBO＝90°.
在Rt△AEB中，因?yàn)椤螦BE＋∠EAB＝90°，
所以∠CBO＝∠EAB.
在△AEB和△BOC中，
所以△AEB≌△BOC(AAS)．
所以AE＝BO＝1，BE＝OC＝4.
所以O(shè)E＝OB＋BE＝1＋4＝5.
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－5，－1)．
(2)把點(diǎn)A(－5，－1)，C(0，－4)代入y＝kx＋b，得－5k＋b＝－1，b＝－4.
將b＝－4代入－5k＋b＝－1，得－5k－4＝－1，解得k＝－.
所以一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－x－4.
所以當(dāng)y＝0時(shí)，x＝－.
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為.
所以直線(xiàn)AC與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為OD·OC＝×4＝.
4．(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)AB分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B，C，與直線(xiàn)OA交于點(diǎn)A．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－3，5)，OC＝4.
(1)分別求出直線(xiàn)AB，AO的表達(dá)式；
(2)求△AOB的面積．
解：(1)設(shè)直線(xiàn)AO的表達(dá)式為y＝kx(k≠0)．
將點(diǎn)A(－3，5)代入y＝kx，得5＝－3k，
解得k＝－.
所以直線(xiàn)AO的表達(dá)式為y＝－x.
因?yàn)镺C＝4，點(diǎn)C在y軸正半軸，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，4)．
設(shè)直線(xiàn)AB的表達(dá)式為y＝mx＋n(m≠0)．
將點(diǎn)A(－3，5)，C(0，4)代入y＝mx＋n，得－3m＋n＝5，n＝4.
把n＝4代入－3m＋n＝5，解得m＝－.
所以直線(xiàn)AB的表達(dá)式為y＝－x＋4.
(2)當(dāng)y＝0時(shí)，即－x＋4＝0，
解得x＝12.
所以O(shè)B＝12.
如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D.
因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為(－3，5)，
所以AD＝5.
所以S△AOB＝OB·AD＝×12×5＝30.
類(lèi)型四　一次函數(shù)與取值范圍界定
5．(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y＝x＋b的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0，2)，與x軸交于點(diǎn)B.
(1)求b的值；
(2)若M是直線(xiàn)AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)M向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)N.若線(xiàn)段MN與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，求m的取值范圍．
解：(1)因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y＝x＋b的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0，2)，
所以b＝2.
(2)由(1)知一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x＋2.
因?yàn)镸是直線(xiàn)AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
所以設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m，m＋2)．
根據(jù)平移，得點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m，m－2)．
當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)，m＋2＝0，
解得m＝－2.
當(dāng)點(diǎn)N在x軸上時(shí)，m－2＝0，
解得m＝2.
所以MN與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍是－2≤m≤2.
類(lèi)型五　一次函數(shù)與幾何變換
6．(12分)如圖，把長(zhǎng)方形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA，OC分別落在x軸、y軸的正半軸上，連接AC，將△ABC沿AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，CD交x軸于點(diǎn)E，已知CB＝8，AB＝4.
(1)求AC所在直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
解：(1)因?yàn)镺A，OC分別落在x軸、y軸的正半軸上，CB＝8，AB＝4.
所以點(diǎn)A(8，0)，C(0，4)．
設(shè)直線(xiàn)AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b.
把點(diǎn)A(8，0)，C(0，4)代入y＝kx＋b，得8k＋b＝0，b＝4.
將b＝4代入8k＋b＝0，得8k＋4＝0，解得k＝－.
所以直線(xiàn)AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x＋4.
(2)因?yàn)榧埰琌ABC是長(zhǎng)方形，
所以BC∥OA．
所以∠BCA＝∠CAO.
因?yàn)椤螧CA＝∠ACD，
所以∠ACD＝∠CAO.
所以CE＝AE.
設(shè)CE＝AE＝x，則OE＝8－x.
在Rt△OCE中，由勾股定理，得OC2＋OE2＝CE2，即42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5.
則OE＝8－5＝3，
所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3，0)．
類(lèi)型六　一次函數(shù)與最短距離
7．(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝－2x＋8的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，在y軸上取一點(diǎn)C，使AC＝BC，連接BC.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在線(xiàn)段AB上取一點(diǎn)D，若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，請(qǐng)?jiān)趚軸上找一點(diǎn)P，使得PD＋PC的值最小，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解：(1)當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－2x＋8＝8，
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，8)．
當(dāng)y＝0時(shí)，即－2x＋8＝0，解得x＝4.
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)．
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，t)，
則OC＝t，AC＝BC＝8－t.
在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理，得
42＋t2＝(8－t)2，解得t＝3.
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)．
設(shè)直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝mx＋n.
把點(diǎn)B(4，0)，C(0，3)分別代入y＝mx＋n，得4m＋n＝0，n＝3.
將n＝3代入4m＋n＝0，得4m＋3＝0，
解得m＝－.
所以直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x＋3.
(2)如圖，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接DC′交x軸于點(diǎn)P.
因?yàn)镻C＝PC′，
所以PC＋PD＝PC′＋PD＝DC′.
所以此時(shí)PD＋PC的值最小．
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝－2x＋8＝4，
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4)．
因?yàn)辄c(diǎn)C′與點(diǎn)C(0，3)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
所以點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(0，－3)．
設(shè)直線(xiàn)DC′的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b.
把點(diǎn)C′(0，－3)，D(2，4)分別代入y＝kx＋b，得b＝－3，2k＋b＝4.
將b＝－3代入2k＋b＝4，
得2k－3＝4，
解得k＝.
所以直線(xiàn)DC′的函數(shù)表達(dá)式為y＝x－3.
當(dāng)y＝0時(shí)，x－3＝0，
解得x＝.
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
類(lèi)型七　一次函數(shù)與圖形存在性問(wèn)題
8．(14分)已知y＋2與x－1成正比，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0.
(1)求y與x之間的關(guān)系式；
(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y與x之間的函數(shù)圖象；
(3)設(shè)上述函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為B，點(diǎn)C在x軸上，直接寫(xiě)出以AB為腰的△ABC為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)．
解：(1)因?yàn)閥＋2與x－1成正比，
所以設(shè)y＋2＝k(x－1)．
因?yàn)楫?dāng)x＝2時(shí)，y＝0，
所以2＝k(2－1)，解得k＝2.
所以y與x之間的關(guān)系式為y＋2＝2(x－1)，
即y與x之間的關(guān)系式為y＝2x－4.
(2)y與x之間的函數(shù)圖象如圖中直線(xiàn)l所示．
(3)在y＝2x－4中，令x＝0，則y＝－4，令y＝0，則x＝2，
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，－4).
所以O(shè)A＝2，OB＝4.
所以AB＝＝.
當(dāng)AC＝AB＝時(shí)，△ABC是等腰三角形，
所以O(shè)C＝－2(圖中點(diǎn)C2位置)或OC＝2＋(圖中點(diǎn)C3位置)．
所以點(diǎn)C(2－，0)或(2＋，0)．
當(dāng)AB＝BC時(shí)，△ABC是等腰三角形，
因?yàn)镺B⊥AC，
所以O(shè)A＝OC＝2.
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－2，0)(圖中點(diǎn)C1位置)．
綜上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2－，0)或(2＋，0)或(－2，0)．
類(lèi)型八　一次函數(shù)與角度
9．(12分)如圖，直線(xiàn)y＝kx＋b與直線(xiàn)y＝－x＋4相交于點(diǎn)A(2，2)，與y軸交于點(diǎn)B(0，－2)．
(1)求直線(xiàn)y＝kx＋b的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若直線(xiàn)y＝－x＋4與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P在直線(xiàn)y＝－x＋4上，當(dāng)∠ABO＝∠POD時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解：(1)把點(diǎn)B(0，－2)，A(2，2)分別代入y＝kx＋b，得b＝－2，2k＋b＝2.
將b＝－2代入2k＋b＝2，得2k－2＝2，
解得k＝2.
所以直線(xiàn)y＝kx＋b的函數(shù)表達(dá)式為y＝2x－2.
(2)①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)．
圖1
因?yàn)椤螦BO＝∠POD，
所以O(shè)P∥AB.
因?yàn)橹本€(xiàn)AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝2x－2，
所以直線(xiàn)OP的函數(shù)表達(dá)式為y＝2x.
令－x＋4＝2x，解得x＝.
把x＝代入y＝2x，得y＝.
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥y軸于點(diǎn)M，交OP于點(diǎn)N，設(shè)AB交x軸于點(diǎn)C，
圖2
所以∠OMN＝∠BOC＝90°.
因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，2)，
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，2)．
因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，－2)，
所以O(shè)M＝BO＝2.
因?yàn)椤螦BO＝∠POD，
所以△CBO≌△NOM(ASA)．
所以MN＝OC.
因?yàn)橹本€(xiàn)AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝2x－2，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，0)．
所以O(shè)C＝1.
所以MN＝1.
所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－1，2)．
設(shè)直線(xiàn)ON的函數(shù)表達(dá)式為y＝mx.
所以－m＝2，
解得m＝－2.
所以直線(xiàn)ON的函數(shù)表達(dá)式為y＝－2x.
令－x＋4＝－2x，
解得x＝－4.
把x＝－4代入y＝－2x，得y＝8.
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－4，8)．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或(－4，8)．
類(lèi)型九　一次函數(shù)與方案確定
10．(12分)某生態(tài)體驗(yàn)園推出了甲、乙兩種消費(fèi)卡，設(shè)入園次數(shù)為x時(shí)所需費(fèi)用為y元，選擇這兩種卡消費(fèi)時(shí)，y甲、y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖象，解答下列問(wèn)題：
(1)分別求出選擇這兩種卡消費(fèi)時(shí)，y甲、y乙與x之間的關(guān)系式；
(2)請(qǐng)根據(jù)入園次數(shù)確定選擇哪種卡消費(fèi)比較合算．
解：(1)設(shè)y甲＝k1x.根據(jù)題意，得5k1＝100，解得k1＝20.
所以y甲＝20x.
設(shè)y乙＝k2x＋100.
根據(jù)題意，得20k2＋100＝300，解得k2＝10.
所以y乙＝10x＋100.
(2)當(dāng)y甲＝y(tǒng)乙，即20x＝10x＋100時(shí)，
解得x＝10.
根據(jù)題中圖象可知，①當(dāng)入園次數(shù)小于10次時(shí)，選擇甲消費(fèi)卡比較合算；
②當(dāng)入園次數(shù)等于10次時(shí)，選擇兩種消費(fèi)卡費(fèi)用相同；
③當(dāng)入園次數(shù)大于10次時(shí)，選擇乙消費(fèi)卡比較合算．
11．(14分)某旅行社要印刷旅游宣傳材料，甲印刷廠(chǎng)提出：每份材料收0.2元印刷費(fèi)，另收500元制版費(fèi)；乙印刷廠(chǎng)提出：每份材料收0.4元印刷費(fèi)，不收制版費(fèi)．
(1)分別寫(xiě)出兩個(gè)印刷廠(chǎng)的收費(fèi)y(元)與印刷數(shù)量x(份)之間的關(guān)系式；
(2)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象；
(3)如果旅行社要印刷2 400份宣傳材料，那么選擇哪家印刷廠(chǎng)比較合算？
(4)旅行社擬拿出2 000元用于印刷宣傳材料，那么選擇哪家印刷廠(chǎng)印刷的宣傳材料多？多多少份？
解：(1)根據(jù)題意，得y甲＝0.2x＋500；
y乙＝0.4x.
(2)當(dāng)x＝0時(shí)，y甲＝500，y乙＝0.
當(dāng)x＝2 500時(shí)，y甲＝1 000，y乙＝1 000.
描點(diǎn)畫(huà)出函數(shù)圖象如圖所示．
(3)選擇乙印刷廠(chǎng)比較合算．理由如下：
當(dāng)x＝2 400時(shí)，
甲印刷廠(chǎng)印刷費(fèi)為0.2x＋500＝0.2×2 400＋500＝980(元)，
乙印刷廠(chǎng)印刷費(fèi)為0.4x＝0.4×2 400＝960(元).
因?yàn)?80＞960，
所以選擇乙印刷廠(chǎng)比較合算．
(4)根據(jù)(1)中的式子，得
甲印刷廠(chǎng)：0.2x＋500＝2 000，解得x＝7 500.
乙印刷廠(chǎng)：0.4x＝2 000，解得x＝5 000.
因?yàn)? 500－5 000＝2 500(份)，
所以選擇甲印刷廠(chǎng)印刷的宣傳材料多，多2 500份．
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