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思想方法集錦
(時間：90分鐘　滿分：110分)
方法一　分類討論思想
1．(4分)若等腰三角形兩邊的長x，y滿足|x2－9|＋(y－4)2＝0，則三角形的周長為(　D　)
A．10 B．11
C．12 D．10或11
解析：因為|x2－9|＋(y－4)2＝0，
所以x2－9＝0，y－4＝0.
所以x＝3或x＝－3(舍去)，y＝4.
分兩種情況：
當等腰三角形的腰長為4，底邊長為3時，
等腰三角形的周長為4＋4＋3＝11.
當等腰三角形的腰長為3，底邊長為4時，
等腰三角形的周長為3＋3＋4＝10.
綜上所述，等腰三角形的周長是10或11.
2．(4分)若等腰三角形的一個內角為50°，則這個等腰三角形的頂角為(　D　)
A．50° B．80°
C．100° D．50°或80°
3．(4分)若直角三角形的兩邊長分別為3和5，則第三邊長為(　C　)
A．4 B．
C．4或 D．7
4．(14分)如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y＝kx＋b與x軸交于點A(－6，0)，與直線l2：y＝－2x交于點C(a，4)，E為x軸上的一個動點．
(1)求直線l1的函數表達式；
(2)若點E的坐標為(3，0)，過點E作直線l⊥x軸，分別交直線l1，l2于點F，G，求△CFG的面積；
(3)若以C，A，E為頂點的三角形為直角三角形，求點E的坐標．
解：(1)將C(a，4)代入y＝－2x，得－2a＝4，解得a＝－2.所以C(－2，4)．
將A(－6，0)代入y＝kx＋b，得－6k＋b＝0，即b＝6k.
將C(－2，4)代入y＝kx＋b，得－2k＋b＝4，即－2k＋6k＝4，解得k＝1，b＝6.
所以直線l1的函數表達式為y＝x＋6.
(2)如圖．
當x＝3時，y＝3＋6＝9，
所以F(3，9)．
當x＝3時，y＝－2x＝－6，
所以G(3，－6)．所以FG＝15.
所以S△CFG＝×15×5＝.
(3)如圖．
當∠AE′C＝90°時，E′(－2，0)．
當∠ACE″＝90°時，
因為AE′＝CE′＝4，
所以∠ACE′＝45°.
所以∠E′CE″＝45°.
所以E′E″＝CE＝4.
所以E″(2，0)．
由題意知∠CAE不可能為90°.
綜上，點E的坐標為(－2，0)或(2，0)．
方法二　數形結合思想
5．(12分)數形結合思想是一種數學思想方法．數與形是數學中的兩個基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化——可以借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間的某種關系．
(1)勾股定理的驗證方法有很多種，如圖1，將兩個全等的直角三角形拼成一個直角梯形．請用兩種不同的方法表示出梯形的面積，從而驗證出勾股定理．
(2)如圖2，若線段AB上有一點C，AB＝40，AC＝x，BC＝y，求的最小值．
圖1
圖2
解：(1)根據題意，
梯形的面積①：×2＋；
梯形的面積②：(a＋b)(a＋b)×.
所以×2＋＝(a＋b)(a＋b)×，
即a2＋b2＝c2.
(2)如圖，在線段AB上，作AM⊥AB，BN⊥AB，且AM＝4，BN＝5.
已知AC＝x，BC＝y，且x＋y＝40.
根據勾股定理，得MC＝，NC＝，
故＝MC＋NC.
如圖，作點M關于AB的對稱點H，BK⊥AB，且BK＝AH，
所以＝MC＋NC＝HC＋NC.
當且僅當C，H，N三點共線，即點C與點G重合時，才取得最小值，即＝MC＋NC＝HG＋GN＝HN.
在Rt△HNK中，HN＝＝＝.
所以的最小值為.
6．(12分)若a，b都是實數，設點P(a，b)，若滿足3a＝2b＋5，則稱點P為“夢想點”．
(1)判斷點A(3，2)是否為“夢想點”；
(2)若點Q(m－1，3m＋2)是“夢想點”，請判斷點Q在第幾象限，并說明理由．
解：(1)當點A的坐標為(3，2)時，
有3×3＝2×2＋5成立，
所以點A(3，2)是“夢想點”．
(2)點Q在第三象限．理由如下：
因為點Q(m－1，3m＋2)是“夢想點”，
所以3(m－1)＝2(3m＋2)＋5，
解得m＝－4.
m－1＝－5，3m＋2＝－10，
所以Q(－5，－10)．
所以點Q在第三象限．
7．(10分)如圖，將一張長方形紙片斜折過去，使頂點A落在A′處，BC為折痕，然后再把BE折過去，使之落在BA′所在直線上，折痕為BD.若∠ABC＝58°，求∠E′BD的度數．
解：由折疊的性質，得∠ABC＝∠CBA′，∠DBE＝∠DBE′.
又因為∠ABC＋∠CBA′＋∠DBE＋∠DBE′＝180°，
所以∠CBA′＋∠DBE′＝90°.
又因為∠CBA′＝∠ABC＝58°，
所以∠E′BD＝32°.
方法三　轉化思想
8．(4分)如圖，點A的坐標為(0，1)，B是x軸正半軸上的一個動點，以AB為邊作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°.設點B的橫坐標為x，點C的縱坐標為y，則y關于x的函數表達式是　y＝x＋1(x>0)?。?br/>9．(10分)小明在學習的過程中，遇到了一個問題：如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC上一點，且AE平分∠BAD，DE平分∠ADC.試說明：AD＝AB＋CD.
他的思路是：首先過點E作AD的垂線，將其轉化為求三角形全等，然后根據全等三角形的對應邊相等，使問題得到解決．請根據小明的思路完成下面的作圖與填空．
解：用不帶刻度的直尺和圓規，過點E作AD的垂線EF，垂足為點F(只保留作圖痕跡)．
因為EF⊥AD，
所以∠DFE＝90°.
又因為∠C＝90°，
所以　∠DFE＝∠C?。?br/>因為DE平分∠ADC，
所以　∠FDE＝∠CDE　．
又因為　DE＝DE　，
所以△DEF≌　△DEC　(AAS)．
所以FD＝CD.
同理可得　AF＝AB?。?br/>所以AD＝AF＋FD＝AB＋CD.
解：如圖．
10．(12分)觀察下列各式，并用所得到的規律解決問題．
①≈0.264 6，則≈2.646，≈26.46……
②≈100，＝10，＝1……
(1)發現規律：①被開方數的小數點每向右移動2位，其算術平方根的小數點向　右　移動　1　位；
②被開立方數的小數點每向左移動3位，其立方根的小數點向　左　移動　1　位．
(2)應用：①已知≈0.173 2，≈　1.732　，≈　17.32??；
②已知≈2.154，≈－0.215 4，則a＝?。?.01　．
(3)拓展：已知≈2.449，≈7.746，計算和的值．
解：(3)因為≈2.449，≈7.746，
所以＝＝2≈2×7.746＝15.492，＝＝3≈3×0.244 9＝0.734 7.
11．(12分)觀察下列各式，并解答下列問題．
第1個等式：＝；
第2個等式：＝；
第3個等式：＝；
……
(1)寫出第4個等式：?。健?；
(2)猜想第n個等式：
　＝??；
(3)根據上述規律，計算：＋…＋.
解：(3)＋…＋
＝＋…＋
＝
＝1－
＝.
12．(12分)觀察下列各式，并解答下列問題．
當n＝2時，2×＝；①
當n＝3時，3×＝；②
當n＝4時，4×＝；③
……
(1)針對上述各式的規律，請寫出當n＝5時的式子；
(2)請寫出滿足上述規律的等式(用含n的式子表示，n為自然數且n≥2)，并說明此等式成立．
解：(1)根據題意可知，當n＝5時，5×＝.
(2)觀察可得n＝(n為自然數且n≥2)．說明過程如下：
＝
＝＝n，
即n＝.
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