資源簡介

創新考向集訓
(時間：90分鐘　滿分：112分)
創新考向一　規律探究
1．(4分)如圖，點P在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點(1，1)，第2次接著運動到點(2，0)，第3次接著運動到點(3，2)……按這樣的運動規律，經過第2 025次運動后動點P的坐標是　(2_025，1)　．
解析：由題意，得p1(1，1)，p2(2，0)，p3(3，2)，p4(4，0)，p5(5，1)……
可以看出點P的運動，橫坐標為點P運動的第幾次，縱坐標為1，0，2，0的循環，
2 025÷4＝506……1.
所以經過第2 025次運動后動點P的坐標是(2 025，1)．
2．(12分)在平面直角坐標系中，一只螞蟻從原點O出發，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動，每次移動1個單位長度，其行走路線如圖所示．
(1)填寫下列各點的坐標：A4(　2，0　)，A8(　4，0　)，A10(　5，1　)，A12(　6，0　)；
(2)寫出點A4n的坐標(n是正整數)；
(3)指出螞蟻從點A2 023到點A2 024的移動方向．
解：(1)由題圖可知，A4，A8，A12都在x軸上，
因為小螞蟻每次移動1個單位長度，
所以OA4＝2，OA8＝4，OA12＝6.
所以A4(2，0)，A8(4，0)，A12(6，0)．
同理可得A10(5，1)．
故答案為：2，0；4，0；5，1；6，0.
(2)根據(1)可知OA4n＝4n÷2＝2n，
所以點A4n的坐標為(2n，0)．
(3)因為2 023÷4＝505……3，
所以從點A2 023到點A2 024的移動方向與從點A3到點A4的方向一致，為向右．
創新考向二　推理論證
3．(10分)一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發現了勾股定理的一種新的驗證方法．如圖，火柴盒的一個側面ABCD倒下到四邊形AB′C′D′的位置，連接AC′，AC，CC′，設AB＝a，BC＝b，AC＝c.請利用四邊形BCC′D′的面積驗證勾股定理．
解：四邊形BCC′D′為直角梯形，
所以S梯形BCC′D′＝(BC＋C′D′)·BD′＝.
又因為∠AB′C′＝90°，Rt△ABC≌Rt△AB′C′，所以∠BAC＝∠B′AC′.
所以∠CAC′＝∠CAB′＋∠B′AC′＝∠CAB′＋∠BAC＝90°.
所以S梯形BCC′D′＝S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′
＝ab＋c2＋ab
＝.
所以＝.
所以a2＋b2＝c2.
4．(10分)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形稱為箏形．根據以往的學習經驗，小穎對箏形的性質進行了探究．她通過觀察、試驗、猜想、驗證得到箏形的性質是“箏形有一組對角相等”．請你幫她將解題過程補充完整．
已知：如圖，在箏形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD.
試說明：　∠B＝∠D　．
解：
解：如圖，連接AC.
在△ABC和△ADC中，
所以△ABC≌△ADC(SSS)．
所以∠B＝∠D.
創新考向三　新定義
5．(14分)對于平面直角坐標系中的任意一點P(x，y)，給出如下定義：記a＝－x，b＝x－y，那么我們把點M(a，b)與點N(b，a)稱為點P的一對“和美點”．例如，點P(－1，2)的一對“和美點”是點(1，－3)與點(－3，1)．
(1)點A(4，1)的一對“和美點”的坐標是　(－4，3)　與　(3，－4)　；
(2)若點B(2，y)的一對“和美點”重合，則y的值為　4　；
(3)若點C的一個“和美點”的坐標為(－2，7)，求點C的坐標．
解：(1)因為A(4，1)，
所以a＝－4，b＝4－1＝3.
所以點A(4，1)的一對“和美點”的坐標是(－4，3)與(3，－4)．
故答案為：(－4，3)；(3，－4)．
(2)因為B(2，y)，
所以a＝－2，b＝2－y.
所以點B(2，y)的一對“和美點”的坐標是(－2，2－y)和(2－y，－2)．
因為點B(2，y)的一對“和美點”重合，
所以－2＝2－y.
所以y＝4.
故答案為：4.
(3)設點C的坐標為(x，y)．
因為點C的一個“和美點”的坐標為(－2，7)，
所以有兩種情況：
①若a＝－2，b＝7，則－x＝－2，x－y＝7，
解得x＝2.
將x＝2代入x－y＝7，解得y＝－5.
所以點C的坐標為(2，－5)．
②若a＝7，b＝－2，則－x＝7，x－y＝－2，
解得x＝－7.
將x＝－7代入x－y＝－2，解得y＝－5.
所以點C的坐標為(－7，－5)．
綜上所述，點C的坐標為(2，－5)或(－7，－5)．
6．(14分)在平面直角坐標系中，對于點M(m，n)和點N(x，y)，給出如下定義：若則稱N為M的“親密點”．例如，點(1，3)的“親密點”為點(5，1)．
(1)點(－2，4)的“親密點”坐標是　(2，2)　；若點M的“親密點”為(8，5)，則點M的坐標是　(4，7)　．
(2)如圖，直線y＝x＋2交x軸于點P，點M(0，a)的“親密點”N在直線y＝x＋2上，求a的值及△MNP的面積．
解：(2)由題意，得點M(0，a)的親密點N為(4，a－2)．
將(4，a－2)代入y＝x＋2，得a－2＝×4＋2，解得a＝5.
所以M(0，5)，N(4，3)．
令y＝x＋2＝0，解得x＝－8.
所以點P的坐標為(－8，0)．
如圖，連接MN，PM，過點N作NQ⊥x軸于點Q.
由題意，得S△MNP＝S△MPO＋S梯形MNQO－S△NQP＝MO·PO＋OQ·(NQ＋MO)－NQ·PQ＝×5×8＋×4×(3＋5)－×3×12＝18.
創新考向四　閱讀感悟
7．(14分)[閱讀理解]
課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求邊BC上的中線AD的取值范圍．
小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE＝AD.
請根據小明的方法思考：
(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的依據是　SAS　．(用字母表示)
[感悟]
解題時，條件中若出現“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所驗證的結論集合到同一個三角形中．
[問題解決]
(2)如圖2，在△ABC中，D是BC的中點，點M在邊AB上，點N在邊AC上．若DM⊥DN，試說明：BM＋CN＞MN.
圖1
圖2
解：(1)在△ADC和△EDB中，
，
所以△ADC≌△EDB(SAS)．
故答案為：SAS.
(2)如圖，延長ND至點F，使FD＝ND，連接BF，MF.
同(1)得△BFD≌△CND(SAS)，
所以BF＝CN.
因為DM⊥DN，FD＝ND，
所以MF＝MN.
在△BFM中，由三角形的三邊關系，得BM＋BF＞MF，
所以BM＋CN＞MN.
創新考向五　方案設計
8．(14分)在一個平直河岸l同側有A，B兩個村莊，A，B到l的距離分別為3 km和2 km，AB＝x km(x＞1)，現計劃在河岸l上建抽水站P，用輸水管道向兩個村莊供水．
[方案設計]
某班數學興趣小組設計了兩種鋪設管道方案：
方案一：如圖1，設該方案中管道長度為d1 km，且d1＝PB＋BA，其中BP⊥l于點P.
方案二：如圖2，設該方案中管道長度為d2 km，且d2＝PA＋PB，其中點A′與點A關于直線l對稱，A′B與直線l交于點P.
[觀察計算]
(1)在方案一中，d1＝　(x＋2)　km.(用含x的代數式表示)
(2)在方案二中，組長小強為了計算d2的長，作了如圖3所示的輔助線，請你按小強同學的思路計算，d2＝　　km.(用含x的代數式表示)
[探索歸納]
(3)①當x＝4時，比較大小：d1　＜　d2；(填“＞”“＜”或“＝”)
②當x＝6時，比較大小：d1　＞　d2.(填“＞”“＜”或“＝”)
(4)當x＞1時，若用y＝表示方案一與方案二鋪設管道長度的平方差，則根據整式的運算性質可得y＝　4x－20　．(用含x的代數式表示)
(5)在如圖4所示的平面直角坐標系中作出函數y＝的圖象，并指出要使鋪設管道較短，應如何選擇這兩種鋪設方案．
圖1 圖2
圖3 圖4
解：(4)由題意，得y＝＝(x＋2)2－()2＝4x－20.
故答案為：4x－20.
(5)作函數的圖象如圖所示．
由圖象可知，當x＞5時＞0，
即(d1＋d2)(d1－d2)＞0，所以d1＞d2.
當x＝5時＝0，
同理可得d1＝d2.
當1同理可得d1＜d2.
綜上所述，當x＞5時，選擇方案二；當x＝5時，選擇方案一或方案二均可；當1＜x＜5時，選擇方案一．
創新考向六　跨學科
9．(4分)如圖1是某湖最深處的一個截面圖，湖面下任意一點A的壓強p(cmHg)與其離湖面的深度h(m)之間的關系式為p＝kh＋p0，其圖象如圖2所示，其中p0為湖面大氣壓強，k為常數，且k＞0.若點M的坐標為(34.5，312)，根據圖中信息分析，下列結論正確的是(　B　)
圖1
　
圖2
A．湖面大氣壓強為76.0 cmHg
B．湖水深23 m處的壓強約為230 cmHg
C．函數表達式p＝kh＋p0中自變量h的取值范圍是h＞0
D．p與h之間的函數表達式為p＝7h＋66
10．(4分)某班同學在探究彈簧測力計指針位置跟砝碼質量的關系變化時，通過實驗得到的數據如表：
砝碼質量x/g 0 50 100 150 200 250 300 400 500
指針位置y/cm 2 3 4 5 6 7 7.5 7.5 7.5
則y關于x的函數圖象是(　D　)
11．(12分)攝氏溫度(℃)和華氏溫度(?)是兩種不同的溫度計量方法，二者之間有如下的對應關系：
攝氏溫度x/℃ 0 10 20 30 40 50
華氏溫度y/? 32 50 68 86 104 122
(1)觀察表格發現，y與x之間存在一次函數關系，求該函數的表達式．
(2)求華氏溫度為5 ?時所對應的攝氏溫度．
(3)華氏溫度的值與所對應的攝氏溫度的值有相等的可能嗎？如果有，請求出此時的攝氏溫度；如果沒有，請說明理由．
解：(1)設該函數的表達式為y＝kx＋b(k，b為常數，且k≠0)．
將x＝0，y＝32和x＝10，y＝50分別代入y＝kx＋b，得b＝32，10k＋b＝50，
將b＝32代入10k＋b＝50，得k＝.
所以該函數的表達式為y＝x＋32.
(2)當y＝5時，即5＝x＋32，
解得x＝－15.
所以華氏溫度為5 ?時所對應的攝氏溫度為－15 ℃.
(3)有．理由如下：
當y＝x時，即x＝x＋32，
解得x＝－40.
所以此時的攝氏溫度為－40 ℃.
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