資源簡介

第一章成果展示　三角形
(時間：120分鐘　滿分：120分)
第Ⅰ卷(選擇題　共40分)
一、選擇題(本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)
1．下列圖形是全等圖形的是(　B　)
　
A　　　　　B
　
C　　　　　D
2．如圖，蓋房子時，在窗框沒有安裝之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，使其不變形，這種做法的根據是(　D　)
A．兩點之間線段最短
B．長方形的對稱性
C．長方形四個角都是直角
D．三角形的穩定性
3．如圖是作△ABC的作圖痕跡，則此作圖的已知條件是(　C　)
A．已知兩邊及夾角
B．已知三邊　
C．已知兩角及夾邊
D．已知兩邊及一邊對角
4．把如圖所示的圖形分割成兩個全等圖形，正確的是(　B　)
A　　　　　B
C　　　　　D
5．在鈍角三角形ABC中，∠C為鈍角，AC＝10，BC＝6，AB＝x，則x的取值范圍是(　B　)
A．4＜x＜16　 B．10＜x＜16
C．4＜x≤16　 D．10＜x≤16
解析：根據三角形的三邊關系，得10－6＜x＜10＋6，
即4＜x＜16.
因為∠C為鈍角，
所以AB為最長邊．
所以10＜x＜16.
6．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，則∠1的度數為(　C　)
A．38°　 B．39°　
C．51°　 D．52°
解析：因為在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝39°，
所以∠A＝51°.
因為EF∥AB，
所以∠1＝∠A．
所以∠1＝51°.
7．如圖，C是AB的中點，AD＝BE，CD＝CE，則圖中共有　　　　全等三角形．(　C　)
A．2對　 B．3對　
C．4對　 D．5對
解析：因為點C是AB的中點，
所以AC＝BC.
因為AD＝BE，CD＝CE，
所以△ACD≌△BCE(SSS)．
所以∠D＝∠E，∠A＝∠B，∠ACD＝∠BCE.
設AD交EC于點G，BE交CD于點H，圖略．
所以∠ACG＝∠BCH.
所以△ACG≌△BCH(ASA)．
所以CG＝CH.
所以EG＝DH，△ECH≌△DCG(SAS)．
因為∠EFG＝∠DFH，
所以△EFG≌△DFH(AAS)．
所以圖中全等三角形共有4對．
8．如果三角形的三個內角的度數比是2∶3∶4，則它是(　A　)
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．鈍角或直角三角形
解析：設三個內角的度數分別為2k，3k，4k，則2k＋3k＋4k＝180°，
解得k＝20°.
所以最大的角為4×20°＝80°.
所以三角形是銳角三角形．
9．如圖，在△ABC中，BD，CD分別平分∠ABC，∠ACB，∠BDC＝120°，則∠A的度數為(　C　)
A．40°　 B．50°　
C．60°　 D．75°
解析：因為BD，CD分別平分∠ABC，∠ACB，
所以∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB.
所以∠ABC＋∠ACB＝2(∠DBC＋∠DCB)．
因為∠BDC＝120°，∠BDC＋∠DBC＋∠DCB＝180°，
所以∠DBC＋∠DCB＝60°.
所以∠ABC＋∠ACB＝120°.
因為∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
所以∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－120°＝60°.
10．如圖，在△ABC與△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于點D，連接BE.下列結論：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③AD＝AC；④∠EFB＝40°.其中正確的個數為(　C　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：在△AEF和△ABC中，
所以△AEF≌△ABC(SAS)．
所以∠EAF＝∠BAC，AF＝AC.故②正確；
所以∠FAC＝∠EAB＝40°.故①正確；
所以∠C＝∠AFC＝∠AFE＝70°.
所以∠EFB＝180°－70°－70°＝40°.故④正確；
若AD＝AC，則∠ADF＝∠AFD＝70°.
所以∠DAF＝40°.這顯然與條件不符，故③錯誤．
第Ⅱ卷(非選擇題　共80分)
二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)
11．如圖，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°，所以△ABD是　直角　三角形．
解析：易知∠DBC＝180°－∠BDC－∠C＝180°－80°－70°＝30°.因為BD平分∠ABC，
所以∠ABD＝∠DBC＝30°.
因為∠ADB＝60°，
所以∠A＝180°－30°－60°＝90°.
所以△ABD是直角三角形．
12．如圖，在△ABC中，AD，AE分別是邊CB上的中線和高，AE＝6 cm，S△ABD＝12 cm2，則DC的長是　4　cm.
解析：因為S△ABD＝12，AE是邊CB上的高，AE＝6，
所以BD·AE＝12，
即BD×6＝12.
所以BD＝4.
因為AD為邊CB上的中線，
所以DC＝BD＝4 cm.
13．如圖，已知AB＝CD，BF＝EC，只需再補充一個條件就能使△ABE≌△DCF，則下列條件：
①AE＝DF；②AE∥DF；③AB∥CD；④∠A＝∠D.
符合題意的有　①③　．(填序號)
14．如圖，在△ABC中，已知D，E，F分別是BC，AD，CE的中點．若△ABC的面積為16 cm2，則△BEF(陰影部分)的面積等于　4　cm2.
解析：因為點D為BC的中點，△ABC的面積為16 cm2，所以S△ABD＝S△ACD＝＝×16＝8(cm2)．
因為點E為AD的中點，
所以S△BDE＝S△ABD＝4 cm2，S△CDE＝S△ACD＝4 cm2.
所以S△BCE＝S△BDE＋S△CDE＝4＋4＝8(cm2)．
因為點F為CE的中點，
所以S△BEF＝S△BCE＝×8＝4(cm2)．
15．如圖，測量水池的寬AB，可過點A作直線AC⊥AB，再由點C觀測，在BA延長線上找一點B′，使∠ACB′＝∠ACB，這時只要量出AB′的長，就知道AB的長，這個測量用到的三角形全等判定方法是　ASA　．(用字母表示)
解析：因為AC⊥AB，
所以∠CAB＝∠CAB′＝90°.
在△ABC和△AB′C中，
所以△ABC≌△AB′C(ASA)．
所以AB＝AB′.
16．如圖，在△ABC中，過點A分別作AD⊥AB，AE⊥AC，且使AD＝AB，AE＝AC，BE和CD相交于點O，則∠DOE的度數是　90°　．
解析：如圖，設AC交BE于點K.
因為AD⊥AB，AE⊥AC，
所以∠DAB＝∠EAC＝90°.
所以∠DAC＝∠BAE.
在△DAC和△BAE中，
所以△DAC≌△BAE(SAS)．
所以∠DCA＝∠E.
因為∠EKA＝∠CKO，
所以∠COK＝∠EAK＝90°.
所以∠DOE＝90°.
三、解答題(本大題共6個小題，共56分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(8分)尺規作圖．
已知：△ABC(如圖)．
求作：△A′B′C′，使△A′B′C′與△ABC全等．
要求：(1)不寫作法，保留作圖痕跡；
(2)寫出作圖時選取的相等的邊或角．
解：如圖，△A′B′C′即為所作(點A與點A′，點B與點B′，點C與點C′為對應點)．
選取的相等的邊為B′C′＝BC，C′A′＝CA，B′A′＝BA．
18．(8分)如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點，連接AD并延長到點E，使DE＝AD，連接CE.若△ABD的面積為5，求△ACE的面積．
解：因為D是△ABC中邊BC的中點，
所以S△ABD＝S△ADC.
易得△ABD≌△ECD，所以S△ABD＝S△ECD.
因為S△ABD＝5，所以S△ACE＝S△ADC＋S△ECD＝5＋5＝10，即△ACE的面積為10.
19．(8分)如圖，點D，E分別在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于點O，OB＝OC.試說明：∠1＝∠2.
小虎同學的說明過程如下：
解：因為∠ADC＝∠AEB＝90°，
所以∠DOB＋∠B＝∠EOC＋∠C＝90°.
因為∠DOB＝∠EOC，
所以∠B＝∠C.……第一步
又因為OA＝OA，OB＝OC，
所以△ABO≌△ACO.……第二步
所以∠1＝∠2.……第三步
(1)小虎同學的說明過程中，第　二　步出現錯誤；
(2)請寫出正確的說明過程．
解：(2)因為∠ADC＝∠AEB＝90°，
所以∠BDO＝∠CEO＝90°.
在△DOB和△EOC中，
所以△DOB≌△EOC(AAS)．
所以OD＝OE，∠B＝∠C.
所以DC＝EB.
在△ADC和△AEB中，
所以△ADC≌△AEB(ASA)．
所以AD＝AE.
在△ADO和△AEO中，
所以△ADO≌△AEO(SAS)．
所以∠1＝∠2.
20．(10分)如圖，已知在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠CAB＝∠EAF，BE交FC于點O，交AC于點D.
(1)試說明：BE＝CF；
(2)當∠BAC＝70°時，求∠BOC的度數．
解：(1)因為∠CAB＝∠EAF，
所以∠CAB＋∠CAE＝∠EAF＋∠CAE.
所以∠BAE＝∠CAF.
在△BAE和△CAF中，
所以△BAE≌△CAF(SAS)．
所以BE＝CF.
(2)因為△BAE≌△CAF，
所以∠EBA＝∠FCA，
即∠DBA＝∠OCD.
因為∠BDA＝∠ODC，
所以∠BAD＝∠COD.
因為∠BAC＝70°，
所以∠BOC＝70°.
21．(10分)如圖，在△ABC中，∠B＜∠ACB，AD平分∠BAC，P為線段AD上的一個動點，PE⊥AD，交直線BC于點E.
(1)若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度數；
(2)當點P在線段AD上運動時，試說明：∠E＝(∠ACB－∠B)．
解：(1)因為∠B＝35°，∠ACB＝85°，
所以∠BAC＝60°.
因為AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝∠DAC＝30°.
所以∠ADC＝180°－30°－85°＝65°.
又因為PE⊥AD，所以∠DPE＝90°.
所以∠E＝25°.
(2)因為∠B＋∠BAC＋∠ACB＝180°，
所以∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)．
因為AD平分∠BAC，
所以∠DAC＝∠BAC＝90°－(∠B＋∠ACB)．
所以∠ADC＝180°－∠DAC－∠ACB＝90°－(∠ACB－∠B)．
因為PE⊥AD，所以∠DPE＝90°.
所以∠ADC＋∠E＝90°.
所以∠E＝90°－∠ADC，
即∠E＝(∠ACB－∠B)．
22．(12分)如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8 cm，BC＝6 cm，D為AB的中點．如果點P在線段BC上以每秒2 cm的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CA上以每秒a cm的速度由點C向點A運動，設運動時間為t(0≤t≤3)s.
(1)用含t的代數式表示PC的長度；
(2)若點P，Q的運動速度相等，經過1 s后，△BPD與△CQP是否全等？請說明理由．
解：(1)由題意，得PC＝BC－BP＝6－2t.
(2)△BPD與△CQP全等．理由如下：
因為t＝1，
所以BP＝CQ＝2×1＝2(cm)．
所以PC＝BC－BP＝6－2＝4(cm)．
因為AB＝8 cm，D為AB的中點，
所以BD＝4 cm.
所以PC＝BD.
在△BPD和△CQP中，
所以△BPD≌△CQP(SAS)．
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