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課時分層訓練(七)　探索軸對稱的性質
知識點一　軸對稱的性質
1．如圖，若△ABC與△A1B1C1關于直線MN對稱，BB1交MN于點O，則下列說法不一定正確的是(　D　)
A．AC＝A1C1　 B．BO＝B1O
C．CC1⊥MN　 D．AB∥B1C1
解析：因為△ABC與△A1B1C1關于直線MN對稱，
所以AC＝A1C1，BO＝B1O，CC1⊥MN.
故選項A，B，C正確，不符合題意；
AB∥B1C1不一定成立，故選項D不一定正確，符合題意．
故選：D.
2．如圖，已知△ABC和△ADC關于直線AC成軸對稱，∠B＝30°，∠BAD＝46°，則∠BCD的度數為(　C　)
A．120° B．116°
C．106° D．96°
解析：如圖，連接BD.
因為△ABC和△ADC關于直線AC成軸對稱，
所以△ABC≌△ADC.
所以∠ABC＝∠ADC＝30°.
因為∠BAD＝46°，
所以∠ABD＋∠ADB＝180°－46°＝134°.
所以∠CDB＋∠CBD＝134°－30°－30°＝74°.
所以∠BCD＝180°－74°＝106°.
故選：C.
3．如圖，已知AD所在直線是△ABC的對稱軸，E，F是AD上的兩點．若△ABC的面積為18，則圖中陰影部分的面積是(　C　)
A．6 B．12
C．9 D．無法確定
解析：因為AD所在直線是△ABC的對稱軸，所以AD⊥BC，BD＝CD.
所以S△ABD＝S△ACD，S△BEF＝S△CEF.
所以題圖中陰影部分的面積等于△ABC面積的一半．
所以陰影部分的面積為S△ABC＝×18＝9.故選：C.
4．將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，EN，EM為折痕，折疊后點A′，B′，E在同一條直線上．已知∠AEN＝32°，則∠MEB′的度數為　58°　．
解析：由題意知∠AEN＝∠NEA′，∠MEB＝∠MEB′，
所以∠A′EN＝∠AEA′，∠B′EM＝∠B′EB.
所以∠MEN＝∠AEB＝×180°＝90°.
因為∠AEN＝32°，所以∠NEA′＝32°.
所以∠MEB′＝90°－32°＝58°.
故答案為：58°.
5．如圖，P為∠AOB內部任意一點，點P與點P1關于OA對稱，點P與點P2關于OB對稱，OP＝4，∠AOB＝45°，則△OP1P2的面積為　8　．
解析：因為點P1和點P關于OA對稱，點P2和點P關于OB對稱，
所以OP1＝OP＝OP2＝4，且∠P1OP2＝2∠AOB＝90°.
所以△OP1P2是等腰直角三角形．
所以△OP1P2的面積為×4×4＝8.
故答案為：8.
6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5.沿過點B的直線折疊這個三角形，使得點C落在邊AB上的點E處，折痕為BD，求DE的長．
解：由折疊，得DE＝DC，∠BED＝∠C＝90°，
所以BC⊥AC，DE⊥AB.
因為AC＝4，BC＝3，AB＝5，
所以AD＝4－DC＝4－DE.
因為AD·BC＝AB·DE＝S△ABD，
所以×(4－DE)×3＝×5×DE，
解得DE＝.
故DE的長為.
知識點二　畫軸對稱圖形
7．已知△ABC如圖所示，求作△ABC關于對稱軸l的軸對稱圖形△A′B′C′.
解：如圖，△A′B′C′即為所求．
8．如圖，在四邊形ABCD中，對角線BD所在的直線是其對稱軸，P是直線BD上的點，則下列判斷錯誤的是(　C　)
A．AD＝CD
B．∠DAP＝∠DCP
C．AP＝BC
D．∠ABP＝∠CBP
解析：因為對角線BD所在的直線是四邊形ABCD的對稱軸，
所以△APD≌△CPD，△ABD≌△CBD.
所以AD＝CD，∠DAP＝∠DCP，∠ABP＝∠CBP.
故選項A，B，D正確．
故選：C.
9．已知P為銳角∠AOB內的一點，點M與點P關于OA對稱，點N與點P關于OB對稱．若OP＝3，MN＝5，則△MON的周長是(　B　)
A．8 B．11
C．13 D．15
解析：畫示意圖如圖所示．
因為點M與點P關于OA對稱，點N與點P關于OB對稱，
所以OM＝OP＝3，ON＝OP＝3.
因為MN＝5，
所以△MON的周長是OM＋ON＋MN＝11.
故選：B.
10．如圖，若P為∠AOB內一點，分別作點P關于OA，OB的對稱點P1，P2，連接P1P2，交OA于點M，交OB于點N.若△PMN的周長為15 cm，則P1P2的長度為(　D　)
A．5 cm B．7.5 cm
C．30 cm D．15 cm
解析：因為點P關于OA，OB的對稱點分別是點P1，P2，
所以OA，OB分別是PP1，PP2的垂直平分線．
所以MP＝MP1，NP＝NP2.
所以P1P2的長度＝MP1＋MN＋NP2＝MP＋MN＋NP＝△PMN的周長＝15 cm.
故選：D.
11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，∠BCD＝50°，點B關于CD的對稱點是點E，則∠ACE＝　10　.(填度數)
解析：因為點B關于CD的對稱點是點E，
所以∠B＝∠E.
因為CD⊥AB于點D，∠BCD＝50°，
所以∠B＝90°－∠BCD＝90°－50°＝40°.
所以∠E＝∠B＝40°.
因為∠ACB＝90°，
所以∠DCA＝90°－∠BCD＝90°－50°＝40°.
在△CDE中，CD⊥AB于點D，∠E＝40°，
所以∠DCE＝90°－∠E＝90°－40°＝50°.
所以∠ACE＝∠DCE－∠DCA＝50°－40°＝10°.
故答案為：10.
12．在△ABC中，將∠B，∠C按如圖所示的方式折疊，點B，C均落于邊BC上的點Q處，MN，EF為折痕．若∠A＝80°，則∠MQE＝　80°　．(填度數)
解析：因為線段MN，EF為折痕，
所以∠B＝∠MQB，∠C＝∠EQC.
因為∠A＝80°，
所以∠B＋∠C＝180°－80°＝100°.
所以∠MQB＋∠EQC＝∠B＋∠C＝100°.
所以∠MQE＝180°－100°＝80°.
故答案為：80°.
13．如圖，將已知四邊形分別在格點圖中補成關于已知直線l，m，n，p為對稱軸的軸對稱圖形．
解：關于直線l，m，n，p為對稱軸的軸對稱圖形如圖所示．
【創新運用】
14．如圖，在△ABC中，D為邊BC上一點，將△ABD沿AD翻折得到△AED，AE與BC相交于點F.若AE平分∠CAD，∠B＝40°，∠C＝35°.
(1)試說明：∠CAF＝∠C；
(2)求∠1的度數．
解：(1)因為∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠B＝40°，∠C＝35°，
所以∠BAC＝105°.
因為AE平分∠CAD，
所以∠CAF＝∠DAE.
由翻折，得∠BAD＝∠DAE，∠B＝∠E＝40°，
所以∠BAD＝∠DAE＝∠CAF＝∠BAC＝35°.
所以∠CAF＝∠C.
(2)由(1)知∠CAF＝∠C＝35°，∠B＝∠E＝40°，
所以∠AFC＝180°－∠CAF－∠C＝110°.
所以∠DFE＝∠AFC＝110°.
所以∠1＝180°－∠DFE－∠E＝30°.
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