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第二章成果展示　軸對稱
(時間：120分鐘　滿分：120分)
第Ⅰ卷(選擇題　共40分)
一、選擇題(本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)
1．下列安全圖標不是軸對稱圖形的是(　D　)
2．如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，Q是射線OM上的一個動點．若PA＝2，則PQ的長不可能是(　D　)
A．4 B．3.5
C．2 D．1.5
解析：因為OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，
所以點P到OM的距離等于PA，
即點P到OM的距離為2.
所以PQ≥2.
3．如圖所示是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一座涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在(　B　)
A．△ABC的三條中線的交點處
B．△ABC三條角平分線的交點處
C．△ABC三條高所在直線的交點處
D．△ABC三邊的中垂線的交點處
解析：由于涼亭到草坪三條邊的距離相等，所以根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，可知是△ABC三條角平分線的交點．由此即可確定涼亭位置．
4．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是邊BC上的動點，則AP的長不可能是(　D　)
A．3.5　 B．4.2　
C．5.8　 D．7
解析：根據垂線段最短，可知AP的長不可能小于3.
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，
所以AB＝2AC＝6.
所以AP的長不可能大于6.
故選D.
5．如圖，在小等邊三角形組成的網格中，已涂黑6個小等邊三角形(陰影部分)，還需涂黑n個小等邊三角形，使它們與原來涂黑的小等邊三角形組成的新圖案恰有3條對稱軸，則n的最小值為(　C　)
A．10　 B．6
C．3　 D．2
6．如圖，若△ABC與△A′B′C′關于直線MN對稱，BB′交MN于點O，則下列說法不一定正確的是(　D　)
A．AC＝A′C′　 B．BO＝B′O
C．AA′⊥MN　 D．AB∥B′C′
7．如圖，AD為△ABC的中線，將△ABD沿著AD翻折得到△AED，點B的對應點為點E，AE與BC相交于點F，連接CE，則下列結論一定正確的是(　C　)
A．DF＝FC B．AE⊥BC
C．∠DEC＝∠DCE D．∠BAD＝∠CAE
解析：因為AD為△ABC的中線，所以BD＝CD.因為將△ABD沿著AD翻折得到△AED，點B的對應點為點E，所以BD＝ED.所以CD＝ED.所以∠DEC＝∠DCE.
8．下列說法：
①等腰三角形是軸對稱圖形；②等邊三角形的每一個角都等于60°；③等腰三角形的兩個底角相等；④等腰三角形頂角的平分線所在的直線是它的對稱軸．
其中，正確的說法有(　D　)
A．1個　 B．2個
C．3個　 D．4個
9．如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，則∠MAB的度數為(　B　)
A．30°　 B．35°　
C．45°　 D．60°
解析：如圖，作MN⊥AD于點N.
因為∠B＝∠C＝90°，
所以AB∥CD.
所以∠DAB＋∠ADC＝180°.
所以∠DAB＝180°－∠ADC＝70°.
因為DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
所以MN＝MC.
因為M是BC的中點，
所以MC＝MB.
所以MN＝MB.
又因為MN⊥AD，MB⊥AB，
所以AM是∠DAB的平分線．
所以∠MAB＝∠DAB＝35°.
10．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC內的兩點，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE＝6 cm，DE＝2 cm，則BC的長為(　C　)
A．4 cm 　B．6 cm 　C．8 cm 　D．12 cm
解析：如圖，延長ED交BC于點M，延長AD交BC于點N.
因為AB＝AC，AD平分∠BAC，
所以AN⊥BC，BN＝CN.
因為∠EBC＝∠E＝60°，
所以△BEM為等邊三角形．
所以BE＝EM＝BM，∠EMB＝60°.
因為BE＝6 cm，DE＝2 cm，
所以DM＝EM－DE＝4 cm.
因為AN⊥BC，
所以∠DNM＝90°.
所以∠NDM＝30°.
所以NM＝DM＝2 cm.
所以BN＝BM－NM＝4 cm.
所以BC＝2BN＝8 cm.
第Ⅱ卷(非選擇題　共80分)
二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)
11．在“線段、角、直角三角形、等邊三角形”這四個圖形中，對稱軸最多的圖形是　等邊三角形　．
解析：在“線段、角、直角三角形、等邊三角形”這四個圖形中，是軸對稱圖形的有線段、角、等邊三角形．角有1條對稱軸，線段有2條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸．所以對稱軸最多的圖形是等邊三角形．
12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，D是邊BC的中點，DE垂直AC于點E，則∠EDC的度數為　25°　．
解析：因為AB＝AC，
所以∠B＝∠C.
因為∠BAC＝50°，
所以∠C＝×(180°－50°)＝65°.
因為DE垂直AC于點E，
所以∠DEC＝90°.
所以∠EDC＝90°－65°＝25°.
13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分線DE交AC于點E，交BC的延長線于點F，垂足為點D.若∠F＝30°，BE＝4，則DE＝　2　．
解析：因為∠ACB＝90°，FD⊥AB，而∠AED＝∠CEF，
所以∠A＝∠F＝30°.
因為DE垂直平分AB，
所以EA＝EB.
所以∠EBA＝∠A＝30°.
所以DE＝BE＝×4＝2.
14．如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別為30，40，15，P是△ABC三個內角平分線的交點，則S△PAB∶S△PBC∶S△PCA＝　6∶8∶3　．
解析：因為點P是△ABC三個內角平分線的交點，
所以點P到三邊的距離相等．
設這個距離為m，
所以S△PAB∶S△PBC∶S△PCA＝∶∶(AC·m)＝AB∶BC∶AC＝30∶40∶15＝6∶8∶3.
15．如圖，P為∠AOB內任意一點，E，F分別為點P關于OA，OB的對稱點．若∠AOB＝30°，則∠E＋∠F＝　150°　.(填度數)
解析：如圖，連接OP.
因為E，F分別為點P關于OA，OB的對稱點，
所以∠EOA＝∠AOP，∠POB＝∠BOF，PE⊥OA，PF⊥OB.
因為∠AOB＝∠AOP＋∠POB，
所以∠EOF＝2∠AOB＝60°.
因為∠AOB＝30°，PE⊥OA，PF⊥OB，
所以∠EPF＝150°.
所以∠E＋∠F＝360°－∠EOF－∠EPF＝360°－60°－150°＝150°.
16．如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝28°，則∠C＝　38°　．(填度數)
解析：因為AB＝AD＝DC，∠BAD＝28°，
所以∠B＝∠ADB＝(180°－28°)÷2＝76°.
所以∠ADC＝180°－76° ＝104°.
所以∠C＝∠CAD＝(180°－104°)÷2＝38°.
三、解答題(本大題共6個小題，共56分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(8分)在如圖所示的網格圖(每小格均是邊長為1的正方形)中完成下列各題：
(1)畫出與格點三角形ABC(頂點均在格點上)關于直線DE對稱的△A1B1C1；
(2)在DE上畫出點P，使PA＋PC的值最小．
解：(1)如圖，△A1B1C1即為所求．
(2)如圖，連接AC1，交直線DE于點P，點P即為所求．
18．(8分)如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB交AB于點E，DF⊥AC交AC于點F.若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC的長．
解：因為AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
所以DF＝DE＝2.
又因為S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，AB＝4，
所以7＝×4×2＋AC·2.
所以AC＝3.
19．(8分)如圖，在△ABC中，AB＜AC，邊BC的垂直平分線DE交BC于點D，交AC于點E，AC＝8，△ABE的周長為14，求AB的長．
解：因為DE是邊BC的垂直平分線，
所以BE＝CE.
所以△ABE的周長＝AB＋AE＋BE＝AB＋AE＋CE＝AB＋AC.
因為AC＝8，△ABE的周長為14，
所以AB＋8＝14.
所以AB＝6.
20．(10分)數學課上，張老師講解了下面的例題：
例1　在等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度數．(答案：35°)
例2　在等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度數．(答案：40°或70°或100°)
張老師啟發同學們進行變式，小敏編了如下一題：
變式　在等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度數．
(1)請解答以上的變式題；
(2)解(1)后，小敏發現，∠A的度數不同，得到∠B的度數的個數也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，設∠A＝x°，當∠B有3個不同的度數時，請探索x的取值范圍．
解：(1)若∠A為頂角，則∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°.
若∠A為底角，∠B為頂角，則∠B＝180°－2×80°＝20°.
若∠A為底角，∠B為底角，則∠B＝80°.
故∠B的度數為50°或20°或80°.
(2)分兩種情況：
①當90≤x＜180時，∠A只能為頂角，
所以∠B的度數只有1個．
②當0＜x＜90時，
若∠A為頂角，則∠B＝°.
若∠A為底角，∠B為頂角，則∠B＝(180－2x)°.
若∠A為底角，∠B為底角，則∠B＝x°.
當≠180－2x且180－2x≠x且≠x，
即x≠60時，∠B有3個不同的度數．
綜上所述，當0＜x＜90且x≠60時，∠B有3個不同的度數．
21．(10分)如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F.
(1)求∠F的度數；
(2)若CD＝3，求DF的長．
解：(1)因為△ABC是等邊三角形，
所以∠B＝60°.
因為DE∥AB，
所以∠EDC＝∠B＝60°.
因為EF⊥DE，
所以∠DEF＝90°.
所以∠F＝90°－∠EDC＝30°.
(2)因為∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
所以△EDC是等邊三角形．
所以ED＝CD＝3.
因為∠DEF＝90°，∠F＝30°，
所以DF＝2DE＝6.
22．(12分)如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于點D，AC的垂直平分線BE交CD于點F，交AC于點E.
(1)判斷△DBC的形狀并說明理由；
(2)試說明：BF＝AC；
(3)試說明：CE＝BF.
解：(1)△DBC是等腰直角三角形．理由如下：
因為∠ABC＝45°，CD⊥AB，
所以∠BCD＝45°.
所以BD＝CD.
所以△DBC是等腰直角三角形．
(2)因為BE是AC的垂直平分線，CD⊥AB，
所以∠BEC＝∠ADC＝∠BDF＝90°.
因為∠BFD＝∠CFE，
所以∠DBF＝∠DCA．
在△BDF和△CDA中，
所以△BDF≌△CDA(ASA)．
所以BF＝AC.
(3)因為BE是AC的垂直平分線，
所以CE＝AC.
由(2)知BF＝AC.
所以CE＝BF.
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