資源簡介

課時分層訓練(十)　探索勾股定理
知識點一　勾股定理
1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，則AC2＋BC2的值是(　C　)
A．10 B．34
C．25 D．41
解析：因為在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，
所以AC2＋BC2＝AB2＝52＝25.
故選：C.
2．在△ABC中，∠C＝90°，若BC＝5，AB＝13，則AC＝　12　．
解析：因為在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，
所以AC2＝AB2－BC2＝132－52＝144.
所以AC＝12.
故答案為：12.
3．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，則邊BC上的高為　3　．
解析：如圖，過點A作AD⊥BC于點D.
因為AB＝AC＝5，BC＝8，AD⊥BC，
所以BD＝CD＝BC＝4.
所以AD2＝AB2－BD2＝9.
所以AD＝3，
即邊BC上的高為3.
故答案為：3.
知識點二　勾股樹
4．如圖，已知正方形A的面積為3，正方形B的面積為4，則正方形C的面積為(　A　)
A．7 B．5
C．25 D．1
解析：因為正方形A的面積為3，正方形B的面積為4，
所以正方形C的面積為3＋4＝7.
故選：A．
5．一株美麗的勾股樹如圖所示，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面積分別為2，5，1，2，則最大的正方形E的面積是　10　．
解析：如圖，根據勾股定理的幾何意義，得A，B的面積和為S1，C，D的面積和為S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案為：10.
知識點三　勾股定理的驗證
6．如圖是一個“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間的部分是一個小正方形．若大正方形的邊長為7，小正方形的邊長為3，直角三角形的兩直角邊分別為a，b，則ab的值為　20　．
解析：因為“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間的部分是一個小正方形，
所以一個直角三角形的面積＝(大正方形面積－小正方形面積)÷4＝(72－32)÷4＝10.
即ab＝10.
所以ab＝20.
故答案為：20.
7．用四個全等的直角三角形拼成如圖1所示的大正方形，中間也是一個正方形，它是美麗的弦圖，其中四個直角三角形的直角邊長分別為a，b(a＜b)，斜邊長為c.
圖1
　
圖2
(1)結合圖1，試說明：a2＋b2＝c2；
(2)如圖2，將這四個全等的直角三角形無縫隙、無重疊地拼接在一起，得到圖形ABCDEFGH.若該圖形的周長為48，OH＝6，求該圖形的面積．
解：(1)易知S小正方形＝(b－a)2＝a2－2ab＋b2，S小正方形＝c2－4×ab＝c2－2ab，
即a2－2ab＋b2＝c2－2ab.
所以a2＋b2＝c2.
(2)易知AB＋BC＝48÷4＝12，OH＝OB＝6.
設AH＝BC＝x，則AB＝12－x，OA＝6＋x.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB2＋OA2＝AB2，
即62＋(6＋x)2＝(12－x)2，
解得x＝2.
所以該圖形的面積為×6×8×4＝96.
8．如圖，四邊形ABCD是由四個全等的直角三角形拼成的．若四邊形ABCD的面積為13，中間空白處的四邊形EFGH的面積為1，直角三角形的兩條直角邊分別為a和b，則(a＋b)2＝(　D　)
A．12 B．13
C．24 D．25
解析：由題意，得四邊形ABCD和四邊形EFGH是正方形，
因為正方形ABCD的面積為13，
所以AD2＝13＝a2＋b2.①
因為中間空白處的四邊形EFGH的面積為1，
所以(b－a)2＝1.
所以b2－2ab＋a2＝1.②
①－②，得2ab＝12，
所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋12＝25.
故選：D.
9．某畫家用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，而兩個空洞的面積是相等的，若設左圖中空白部分的面積為S1，右圖中空白部分的面積為S2，則下列對S1，S2所列等式不正確的是(　A　)
A．S1＝a2＋b2＋2ab
B．S2＝c2＋ab
C．S1＝S2
D．a2＋b2＝c2
解析：由勾股定理，得a2＋b2＝c2，
由題意，得S1＝S2＝a2＋b2＋2×ab＝a2＋b2＋ab＝c2＋ab.
故選項A符合題意，選項B，C，D不符合題意．
故選：A．
10．如圖，四邊形ABCD的對角線分別為AC，BD，且AC⊥BD于點O.若AD＝2，BC＝6，則AB2＋CD2＝　40　．
解析：在Rt△ABO與Rt△CDO中，由勾股定理，得AB2＝BO2＋AO2，CD2＝CO2＋DO2，
所以AB2＋CD2＝BO2＋CO2＋AO2＋DO2.
在Rt△BOC與Rt△AOD中，由勾股定理，得BC2＝BO2＋CO2，AD2＝AO2＋DO2，
所以AB2＋CD2＝BC2＋AD2＝62＋22＝40.
故答案為：40.
11．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，動點P從點B出發，沿射線BC以2 cm/s的速度移動，設運動的時間為t s，當t＝　2或　時，△ABP為直角三角形．
解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，
所以根據勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16.
所以BC＝4 cm.
由題意知BP＝2t cm.分兩種情況：
①如圖1，當∠APB為直角時，點P與點C重合，BP＝BC＝4 cm，即2t＝4，解得t＝2；
②如圖2，當∠BAP為直角時，BP＝2t cm，CP＝(2t－4)cm，AC＝3 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝32＋(2t－4)2，
在Rt△BAP中，根據勾股定理，得AB2＋AP2＝BP2，
即52＋[32＋(2t－4)2]＝(2t)2，解得t＝.
綜上，當t＝2或時，△ABP為直角三角形．
故答案為：2或.
圖1
　　　
圖2
12．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，在△ABE中，DE是邊AB上的高，DE＝5，△ABE的面積為25.求：
(1)AB的長；
(2)四邊形ACBE的面積．
解：(1)因為在△ABE中，DE是邊AB上的高，DE＝5，△ABE的面積為25，
所以S△ABE＝AB·DE＝AB×5＝25.
所以AB＝10.
(2)因為在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，
所以根據勾股定理，得AC2＝AB2－BC2＝102－62＝64.
所以AC＝8.
所以S△ABC＝BC·AC＝×6×8＝24.
所以四邊形ACBE的面積為S△ABC＋S△ABE＝24＋25＝49.
【創新運用】
13．(1)如圖1，分別以直角三角形的三邊為直徑向外側作半圓，則它們的面積S1，S2，S3之間滿足的等量關系是　S1＋S2＝S3　；
(2)如圖2，直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，分別以三邊長為直徑作半圓．若a＝3，c＝5，求圖中陰影部分的面積．
圖1
　
圖2
解：(1)設S1，S2，S3分別對應直徑為a，b，c.
根據勾股定理，得a2＋b2＝c2，
S1＝π＝a2，
同理可得S2＝b2，S3＝c2，
所以S1＋S2＝a2＋b2＝(a2＋b2)＝＝S3.
故答案為：S1＋S2＝S3.
(2)設以a，b，c為直徑的半圓的面積分別為S1，S2，S3，直角三角形的面積為S4.
由(1)知S1＋S2＝S3.
因為三角形是直角三角形，a＝3，c＝5，
所以根據勾股定理，得b2＝c2－a2＝52－32＝16.所以b＝4.
所以S4＝ab＝×3×4＝6.
所以陰影部分的面積為S1＋S2＋S4－S3＝S4＝6.
1 / 1

展開更多......

收起↑